工程光學郁道銀版習題解答一題不落第十二章光的衍射

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1、第十二章光的衍射 1.波長為500nm的平行光垂直照射在寬度為 0.025mm的單縫上，以焦距為 50cm的會 聚透鏡將衍射光聚焦于焦面上進行觀察，求( 1 )衍射圖樣中央亮紋的半寬度； (2) 第一亮紋和第二亮紋到中央亮紋的距離； (3 )第一亮紋和第二亮紋的強度。 解：(1)零強度點有 asinv-n，(n=「1,_2,_3 ) ???中央亮紋的角半寬度為.■:九二一 a ?亮紋半寬度r0二f Jc0 2 9 ■ _ 50 10 500 10 a 一 0.025 10’ =0.01m (2)第一亮紋，有：?二一a sin 弓=4.493 4.493， 4.49

2、3 500 10~ 3 二 a 3.14 0.025 10 =0.0286 rad = f 片=50 10° 0.0286 = 0.0143m = 14.3mm 同理 r2 = 24.6mm sin :- 2 J C(丿 其中〉=—a sinv I 1 當asin v - n ■時為暗紋，tg〉二:-為亮紋 ?對應 級數(shù) 4.493 0.04718 2. 平行光斜入射到單縫上，證明： (1 )單縫夫瑯和費衍射強度公式為 n a 皿 sin[ 、(sin 8 _sini)] =1。/ a(sin ^ -sin i) 式中，I0是中

3、央亮紋中心強度；a是縫寬；v是 衍射角，i是入射角(見圖12-50 ) (2)中央亮紋的角半寬度為 「宀二 acosi ???對于中央亮斑 sin j -sin i a 3. 在不透明細絲的夫瑯和費衍射圖樣中， 測得暗條紋的間距為1.5mm，所用透鏡的焦距 為30mm，光波波長為632.8nm。問細絲直徑是多少？ 解: 設(shè)直徑為a，則有一 f = d a Zf 632.^10^0.03 cc — a 3 0.0126mm d 1.5 10 4. 利用第三節(jié)的結(jié)果導出外徑和內(nèi)徑分別為 a和b的圓環(huán)（見圖12-51 ）的夫瑯和費衍射

4、強 a 度公式，并求出當b 時，（1）圓環(huán)衍射與半徑為a的圓孔衍射圖樣的中心強度之比； （2） 2 圓環(huán)衍射圖樣第一個暗環(huán)的角半徑。 同樣圓屏使1 P點振習題減小圖 Eb p =b2c' 2J1 kE _ kb= 13 因此圓環(huán)在P點產(chǎn)生的振幅為 a'j’ka日)b2J4 kb6 kav kb- E 二 Ea—Eb =2二c' - 1 1 ??? P點強度為 ]_E2 _4九2 ]a2Ji(kaT ) b2Ji (kbT )] kar kb 對于衍射場中心，v - 0有 2 I 0 [=4二 c 2 2 | 2、2 a

5、 b 2 - =4 ■: 2c 4 , 4 a b ——+—— 、4 4 2 丿 a2b2) -c a2 -b2 2 當b =—時， 2 (1) I 0 =4 二 2c a2 4、2 a 4」 9 4 ca 16 LL _9 Ia 0 _16 (2)第一暗紋有 a2J1 ka， 熾 kav kbv 1 | a ■, aJ1 ka aJ1 I k v 查表可有kav -3.144 3.144 k 幾 3.144 0.51 — ka 2二 a a 4. (1) 一束直徑為2mm的氦氖激光(’盒.=63

6、2.8nm )自地面射向月球，已知地面和月 3 球相距3.76 10 km，問在月球上得到的光斑有多大？ ( 2)如果用望遠鏡用作為擴 束器將該擴展成直徑為 4m的光束，該用多大倍數(shù)的望遠鏡？將擴束后的光束再射向 月球，在月球上的光斑為多大？ 解：(1)圓孔衍射角半寬度為 v -0空 a ?傳到月球上時光斑直徑為 a 0.6仏 0.61 漢 632.8 漢 10』 8 D =2二 22 丨=2 3 3.76 10 290.3km a 1^10 (2)若用望遠鏡擴束，則放大倍數(shù)為 2000倍。直徑 D' = 2二'丨 込丨 a' =2 0.61 632.8 10"9

