歷年高考真題考點歸納 2011年 第九章 解析幾何 第二節(jié) 圓錐曲線2

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1、 三、解答題 26.（江蘇18）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M、N分別是橢圓的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k （1）當(dāng)直線PA平分線段MN，求k的值； （2）當(dāng)k=2時，求點P到直線AB的距離d； （3）對任意k>0，求證：PA⊥PB 本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線方程、直線的垂直關(guān)系、點到直線的距離等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力和推理論證能力，滿分16分. 解：（1）由題設(shè)知，所以線段MN中點的坐標(biāo)為，由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點，又

2、直線PA過坐標(biāo) 原點，所以 （2）直線PA的方程 解得 于是直線AC的斜率為 （3）解法一： 將直線PA的方程代入 則 故直線AB的斜率為 其方程為 解得. 于是直線PB的斜率 因此 解法二： 設(shè). 設(shè)直線PB，AB的斜率分別為因為C在直線AB上，所以 從而 因此 27.（安徽理21）設(shè)，點的坐標(biāo)為（1,1），點在拋物線上運動，點滿足，經(jīng)過點與軸垂直的直線交拋物線于點，點滿足,求點的軌跡方程。 本題考查直線和拋物線的方程，平面向量的概念，性質(zhì)與運算，動點的軌跡方程等基本知識，考查靈活

3、運用知識探究問題和解決問題的能力，全面考核綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng). 解：由知Q，M，P三點在同一條垂直于x軸的直線上，故可設(shè) ① 再設(shè) 解得 ② 將①式代入②式，消去，得 ③ 又點B在拋物線上，所以，再將③式代入，得 故所求點P的軌跡方程為 28. （北京理19） 已知橢圓.過點（m,0）作圓的切線I交橢圓G于A，B兩點. （I）求橢圓G的焦點坐標(biāo)和離心率； （II）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值. （19）（共14分） 解：（Ⅰ）由已知得 所以 所以橢圓G的焦點坐標(biāo)為 離心率為 （Ⅱ）由題意知，. 當(dāng)時，切線l

4、的方程，點A、B的坐標(biāo)分別為 此時 當(dāng)m=－1時，同理可得 當(dāng)時，設(shè)切線l的方程為 由 設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為，則 又由l與圓 所以 由于當(dāng)時， 所以. 因為 且當(dāng)時，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2. 29.（福建理17）已知直線l：y=x+m，m∈R。 （I）若以點M（2,0）為圓心的圓與直線l相切與點P，且點P在y軸上，求該圓的方程； （II）若直線l關(guān)于x軸對稱的直線為，問直線與拋物線C：x2=4y是否相切？說明理由。 本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整

5、合思想。滿分13分。 解法一： （I）依題意，點P的坐標(biāo)為（0，m） 因為，所以， 解得m=2，即點P的坐標(biāo)為（0，2） 從而圓的半徑 故所求圓的方程為 （II）因為直線的方程為 所以直線的方程為 由 （1）當(dāng)時，直線與拋物線C相切 （2）當(dāng)，那時，直線與拋物線C不相切。 綜上，當(dāng)m=1時，直線與拋物線C相切； 當(dāng)時，直線與拋物線C不相切。 解法二： （I）設(shè)所求圓的半徑為r，則圓的方程可設(shè)為 依題意，所求圓與直線相切于點P（0，m）， 則 解得 所以所求圓的方程為 （II）同解法一。 30.（廣東理19） 設(shè)圓C與兩圓中的一個內(nèi)切，另一

6、個外切。 （1）求C的圓心軌跡L的方程; （2）已知點M，且P為L上動點，求的最大值及此時點P的坐標(biāo)． （1）解：設(shè)C的圓心的坐標(biāo)為，由題設(shè)條件知 化簡得L的方程為 （2）解：過M，F(xiàn)的直線方程為，將其代入L的方程得 解得 因T1在線段MF外，T2在線段MF內(nèi)，故 ，若P不在直線MF上，在中有 故只在T1點取得最大值2。 31.（湖北理20） 平面內(nèi)與兩定點，連續(xù)的斜率之積等于非零常數(shù)的點的軌跡，加上、兩點所成的曲線可以是圓、橢圓成雙曲線． （Ⅰ）求曲線的方程，并討論的形狀與值得關(guān)系； （Ⅱ）當(dāng)時，對應(yīng)的曲線為；對給定的

