精編高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第二章 章末小結(jié)與測評 Word版含答案

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 1．平面向量的基本概念 平面向量 既有大小，又有方向的量 向量的模 表示向量的有向線段的長度 零向量 長度為0的向量 單位向量 長度為1的向量 相等向量 長度相等且方向相同的向量 相反向量 長度相等且方向相反的向量 共線向量 表示兩個(gè)向量的有向線段所在直線平行或重合的兩個(gè)向量 2.向量的線性運(yùn)算 (1)向量的加法、減法和實(shí)數(shù)與向量的積的綜合運(yùn)算，通常叫作向量的線性運(yùn)算(或線性組合)． (2)向量的加法運(yùn)算按平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行，其中向量求和的三角形法則可推廣至多個(gè)向量求和的多邊形法則，即：n個(gè)向量經(jīng)過平移，使前

2、一個(gè)向量的終點(diǎn)依次與后一個(gè)向量的起點(diǎn)重合，組成一向量折線，這n個(gè)向量的和等于折線起點(diǎn)到終點(diǎn)的向量，即 (3)向量的加法滿足交換律與結(jié)合律，即 a＋b＝b＋a(交換律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(結(jié)合律)． (4)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫作向量的減法，作向量＝a，＝b，則a－b＝－＝，即：如果把向量a與b的起點(diǎn)放在點(diǎn)O，那么從向量b的終點(diǎn)B指向被減向量a的終點(diǎn)A，得到的向量就是a－b. (5)一般地，實(shí)數(shù)λ與向量λa的積是一個(gè)向量，記作λa，所以它既有大小又有方向． ①大小(長度)：|λa|＝|λ|·|a|. ②方向：當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同； 當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a

3、的方向相反； 當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0，方向任意． (6)實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算滿足： ①結(jié)合律：λ(μa)＝(λμ)a. ②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．向量共線(平行)的判定與性質(zhì) 判定定理 性質(zhì)定理 a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則向量b與a共線(平行) 若向量b與非零向量a共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa 　該兩定理可簡單歸結(jié)為：b∥a(a≠b)?b＝λa(λ∈R)，判定定理是判定兩向量共線的重要依據(jù)，性質(zhì)定理是根據(jù)向量共線建立方程的依據(jù)． 4．平面向量基本定理 平面向量基本定理也叫共面向量定理，即對于不共線

4、的非零向量，e1，e2，若存在一對實(shí)數(shù)a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2，則向量a，e1，e2共面；反之，若向量a，e1，e2共面，則存在唯一一對實(shí)數(shù)a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.若在平面中選中一組基底，則該平面中的任一向量都可與之建立聯(lián)系，以該基底為紐帶，可溝通不同向量之間的聯(lián)系，如證明三點(diǎn)A，B，C共線，通常是先把，用基底表示出來，再由平行向量定理來加以判定． 5．平面向量的坐標(biāo)表示 (1)在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，a為坐標(biāo)平面內(nèi)的任意向量，以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)作＝a，則＝xi＋yj＝a，稱實(shí)數(shù)對(x，y)是向量a的坐標(biāo)，可知點(diǎn)P

5、的坐標(biāo)即為a的坐標(biāo)． (2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算是將幾何問題代數(shù)化的有力工具，它是轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法的具體體現(xiàn)． 通過向量坐標(biāo)運(yùn)算主要解決求向量的坐標(biāo)、向量的模、夾角，判斷共線、平行、垂直等問題． 6．平面向量的數(shù)量積 (1)向量數(shù)量積不同于向量的線性運(yùn)算，因?yàn)樗倪\(yùn)算結(jié)果是數(shù)量，不是向量． (2)數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律是進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算的依據(jù)．通過這些性質(zhì)可以計(jì)算向量的長度(模)、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離、兩個(gè)平面向量的夾角、判斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直等． (3)已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則有 數(shù)量積 a·b＝|a||b|cos θ