7、 3.76 108 =145.2m 5. 若望遠鏡能分辨角距離為 3 10Jrad的兩顆星，它的物鏡的最小直徑是多少？同時為 了充分利用望遠鏡的分辨率，望遠鏡應有多大的放大率？ 2 人眼分辨率為 4 1' : 2.9 10 rad 9 Q X 1 0 ???放大率M _-J- L 900 3燈0 6. 若要使照相機感光膠片能分辨 2」m的線距，（1）感光膠片的分辨率至少是每毫米當 時線；（2）照相機鏡頭的相對孔徑 D/f至少有多大？（光波波長為 550nm ） 1 解：（1）膠片分辨率為 N 3 =500線/毫米 2漢10 1490 （2） D

8、 =1.22. N N 0.34 7. 一臺顯微鏡的數(shù)值孔徑為 0.85，問（1）它用于波長，=400nm時的最小分辨距離是 多少？ （ 2）若利用油浸物鏡使數(shù)值孔徑增大到 1.45，分辨率提高了多少倍？ （ 3）顯 微鏡的放大率應設(shè)計成多大？（設(shè)人眼的最小分辨率為 1'）。 解: nsinu 0.85 0.85 1 45 (2)提咼 i' = =1.7 0.85 （3 ）人眼在明視距離處能夠分辨的長度為 ；e = 250mm ： =250 2.9 10^ = 7.25 10，mm ?放大率至少為 嘔 7.25"0，mm M - 3 425 $' 0.29^1

9、0 mmO.7 8.在雙縫夫瑯和費衍射實驗中，所用光波波長 '=632.8nm，透鏡焦距f = 50cm，觀 察到兩相鄰亮條紋之間的距離 e=1.5mm，并且第四級亮紋缺級。 試求（1）雙縫的縫 距和縫寬；（2）第1, 2, 3級亮紋的相對強度。 解：（1）雙縫衍射亮紋條件為 d si n v - m，, m = 0, _1, _2 取微分有 d cost 「心-■ ■ m 令.：m =1，且 cost :-1，則 d 又 7 e-.“ f f d 632.8 W9 0.5 1.5 102 d = 0.21 10」m (2)衍射極小位置為 asin v - n，

10、 .a = — ,n= 1,_2 m=0,±1,±2 n m 取 n =1,m =4 =0.05mm （3）對于第一級亮紋有 d sin r = ■ 即 d sin J - _2 扎 又 T d =4a .asinr 4 兀 .c H :=asin v = 人 4 同理上=0.4, I 0 ? =0.09 * 2懇 2 (兀］ h i'sin a 丫 sin — o 2 sin — 4 I0 V ? 丿 d sin < 2 丿 < 4」 ???第一級亮紋的相對強度 =0.81 9. 在

11、雙縫的一個縫前貼一塊厚 0.001mm，折射率為1.5的玻璃片。設(shè)雙縫間距為1.5」m , 縫寬為0.5」m，用波長500nm的平行光垂直入射。試分析該雙縫的夫瑯和費衍射圖 樣。 解：衍射圖樣不變，干涉位置變?yōu)?dsin^ ? n - n0 d = m' 10. 一塊光柵的寬度為 10cm，每毫米內(nèi)有 500條縫，光柵后面放置的透鏡焦距為 500nm。問（1）它產(chǎn)生的波長'-632.8nm的單色光的1級和2級譜線的半寬度是 多少？ （ 2）若入射光是波長為 632.8 nm和波長之相差0.5nm的兩種單色光，它們 的1級和2級譜線之間的距離是多少？ 1mm N 1mm 50

12、0 =2 10-m 對于一級主極大有 dsinv -，= =18.43 H 3.34 10 " mm Nd cos 日 同理 r2 =4.08 10；mm (2) l* d si n v - m ■ 、v d cos ： ??? 1 , 2級衍射線色散為 、丨— 500mm J 1 0.002mm cos18.43 二 0.26mm/nm =0.64m m/nm 而.：■ - 0.5 nm ???譜線間距 三1 ? ■: ■ - 0.26mm/nm 0.5 = 0.13mm 二 l2 = 0.32mm 11. 設(shè)計一塊光柵，要求（1）

13、使波長，=600nm的第2級譜線的衍射角二<30°, （2） 色散盡可能大，（3）第3級譜線缺級，（4）在波長’=600nm的2級譜線處能分辨 0.02nm的波長差。在選定光柵的參數(shù)后，問在透鏡的焦面上只可能看到波長 600nm 的幾條譜線？ 解：為使’=600nm的二級譜線的衍射角 <30，則光柵常數(shù)d應滿足 2 600 10』 sin 30° = 2.4 10J3m m t色散 ? d越小色散越大 d ' d cos- ? d =2.4 10'm 3 若第三級缺級，應有 a 0.8 10 "m d 由條件(4) N = = ―600一 = 15000