7、，對應(yīng)的曲線為，設(shè)、是的兩個焦點。試問：在撒謊個，是否存在點，使得△的面積。若存在，求的值；若不存在，請說明理由。 本小題主要考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎(chǔ)知識，同時考查推理運算的能力，以及分類與整合和數(shù)形結(jié)合的思想。（滿分14分） 解：（I）設(shè)動點為M，其坐標(biāo)為， 當(dāng)時，由條件可得 即， 又的坐標(biāo)滿足 故依題意，曲線C的方程為 當(dāng)曲線C的方程為是焦點在y軸上的橢圓； 當(dāng)時，曲線C的方程為，C是圓心在原點的圓； 當(dāng)時，曲線C的方程為，C是焦點在x軸上的橢圓； 當(dāng)時，曲線C的方程為C是焦點在x軸上的雙曲線。 （II）由（I）知，當(dāng)m=-1時，C1的方程為

8、當(dāng)時， C2的兩個焦點分別為 對于給定的， C1上存在點使得的充要條件是 ② ① 由①得由②得 當(dāng) 或時， 存在點N，使S=|m|a2； 當(dāng) 或時， 不存在滿足條件的點N， 當(dāng)時， 由， 可得 令， 則由， 從而， 于是由， 可得 綜上可得： 當(dāng)時，在C1上，存在點N，使得 當(dāng)時，在C1上，存在點N，使得 當(dāng)時，在C1上，不存在滿足條件的點N。 32.（湖南理21） 如圖7，橢圓的離心率為，x軸被曲線截得的線段長等于C1的長半軸長。 （Ⅰ）求C1，C2的方程； （Ⅱ）設(shè)C2與y軸的焦點為M，過坐標(biāo)原點O的直線與C2相交于點A,B,直

9、線MA,MB分別與C1相交與D,E． （i）證明：MD⊥ME; （ii）記△MAB,△MDE的面積分別是．問：是否存在直線l,使得?請說明理由。 解 ：（Ⅰ）由題意知 故C1，C2的方程分別為 （Ⅱ）（i）由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為. 由得 . 設(shè)是上述方程的兩個實根，于是 又點M的坐標(biāo)為（0，—1），所以 故MA⊥MB，即MD⊥ME. （ii）設(shè)直線MA的斜率為k1，則直線MA的方程為解得 則點A的坐標(biāo)為. 又直線MB的斜率為， 同理可得點B的坐標(biāo)為 于是 由得 解得 則點D的坐標(biāo)為 又直線ME的斜率為，同理

10、可得點E的坐標(biāo)為 于是. 因此 由題意知， 又由點A、B的坐標(biāo)可知， 故滿足條件的直線l存在，且有兩條，其方程分別為 33.（遼寧理20） 如圖，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D． （I）設(shè)，求與的比值； （II）當(dāng)e變化時，是否存在直線l，使得BO∥AN，并說明理由． 解：（I）因為C1，C2的離心率相同，故依題意可設(shè) 設(shè)直線，分別與C1，C2的方程聯(lián)立，求得 ………………4分 當(dāng)表示A

11、，B的縱坐標(biāo)，可知 ………………6分 （II）t=0時的l不符合題意.時，BO//AN當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，即 解得 因為 所以當(dāng)時，不存在直線l，使得BO//AN； 當(dāng)時，存在直線l使得BO//AN. ………………12分 34.（全國大綱理21） 已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為的直線與C交于A、B兩點，點P滿足 （Ⅰ）證明：點P在C上； （Ⅱ）設(shè)點P關(guān)于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上． 解： （I）F（0，1），的方程為 代入并

12、化簡得 …………2分 設(shè) 則 由題意得 所以點P的坐標(biāo)為 經(jīng)驗證，點P的坐標(biāo)為滿足方程 故點P在橢圓C上。 …………6分 （II）由和題設(shè)知， PQ的垂直平分線的方程為 ① 設(shè)AB的中點為M，則，AB的垂直平分線為的方程為 ② 由①、②得的交點為。 …………9分 故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|， 由此知A、P、B、Q四點在以N為圓心，NA為半徑的圓上 …………12分 35.（全國新課標(biāo)理20） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中， 已知點A（0，-1

13、），B點在直線上，M點滿足，，M點的軌跡為曲線C． （I）求C的方程； （II）P為C上動點，為C在點P處的切線，求O點到距離的最小值． (20）解： (Ⅰ)設(shè)M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1). 所以=（-x，-1-y）， =(0，-3-y)， =(x，-2). 再由題意可知（+）??=0， 即（-x，-4-2y）??(x，-2)=0. 所以曲線C的方程式為y=x-2. (Ⅱ)設(shè)P(x，y)為曲線C：y=x-2上一點，因為y=x，所以的斜率為x 因此直線的方程為，即． 則O點到的距離.又，所以 當(dāng)=0時取等號，所以O(shè)點到距離的最小

14、值為2. 36.（山東理22） 已知動直線與橢圓C: 交于P、Q兩不同點，且△OPQ的面積=,其中O為坐標(biāo)原點. （Ⅰ）證明和均為定值; （Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點為M，求的最大值； （Ⅲ）橢圓C上是否存在點D,E,G，使得?若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請說明理由. （I）解：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，P，Q兩點關(guān)于x軸對稱， 所以 因為在橢圓上， 因此 ① 又因為 所以 ② 由①、②得 此時 （2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為 由題意知m，將其代入，得 ， 其中 即 …………（*） 又 所以 因為點O到直線的距離為 所以