6、 a·b＝x1x2＋y1y2 向量的模 |a|＝＝ |a|＝ 兩向量平行的等價(jià)條件 a∥b?a＝λb a∥b?x1y2－x2y1＝0 兩向量垂直的等價(jià)條件 a⊥b?a·b＝0 a⊥b?x1x2＋y1y2＝0 兩向量的夾角公式 cos θ＝ cos θ＝ [典例1]　 已知△OAB中，延長BA到C，使AB＝AC，D是將OB分成2∶1的一個(gè)分點(diǎn)，DC和OA交于E，設(shè)＝a，＝b(如圖)， (1)用a，b表示向量； (2)若，求實(shí)數(shù)λ的值． [解]　(1)∵A為BC的中點(diǎn)， 即(λ－2)a＋b＝m. ∴(λ＋2m－2)a＋b＝0， ∵a，b不共

7、線， ∴解得λ＝. [借題發(fā)揮]　1.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量．因此對它們的運(yùn)算法則、運(yùn)算律的理解和運(yùn)用要注意大小、方向兩個(gè)方面． 2．理解向量的有關(guān)概念(如相等與相反向量、平面向量基本定理、平行向量定理等)，用基底表示向量，三角形法則、平行四邊形法則是向量線性運(yùn)算的基礎(chǔ)． 3．向量是一個(gè)有“形”的幾何量，因此在研究向量的有關(guān)問題時(shí)，一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析判斷求解，這是研究平面向量的重要方法和技巧． [對點(diǎn)訓(xùn)練] 1. 已知?ABCD的兩條對角線AC與BD交于E，O是任意一點(diǎn)．求證：＋. 證明：因?yàn)镋是對角線AC和BD的交點(diǎn)， [典例2]　(江蘇高考)已

8、知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a－b|＝，求證：a⊥b； (2)設(shè)c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值． [解]　(1)證明：由題意得|a－b|2＝2， 即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2. 又因?yàn)閍2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1， 所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b. (2)因?yàn)閍＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以 由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π.又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，s

9、in α＝sin β＝，而α>β，所以α＝，β＝. [借題發(fā)揮]　設(shè)a＝(x1，y1)　b＝(x2，y2)， 1．|a|＝. 2．a(chǎn)＝b? 3．向量的線性運(yùn)算，向量的平行、垂直條件，都有坐標(biāo)表示． [對點(diǎn)訓(xùn)練] 2．若向量a＝(1，x)，b＝(x，2)，c＝(1，1)滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝________． 解析：∵c－a＝(0，1－x)，2b＝(2x，4)，(c－a)·(2b)＝－2， ∴4(1－x)＝－2，得x＝. 答案： [典例3]　 (北京高考)已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)，則的值為________；·的最大值為_____

10、___． [解析]　 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示． 則D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0，1)， 設(shè)E(1，a)(0≤a≤1)． [答案]　1　1 [借題發(fā)揮]　平面向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容，利用向量的數(shù)量積可以證明兩向量垂直、平行，求兩向量的夾角，計(jì)算向量的長度等． [對點(diǎn)訓(xùn)練] 3．已知c＝ma＋nb，c＝(－2，2)，a⊥c，b與c的夾角為π，b·c＝－4，|a|＝2，求實(shí)數(shù)m，n的值及a與b的夾角θ. 解：∵c＝(－2，2)，∴|c|＝4. ∵a⊥c，∴a·c＝0. ∵b·c＝|b||c|cos＝|b|·4×(－)＝－4，

11、 ∴|b|＝2. ∵c＝ma＋nb， ∴c2＝ma·c＋nb·c， ∴16＝n·(－4)，∴n＝－4. 在c＝ma＋nb兩邊同乘以a， 得0＝8m－4a·b.　　　?、? 在c＝ma＋nb兩邊同乘以b， 得ma·b＝12.　　　　　② 由①②，得m＝±. ∴a·b＝±2， ∴cos θ＝＝±. ∴θ＝或π. [典例4]　如圖所示，頂角為2θ的等腰劈，今有力|F|＝100 N作用于劈背上將物體劈開，試分析力F的分力的大小與θ的關(guān)系． [解]　根據(jù)力的作用效果(力F1、F2的方向分別垂直于劈面)，可將力分解如圖，由向量的平行四邊形法則及直角三角形的知識有 |F