14、也人m 0.02漢2 ?光柵總長度L = N d = 36mm 6 d sin v d 2.4 10 一 ， 可看到最咼級條紋為 m 9 = 4 Z 九 600x10 ?可看到0, _1,_2級，_3級缺級，共5條條紋。 12. 為在一塊每毫米1200條刻線的光柵的1級光譜中分辨波長為 632.8nm的一束氦氖 激光的模結(jié)構(gòu)（兩個模之間的頻率差為 450MHz），光柵需要有多寬？ 解：632.8nm對應的頻率為4.741 1014Hz V Av 450 106 4.741 10 _4 632.8 = 6 10 nm ???光柵總條紋數(shù)為 N

15、竺馬=1.005 106 心 m 6"0 ?長度為 L 二 Nd =1.005 106 1 879mm 1200 13. 證明光束斜入射時，（1）光柵衍射強度分布公式為 “。匹2 ' sin N P sin P a d 中 sinv - sini , sinv - sini 二為衍射角；i為入射角，見圖 12-53 , N為光柵縫數(shù)。（2）若光柵常數(shù) d ,光柵形成主級大的條件可以寫為 dcosi v-i =m' m=0,二 1,二2,... 圖12-53 習題18圖 2n 證明：（1）與垂直入射相比比，有 一 d sin J - sin i —si

16、n J -sin i -a 同理 sin v - sin i （2）光柵形成主極大有 d si- sini二m- c i ? 」 2d cos sin 2 2 T d v,i : 0 6 +i ?日 _i 日 _i cos cosi,s in 2 2 2 ???有 dcosi v -i i =m 14. 有一多縫衍射屏如圖12-54所示，縫數(shù)為2N，縫寬為a，縫間不透明部分的寬度 依次為a和3a。試求正入射情況下，這一衍射屏的夫瑯和費衍射強度分布公式。 6a sin EP八 「sin。屮 +3+ei2§ + ei3? + +eZ9 ] 用+ee?+ee

17、城）+ 肌 〃泄1 e1匕 I G 丿 1-e° nJ sin — o 6 2 設(shè)復數(shù)M = 1 ? el；1 ' exp i N -1 - - 2 則 M M =4cos2—1 ???透射光強 =410 sin —右 2 5 < 2丿 cos4 = 2 二 bsin v :二—1 ,、=12 ■ I =41° \2 cos20 『si n6NP 15. 一塊閃耀光柵寬260mm，每毫米有300個刻槽，閃耀角為77012 。 （1 ）求光束垂 直于槽面入射時，對于波長，=500nm的光的分辨本領(lǐng)；（2）光柵的自由光譜范圍有 多大？ （

18、 3）試問空氣間隔為1cm，精細度為25的法布里-珀羅標準具的分辨本領(lǐng)和 自由光譜范圍作一比較。 解：（1）光柵刻痕數(shù)為N 7.8 104 d 1 2 mm sin77 12' 閃耀級數(shù)為m=2dsin = 300 13 人 500^10 mm ?分辨本領(lǐng)為 'mN :T06 （2） 自由光譜范圍為.「= 一= 500 = 38.5 nm m 13 （3） F-P 標準具的分辨為 A=0.97ms =0.97 h ?sL 106 自由光譜范圍為 —九2 5002 △扎= = 2h 2心0 =0.0125 nm 比光柵小得多 16. 一透射式階梯光柵由

19、20塊折射率相同、厚度相等的玻璃平板平行呈階梯狀疊成， 厚板t =1cm，玻璃折射率n -1.5，階梯高度d =0.1cm。以波長彊-500nm的單色 光垂直照射，試計算（1）入射光方向上干涉主極大的級次； （2）光柵的角色散和分 辨本領(lǐng)（假定玻璃折射率不隨波長變化） 。 解：（1）由于階梯高度d與■相比極大，所以衍射角極小，此時相鄰兩階梯的光程 差為：-nl - cos^l d sin - n -1 l d - 對應 v - 0 處，m0 二 n 1 1 =104 （2） n -1 I d 八 m ，?”——=一 .m —丨—— dk d I 畝」 設(shè)門與■相比變化很小，即

