精編高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案:第二章 167;2 第2課時(shí) 向量的減法 Word版含答案

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 第2課時(shí) 向量的減法 [核心必知] 1.相反向量 (1)定義:與a長(zhǎng)度相等,方向相反的向量,叫作a的相反向量.記作:-a. (2)相反向量的性質(zhì) ①-00,-(-a)=a; ②a+(-a)=(-a)+a=0; ③如果a,b互為相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 2.向量的減法 定義 向量a加上b的相反向量,叫作向量a與b的差,即a-b=a+(-b).求兩個(gè)向量差的運(yùn)算,叫作向量的減法. 作法 如果把向量a與b的起點(diǎn)放在O點(diǎn),那么從向量b的終點(diǎn)B指向被減向量a的終點(diǎn)A,得到的向量就是a-b. 圖示 [問(wèn)題思考] 1

2、.向量減法的實(shí)質(zhì)是什么? 提示:向量減法的實(shí)質(zhì)是加法的逆運(yùn)算,即a-b=a+(-b). 2.如何運(yùn)用三角形法則進(jìn)行向量的減法運(yùn)算? 提示:如已知向量a,b,求a-b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b,連接AB,則=a-b. 講一講 1.已知向量a,b,c求作向量a+b-c. [嘗試解答]  法一:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b, 連接OB,則=a+b. 再作=c,連接BC,則=-=a+b-c 即為所求(如圖) 法二:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b,以O(shè)A,OB為鄰邊,作?OACB,連接OC,則=a+b. 再作=c,連接CD. 則=-=a

3、+b-c即為所求(如圖). 法三:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b,連接OB,則=a+b.再作=-c,連接OC. 則=+=a+b-c即為所求(如圖). 1.向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算.利用相反向量的定義,-=就可以把減法化為加法.在用三角形法則作向量減法時(shí),只要記住“連接兩向量終點(diǎn),箭頭指向被減向量”即可. 2.以向量=a、=b為鄰邊作平行四邊形ABCD,則兩條對(duì)角線的向量為=a+b,=b-a,=a-b,這一結(jié)論在以后應(yīng)用非常廣泛,應(yīng)該加強(qiáng)理解并記?。? 3.三角形法則和平行四邊形法則對(duì)于向量的減法同樣適用. 練一練 1.如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于1,=a,

4、=b,=c,試作向量a-b+c. 講一講 2.化簡(jiǎn)下列各式: 1.計(jì)算向量的加減法時(shí)應(yīng)謹(jǐn)記以下口訣: (1)加法口訣:首尾相接,箭頭從始點(diǎn)指向最后一個(gè)終點(diǎn). (2)減法口訣:始點(diǎn)相同連接終點(diǎn),箭頭指向被減向量. 2.多個(gè)向量作加減運(yùn)算時(shí),應(yīng)把首尾相連的放在一起計(jì)算,起點(diǎn)相同的放在一起計(jì)算.必要時(shí),可畫(huà)出圖形,結(jié)合圖形觀察,將使問(wèn)題更為直觀. 練一練 講一講 3.已知?ABCD中,∠ABC=60°,設(shè)=a,=b,若|a|=|a+b|=2,求|a-b|的值. [嘗試解答]  依題意, ||=|a+b|=2, 而|

5、|=|a|=2, ∵∠ABC=60°,∴△ABC是等邊三角形.∴BC=AB. ?ABCD為菱形,AC⊥BD, ∴|a|2=(|a+b|)2+(|a-b|)2 即4=1+,∴|a-b|=2. 本題的解答是利用了向量加法與減法的幾何意義,一般地,若a,b是兩個(gè)不共線的向量,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A作=a,=b,以AB、AD為鄰邊作?ABCD,那么=a+b,=a-b.恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造平行四邊形,尋找|a|,|b|,|a±b|的關(guān)系,靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵. 練一練 3.已知非零向量a,b滿足|a|=+1,|b|=-1,且 |a-b|=4,求|a+b|的值. 解:

6、 所以△OAB是以∠AOB為直角的直角三角形, 從而OA⊥OB, 所以?OACB是矩形. 根據(jù)矩形的對(duì)角線相等有=4, 即|a+b|=4. 如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,. 試用a,b,c表示向量. [錯(cuò)解] ∵ =c+b-a. [錯(cuò)因] 錯(cuò)誤地使用了向量的減法法則,誤認(rèn)為,在應(yīng)用三角形法則作向量減法時(shí),應(yīng)注意“連接兩向量終點(diǎn),箭頭指向被減向量”. =a-b+c. 1.在四邊形ABCD中,設(shè)等于(  ) A.a(chǎn)-b+c  B.a(chǎn)+b+c C.b-(a+c) D.b-a+c 解析:選A  =-b+a+c. 4.已知|a|

7、=1,|b|=2,|a+b|=,則|a-b|=________. 解析:∵()2=12+22. ∴以a,b為鄰邊的平行四邊形為矩形, 那么|a-b|=|a+b|=. 答案: 5.給出下列運(yùn)算: ∴①,②正確,③不正確. 答案: ①② 6.如圖,已知向量a,b,c不共線,求作向量a+b-c. 解:法一:如圖①,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=b,則=a+b, 再作=c,則=a+b-c. 法二:如圖②,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=b,則=a+b,再作=c,連接OC,則=a+b-c. 一、選擇題 A.①②        B.②③ C.③④

8、 D.①④ 3.如圖,D,E,F(xiàn)分別是△ABC的邊AB,BC,CA的中點(diǎn),則(  ) 4.a(chǎn)與b是非零向量,下列結(jié)論正確的是(  ) A.|a|+|b|=|a+b| B.|a|-|b|=|a-b| C.|a|+|b|>|a+b| D.|a|+|b|≥|a+b| 解析:選D  當(dāng)a,b共線時(shí),若a,b同向,則|a+b|=|a|+|b|,a,b反向時(shí), |a+b|<|a|+|b|; 當(dāng)a,b不共線時(shí),如圖有: |a+b|<|a|+|b|. 故|a|+|b|≥|a+b|. 二、填空題 5.若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則=________.

9、 答案:2 6.若A、B、C、D是平面內(nèi)任意四點(diǎn),給出下列式子:①+其中所有正確的式子的序號(hào)是________. 答案:②③ 7.在?ABCD中,=b,|a|=|b|=2,∠BAD=120°,則|a-b|=________. 解析: 如圖,依題意?ABCD是菱形,∴∠DAO=60°,∴DO=AD×sin 60°=2×=, 故|a-b|=||=2DO=2. 答案:2 8. 如圖,已知O為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),=c,試用a,b,c表示=________. =a-b+c. 答案:a-b+c 三、解答題 9.如圖,在正五邊形ABCDE中,若=c,=e

10、,求作向量a-c+b-d-e. 解: a-c+b-d-e=(a+b)-(c+d+e) . 如圖,連接AC,并延長(zhǎng)至點(diǎn)F, 使CF=AC,則. 所以,即為所求作的向量a-c+b-d-e. 10. 如圖,?ABCD中,=b, (1)用a、b表示; (2)當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí),a+b與a-b的所在直線互相垂直? (3)當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí),|a+b|=|a-b|. (4)a+b與a-b有可能為相等向量嗎?為什么? 解:(1)=a-b. (2)由(1)知a+b=,a-b=. a+b與a-b的所在直線垂直,即AC⊥BD. 又∵ABCD為平行四邊形, ∴四邊形ABCD為菱形,即a、b應(yīng)滿足|a|=|b|. (3)|a+b|=|a-b|,即||=||. ∵矩形的對(duì)角線相等. ∴當(dāng)a與b的所在直線垂直時(shí), 滿足|a+b|=|a-b|. (4)不可能,因?yàn)?ABCD的兩對(duì)角線不可能平行,因此a+b與a-b不可能為共線向量,也就不可能為相等向量.

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