12、1|＝|F2|＝＝ ＝＝. 根據(jù)題意0<2θ<π， ∴0<θ<. 又θ∈(0，)時(shí)，sin θ是增函數(shù)， ∴隨著θ的增大，|F|在減小， 即頂角越小，分力越大． 當(dāng)θ＝時(shí)，即頂角為時(shí)，|F1|＝|F2|＝|F|. [借題發(fā)揮]　平面向量的應(yīng)用主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：一是在平面幾何上的應(yīng)用，利用向量的運(yùn)算解決平行、垂直、距離和夾角等平面幾何的相關(guān)問題；二是向量在解析幾何上的應(yīng)用，主要利用向量平行和垂直的坐標(biāo)條件求直線或圓的方程；三是在物理中的應(yīng)用，主要解決力、速度等矢量的分解、合成問題及力對物體做功的問題． [對點(diǎn)訓(xùn)練] 4. 如圖，已知?ABCD中，E，F(xiàn)在對角線BD上，且BE

13、＝FD，求證：四邊形AECF是平行四邊形． ∴四邊形ABCD是平行四邊形． (時(shí)間：90分鐘　滿分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．) 2．設(shè)向量a＝(1，0)，b＝(，)，則下列結(jié)論中正確的是　　(　　) A．|a|＝|b| B．a(chǎn)·b＝ C．a(chǎn)－b與b垂直 D．a(chǎn)∥b 解析：選C　∵(a－b)·b＝(，－)·(，)＝0， ∴(a－b)⊥b. 3．已知a＝(3，4)，b∥a，且b的起點(diǎn)為(1，2)，終點(diǎn)為(x，3x)，則b等于(　　) A．

14、(－，)　　　　　　　 B．(－，) C．(－，) D．(－，－) 解析：選D　依題意，b＝(x－1，3x－2)． ∵b∥a，∴＝，解得x＝， ∴b＝(－，－)． 4．有下列命題：①＝0；②(a＋b)·c＝a·c＋b·c；③若a＝(m,4)，則|a|＝?m＝；④若的起點(diǎn)為A(2,1)，終點(diǎn)為B(－2,4)，則與x軸正向所夾角的余弦值是.其中正確命題的序號是(　　) A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 解析：選C　因?yàn)?，所以①錯(cuò)；②是數(shù)量積的分配律，正確；當(dāng)m＝－時(shí)，|a|也等于，故③錯(cuò)；在④中，＝(4，－3)與x軸正向夾角的余弦值是，故

15、④正確． 5．若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足||＝||，則△ABC一定是(　　) A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 解析：選B　由已知可得，則以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線相等，∴該四邊形為矩形．∴∠A＝90°. 6．(遼寧高考)已知兩個(gè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)⊥b C．|a|＝|b| D．a(chǎn)＋b＝a－b 解析：選B　法一：由|a＋b|＝|a－b|.平方可得a·b＝0，所以a⊥b，故選B. 法二：根據(jù)向量加法、減法的幾何意義可知|a＋b|與|a－b|分別

16、為以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長，因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|，所以該平行四邊形為矩形，所以a⊥b，故選B. 7．若向量＝5，那么d·＝(　　) A．0 B．－4 C．4 D．4或－4 解析：選C?。?－(－1,1)·(3,4)＝4. 8．(重慶高考)設(shè)x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|＝(　　) A. B. C．2 D．10 解析：選B　由a⊥b，可得a·b＝0，即x－2＝0，得x＝2，所以a＋b＝(3，－1)，故|a＋b|＝＝. 9．(浙江高考)設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量(　　) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a

17、⊥b B．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa D．若存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b| 解析：選C　若|a|＋|b|＝|a|－|b|，則a、b反向共線，故A錯(cuò)誤，C正確； 當(dāng)a⊥b時(shí)，a、b不反向，也不共線，B錯(cuò)誤；若a、b同向，則|a＋b|≠|(zhì)a|－|b|，D錯(cuò)誤． 10．已知|a|＝2|b|≠0，且關(guān)于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有實(shí)根，則a與b的夾角的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　設(shè)a與b的夾角為θ，∵方程x2＋|a|x＋a·b＝0有實(shí)根，∴Δ＝|a

