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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料
課下能力提升(二十二)
一、選擇題
1．若直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，則點P(a，b)與圓的位置關(guān)系是( )
A．在圓上 B．在圓外
C．在圓內(nèi) D．以上都有可能
2．若直線x－y＝2被圓(x－a)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則實數(shù)a的值為( )
A．－1或 B．1或3
C．－2或6 D．0或4
3．(重慶高考)對任意的實數(shù)k，直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系一定是( )
A．相離 B．相切
C．相交但直線不過圓心 D
2、．相交且直線過圓心
4．(廣東高考)垂直于直線y＝x＋1且與圓x2＋y2＝1相切于第一象限的直線方程是( )
A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0
5．已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0.設(shè)該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為( )
A．10 B．20
C．30 D．40
二、填空題
6．已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為__________．
7．已知圓C過點(1,0)，且圓心在x軸的正
3、半軸上，直線l：y＝x－1被該圓所截得的弦長為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
8．經(jīng)過點P(2，－3)作圓(x＋1)2＋y2＝25的弦AB，使點P為弦AB的中點，則弦AB所在直線方程為________．
三、解答題
9．自點P(－6,7)發(fā)出的光線l射到x軸上點A處，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2＋y2－8x－6y＋21＝0相切于點Q.求光線l所在直線的方程．
10．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝4和直線l：kx－y－4k＋3＝0.
(1)求證：不論k取何值，直線和圓總相交；
(2)求k取何值時，圓被直線截得的弦最短，并求最短弦的長．
答案
1．解析：
4、選B 由于直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，則＜1，即a2＋b2＞1，從而可知點P(a，b)在圓x2＋y2＝1的外部．
2．解析：選D 圓心C(a,0)到直線x－y＝2的距離d＝，由題意得d2＋()2＝22，解得d＝.
所以＝，解得a＝0或a＝4.
3．解析：選C 易知直線過定點(0,1)，且點(0,1)在圓內(nèi)，但是直線不過圓心(0,0)．
4．解析：選A 因為所求直線l(設(shè)斜率為k)垂直于直線y＝x＋1，所以k·1＝－1，所以k＝－1，設(shè)直線l的方程為y＝－x＋b(b＞0)，即x＋y－b＝0，所以圓心到直線的距離為＝1，所以b＝.
5．解析：選B 圓心坐標(biāo)是(3,4)，半徑
5、是5，圓心到點(3,5)的距離為1，根據(jù)題意，最短弦BD和最長弦(即圓的直徑)AC垂直，故最短弦的長為2＝4，所以四邊形ABCD的面積為×|AC|×|BD|＝×10×4＝20.
6．解析：由題意得圓心為C(－1,0)．由點到直線的距離公式得圓心C到直線x＋y＋3＝0的距離d＝＝，即圓半徑r＝.∴圓的方程為(x＋1)2＋y2＝2.
答案：(x＋1)2＋y2＝2
7．解析：圓心到直線x－y－1＝0的距離為d＝.
因為圓截直線所得的弦長為2，所以2＋2＝(a－1)2，即(a－1)2＝4，所以a＝3或a＝－1(舍去)．
所以圓心為(3,0)，半徑r2＝(a－1)2＝4，
故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(
6、x－3)2＋y2＝4.
答案：(x－3)2＋y2＝4
8．解析：設(shè)圓心為C(－1,0)，由題意知：AB⊥CP，
而kCP＝＝－1，從而kAB＝1，
∴弦AB所在的直線方程為y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.
答案：x－y－5＝0
9．
解：如圖，作圓x2＋y2－8x－6y＋21＝0關(guān)于x軸的對稱圓x2＋y2－8x＋6y＋21＝0，
由幾何光學(xué)原理知，
直線l與圓x2＋y2－8x＋6y＋21＝0相切，
又∵l的斜率必存在，故可設(shè)直線l：y－7＝k(x＋6)，即kx－y＋6k＋7＝0.
由d＝＝＝2，得k＝－或k＝－，
故光線l所在直線的方程為3x＋4y－10＝0或4
7、x＋3y＋3＝0.
10．解：由題可知圓心為C(3,4)，半徑為r＝2.
(1)證明：直線方程可化為k(x－4)＋(3－y)＝0，
∴直線過定點P(4,3)．∵(4－3)2＋(3－4)2＜4.
∴點P在圓C內(nèi)部．
∴直線kx－y－4k＋3＝0與圓C總相交．
(2)∵直線經(jīng)過定點P(4,3)，∴當(dāng)PC與直線垂直時，圓被直線截得的弦最短．
設(shè)直線與圓的交點為A，B，則由勾股定理得(|AB|)2＝r2－|CP|2＝4－2＝2.∴AB＝2.
∵PC與直線kx－y－4k＋3＝0垂直，直線PC的斜率為kPC＝＝－1，∴直線kx－y－4k＋3＝0的斜率為k＝1.
∴當(dāng)k＝1時，圓被直線截得的弦最短，最短弦長為2.
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