20、 n .0 =10 ° rad /nm 分辨本領(lǐng) A=——=mN=104 20 =2 105 AZ 17. 設(shè)光柵的振幅透射系數(shù)為 t（x） =t0 ticos2~ f0X?tiC0S（2二f0x ），這塊光柵 2 的夫瑯和費衍射場中將出現(xiàn)幾個衍射斑？各斑的中心強度與零級的比值是多少？ 18. 在寬度為b的狹縫上放一折射率為 n、折射角為〉的小光楔，由平面單色波垂直照 射（見圖12-55 ）,求夫瑯和費衍射圖樣的光強分布以及中央零級極大和極小的方向。 19. 圖12-56為一透射型閃耀光柵，周期為 d，閃耀角為〉，由平面波垂直入射（1） 求夫瑯和費衍射圖樣的光強分

21、布。 （2）求光柵對m=1級光譜閃耀時:應滿足的條件。 （3）試分析對m =1級閃耀時，光譜強度分布的特點。 圖12-56 習題24圖 20. 如圖12-58所示，單色點光源（波長彊=500nm ）安放在離光闌1m遠的地方，光 闌上有一個內(nèi)外半徑分別為 0.5mm和1mm的通光圓環(huán)?？疾禳c P離光闌1m （ SP連 線通過圓環(huán)中心并垂直于圓環(huán)平面） ，問在P點的光強和沒有光闌時的光強之比是多 21 圖12-58 習題28圖 解：半徑為1mm的圓孔包含波帶數(shù)為 .:?2 R r0 J = r°R' 2 1mm ] [1000mm 1000mm 1000

22、mm 1000mm 500 10^mm 半徑為0.5mm的圓屏擋住的J ' =1 圓環(huán)通過波帶數(shù)為 3,由于相鄰波帶相消，所以只有一個波帶的光在 P點產(chǎn)生振 1 幅，無光闌時P點振幅為第一波帶產(chǎn)生振幅的一，所以放置光闌前后光強變化 4 2 倍。 21. 波長’= 563.3nm的平行光正入射直徑 D =2.6mm的圓孔，與孔相距 r0 =1m處 放一屏幕。問（1）屏幕上正對圓孔中心的 P點是亮點還是暗點？ （ 2）要使P點變成 與（1）相反的情況，至少要把屏幕向前（同時求出向后）移動多少距離？ 解：在P點包含的波帶數(shù)為 訐 R ? r。 r°R' j O 2 即 1.

23、3 10 9=3 R 二匚： r0' 1 563.3 10 ???中心為亮點 3 2 p2 (1.3x10，) r° 二—二 9 二 1.5m J 2 563.3 10 J =4 3 2 ;?2 1.3 10 r° 9 = 0.75 m J， 4 563.3 10* 22.試寫出圖中雙狹縫衍射屏的復振幅透射系數(shù)的表達式 b=4a)。 (2) ?用單位振幅單色平

24、面光波正入射照明時，試求在透鏡 分布。 ⑶.求在透鏡L后焦面內(nèi)沿x軸的光強度分布。 (設(shè)縫寬為a,縫距為b,且 L后焦面內(nèi)沿x軸的復振幅 t() =0, 其它 t( ) = rect ( - (2)復振幅分布為：a 彈 b t + )rect( ) a ~(x)二丄 exp[ik(f f~(x)二-f exp[ik(f Of  2 —)]~( )eUkl d 2f z —)]~( )e—ikl

25、d 2f exp[ik(f 占 f -' 2a I 二 a sin( x) f 2f ■a x f 兀b cos( x) f (3)光強度分布為: ■a I sin(二 x) l(x)二 4Io ' f ■a x f 2 ~ b cos ( x) 32

26、 la kla la a a sin c( ) = a sinc( x) 人 f 23.簡要分析如圖2所示夫瑯和費衍射裝置如有以下變動時，衍射圖樣會發(fā)生怎樣的變 化？ 1） 增大透鏡L2的焦距； 2） 減小透鏡L2的口徑； 3） 衍射屏作垂直于光軸的移動（不超出入射光束照明范圍） 。 答：1）增大透鏡 L2的焦距，將使接收屏上衍射圖樣的間隔增大。因有公式 e = rf',此時 衍射角二不變，條紋間隔e增大； 2）增大透鏡L2的口徑，不會改變衍射圖樣的分布，但進入系統(tǒng)的光束寬度增加， 可使光強增加； 3）衍射屏垂直于系統(tǒng)光軸方向移動時，衍射圖樣不會改變，因為衍射屏移動前后 光的入射角不變，縫寬不變，由衍射公式知其接收屏上的光強分布不變； 2 7.725 0.01694