15、 又 整理得且符合（*）式， 此時 綜上所述，結(jié)論成立。 （II）解法一： （1）當(dāng)直線的斜率存在時， 由（I）知 因此 （2）當(dāng)直線的斜率存在時，由（I）知 所以 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立. 綜合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值為 解法二： 因為 所以 即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。 因此 |OM|·|PQ|的最大值為 （III）橢圓C上不存在三點D，E，G，使得 證明：假設(shè)存在， 由（I）得 因此D，E，G只能在這

16、四點中選取三個不同點， 而這三點的兩兩連線中必有一條過原點， 與矛盾， 所以橢圓C上不存在滿足條件的三點D，E，G. 37.（陜西理17） 如圖，設(shè)P是圓上的動點，點D是P在x軸上的攝影，M為PD上一點，且 （Ⅰ）當(dāng)P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程； （Ⅱ）求過點（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的長度 解：（Ⅰ）設(shè)M的坐標(biāo)為（x,y）P的坐標(biāo)為（xp,yp） 由已知得 ∵P在圓上，?∴???，即C的方程為 （Ⅱ）過點（3，0）且斜率為的直線方程為， 設(shè)直線與C的交點為 將直線方程代入C的方程，得

17、 即 ∴??? ?∴???線段AB的長度為 注：求AB長度時，利用韋達定理或弦長公式求得正確結(jié)果，同樣得分。 38.（上海理23） 已知平面上的線段及點，在上任取一點，線段長度的最小值稱為點到線段的距離，記作。 （1）求點到線段的距離； （2）設(shè)是長為2的線段，求點集所表示圖形的面積； （3）寫出到兩條線段距離相等的點的集合，其中 ， 是下列三組點中的一組。對于下列三組點只需選做一種，滿分分別是①2分，② 6分，③8分；若選擇了多于一種的情形，則按照序號較小的解答計分。 。 ② 。 ③ 。 解：⑴ 設(shè)是線段上一點，

18、則 ，當(dāng)時，。 ⑵ 設(shè)線段的端點分別為，以直線為軸，的中點為原點建立直角坐標(biāo)系， 則，點集由如下曲線圍成 ， 其面積為。 ⑶ ① 選擇， ② 選擇。 ③ 選擇。 39.（四川理21） 橢圓有兩頂點A（-1，0）、B（1，0），過其焦點F（0，1）的直線l與橢圓交于C、D兩點，并與x軸交于點P．直線AC與直線BD交于點Q． （I）當(dāng)|CD | = 時，求直線l的方程； （II）當(dāng)點P異于A、B兩點時，求證：為定值。 解：由已知可得橢圓方程為，設(shè)的方程為為的斜率。 則 的方

19、程為 40.（天津理18）在平面直角坐標(biāo)系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點．已知△為等腰三角形． （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程． 本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問題能力與運算能力.滿分13分. （I）解：設(shè) 由題意，可得 即 整理得（舍）， 或所以 （II）解：由（I）知 可得橢圓方程為 直線PF2方程為 A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組 消去y并整理，得 解得 得方程組的解 不妨

20、設(shè) 設(shè)點M的坐標(biāo)為， 由 于是 由 即， 化簡得 將 所以 因此，點M的軌跡方程是 41.（浙江理21） 已知拋物線:＝，圓:的圓心為點M （Ⅰ）求點M到拋物線的準(zhǔn)線的距離； （Ⅱ）已知點P是拋物線上一點（異于原點），過點P作圓的兩條切線，交拋物線于A，B兩點，若過M，P兩點的直線垂直于AB，求直線的方程 本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線、圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分。 （I）解：由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為： 所以圓心M（0，4）到準(zhǔn)線的距離是 （II

21、）解：設(shè)， 則題意得， 設(shè)過點P的圓C2的切線方程為， 即 ① 則 即， 設(shè)PA，PB的斜率為，則是上述方程的兩根，所以 將①代入 由于是此方程的根， 故，所以 由，得， 解得 即點P的坐標(biāo)為， 所以直線的方程為 42.（重慶理20）如題（20）圖，橢圓的中心為原點，離心率，一條準(zhǔn)線的方程為． （Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)動點滿足：，其中是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 解：（I）由 解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （II）設(shè)，則由 得 因為點M，N在橢圓上，所以 ， 故 設(shè)分別為直線OM，ON的斜率，由題設(shè)條件知 因此 所以 所以P點是橢圓上的點，設(shè)該橢圓的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，則由橢圓的定義|PF1|+|PF2|為定值，又因，因此兩焦點的坐標(biāo)為