18、|2－4a·b≥0，∴a·b≤|a|2. ∴cos θ＝≤＝＝， 而θ∈[0，π]，∴≤θ≤π. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)． 11．已知e1，e2為單位向量，它們的夾角為120°，則|e1－3e2|＝________． 解析：∵|e1－3e2|2＝e－6e1·e2＋9e ＝|e1|2－6|e1||e2|cos 120°＋9|e2|2 ＝1－6×(－)＋9＝13， ∴|e1－3e2|＝. 答案： 12．(山東高考)已知向量的夾角為120°，且||＝3，＝λ ＋，則實(shí)數(shù)λ的值為________． λ＝. 答案： 13．已知向

19、量a＝(6，2)，b＝，直線l過點(diǎn)A(3，－1)且與向量a＋2b垂直，則直線l的方程為________． 解析：a＋2b＝(6，2)＋(－8，1)＝(－2，3)． ∵直線l與向量a＋2b垂直，∴直線l的一個(gè)方向向量為v＝(1，)，∴直線l的斜率k＝，故直線l的方程為y＋1＝(x－3)，即2x－3y－9＝0. 答案：2x－3y－9＝0 14．(2012 ·山東高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0，1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0，0)，圓在x軸上沿正向滾動．當(dāng)圓滾動到圓心位于(2，1)時(shí)，OP―→的坐標(biāo)為________． 解析：如圖，作CQ∥x軸，

20、PQ⊥CQ，Q為垂足．根據(jù)題意得劣?。?，故∠DCP＝2弧度，則在△PCQ中，∠PCQ＝(2－)弧度，|CQ|＝cos (2－)＝sin 2，|PQ|＝sin (2－)＝－cos 2，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2－|CQ|＝2－sin 2，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1＋|PQ|＝1－cos 2，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2－sin 2，1－cos 2)，即為向量OP―→的坐標(biāo)． 答案：(2－sin 2，1－cos 2) 三、解答題(本大題共4個(gè)小題，共50分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分12分)已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)，m＝a－λb，n＝2a＋b，按下列條件求

21、實(shí)數(shù)λ的值． (1)m⊥n；(2)m∥n；(3)|m|＝|n|. 解：由已知得，m＝(4＋λ，3－2λ)，n＝(7，8)． (1)∵m⊥n，∴m·n＝0， ∴7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0.解得λ＝. (2)∵m∥n，∴＝，解得λ＝－. (3)∵|m|＝|n|， ∴＝. ∴20λ2－16λ－13＝0. ∴解得λ＝－或. 16．(本小題滿分12分)已知a，b都是非零向量，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角． 解：由已知，(a＋3b)·(7a－5b)＝0， (a－4b)·(7a－2b)＝0， 即7a2＋16a·b－15b2＝0.?、?

22、7a－30a·b＋8b2＝0.?、? ①—②得2a·b＝b2. 代入①式，得a2＝b2. ∴cos θ＝＝＝， 故a與b的夾角為60°. 17．(本小題滿分12分)已知：在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AB上的中線CD＝m，求證：a2＋b2＝c2＋2m2. 證明：∵D是AB的中點(diǎn)， 即4m2＋c2＝2a2＋2b2. ∴a2＋b2＝c2＋2m2. 18．(本小題滿分14分)在△ABC中，，＝－1，O為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)， (0≤λ≤1)． (1)指出點(diǎn)O所在的位置，并給予證明； (2)設(shè)f(λ)＝，求函數(shù)f(λ)的最小值，并求出相應(yīng)的λ值． ∵0≤λ≤1,0≤1－λ≤1， ∴點(diǎn)O在BC邊的中線上 ∴f(λ)＝λ(λ－1)＝(λ－)2－. ∵0≤λ≤1，所以，當(dāng)λ＝，f(λ)取得最小值－.