精編高中數(shù)學北師大版必修四教學案：第二章 167;4 第2課時 向量平行的坐標表示 Word版含答案

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1、精編北師大版數(shù)學資料 第2課時　向量平行的坐標表示 [核心必知] 向量平行定理與坐標表示 定理 語言敘述 坐標表示 性質 定理 若兩個向量(與坐標軸不平行)平行，則它們相應的坐標成比例 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(y1≠0且y2≠0)．若a∥b，則＝ 判定 定理 若兩個向量相對應的坐標成比例，則它們平行 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．若＝，則a∥b [問題思考] 1．設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，則一定有＝，對嗎？ 提示：不對．因為若x2＝0或y2＝0，則＝不成立． 2．設a＝(x1，y1)，b＝

2、(x2，y2)，若a∥b，則向量a，b的坐標一定具有什么關系？反之成立嗎？ 提示：若a∥b，則一定有x1y2－x2y1＝0，反之也成立．即：a∥b?x1y2－x2y1＝0. 講一講 1．(1)下列向量與a＝(1，3)共線的是(　　) A．b＝(1，2)　　　　　　　B．c＝(－1，3) C．d＝(1，－3) D．e＝(2，6) (2)已知＝(7，－2)，則一定共線的三點是(　　) A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D [嘗試解答]　(1)法一：∵e＝(2，6)＝2(1，3)＝2a， ∴由向量共線定理知，e與a共線．故選D. 法二：

3、∵＝，∴由向量平行的判定定理知，e∥a. 即e與a共線．故選D. B不正確．同理可判定，C、D均不正確．故選A. [答案]　(1)D　(2)A 判斷兩個向量是否平行(共線)方法有兩種： (1)利用向量共線定理進行判斷，即a∥b(b≠0)?a＝λb(λ∈R)． (2)利用向量平行的坐標表示進行判斷，即： 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若＝(或＝)，則a∥b，也可直接利用x1y2－x2y1是否等于0進行判斷． 1．已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判斷與是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？ 解：＝(0,4)－(2,1)

4、＝(－2,3)， ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)． 法一：∵(－2)×(－6)－3×4＝0， 且(－2)×4＜0， ∴與共線且方向相反． 法二：∵＝－2， ∴與共線且方向相反． 講一講 2．(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)，若λ為實數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ＝(　　) A.　　　　B.　　　　C．1　　　　D．2 (2)已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，當a∥b時，實數(shù)λ＝________． [嘗試解答]　(1)∵a＝(1，2)，b＝(1，0)． ∴a＋λb＝(1，2)＋λ(1，0

5、)＝(1＋λ，2)． 又∵(a＋2b)∥c， ∴3×2－4×(1＋λ)＝0，得λ＝.故選B. (2)a＝2e1＋e2＝(2，0)＋(0，1)＝(2，1)． b＝λe1－e2＝(λ，0)－(0，1)＝(λ，－1)， ∵a∥b，∴2×(－1)－λ＝0，得λ＝－2. [答案]　(1)B　(2)－2 解決此類問題的關鍵是正確進行坐標運算，合理使用待定系數(shù)法．首先利用向量共線的條件建立方程或方程組，再解所列的方程或方程組求出參數(shù)的值． 練一練 2. 向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，若ma－nb與a＋2b共線(其中m，n∈R，且n≠0)，則等于(　　) A．－　 B.　

6、 C．－2 D．2 解析：選A　ma－nb＝(m，2m)－(－2n，3n)＝(m＋2n，2m－3n)，a＋2b＝(1，2)＋(－4，6)＝(－3，8)，∵ma－nb與a＋2b共線，∴8(m＋2n)＋3(2m－3n)＝0，得＝－. 講一講 3．設梯形ABCD的頂點坐標分別為A(－1，2)，B(3，4)，D(2，1)，且AB∥DC，AB＝2CD，求點C的坐標． [嘗試解答]　 ∵AB∥DC，AB＝2CD， ∴.設C(x，y)， 則＝(x，y)－(2,1) ＝(x－2，y－1)． 而＝(3,4)－(－1,2)＝(4,2)， ∴(4,2)＝2(x－2，y－1)，

7、即解得∴點C的坐標為(4，2)． 向量平行的綜合應用，主要體現(xiàn)為向量的工具性作用，解決該類問題應注意從整體上進行把握，如首先應理解并掌握向量平行(共線)的含義及其判定與性質定理，其次應明確其坐標表示．而正確地進行向量的線性運算的坐標表示，也是解答此類問題的關鍵． 練一練 3．如圖，向量＝(x，y)，若，試求x，y滿足的關系． ∴x(－y＋2)－y(－x－4)＝0.化簡得x＋2y＝0. 如圖，已知點A(2，0)，B(2，2)，C(1，3)，O(0，0)，試求AC與BO的交點D的坐標． (2－2λ)×1－(－2λ)×(－3)＝0， 解得λ＝.∴＝(2λ，2

8、λ)＝(，)． ∴D點的坐標為(，)． [錯因]　錯解在于將向量的坐標運算及兩向量共線的坐標表示弄錯．向量的坐標應等于終點的坐標減去始點的坐標；兩向量共線的坐標表示應是x1y2－x2y1＝0. ∴3(2λ－2)－(－1)×(2λ)＝0. 解得λ＝. ∴＝(2λ，2λ)＝(，)． 故D點的坐標為(，)． 1．下列各組向量共線的是(　　) A．a(chǎn)1＝(－2，3)，b1＝(4，6) B．a(chǎn)2＝(2，3)，b2＝(3，2) C．a(chǎn)3＝(1，2)，b3＝(7，14) D．a(chǎn)4＝(－3，2)，b4＝(6，4) 解析：選C　∵＝，∴a3∥b3. 2．已知

9、平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b等于(　　) A．(－5，－10)　　　　　　　B．(－4，－8) C．(－3，－6) D．(－2，－4) 解析：選B　∵a∥b，∴1×m－2×(－2)＝0，得m＝－4， ∴2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4) ＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)． 3．如果向量a＝(k，1)，b＝(4，k)共線且方向相反，則k等于　　(　　) A．±2 B．－2 C．2 D．0 解析：選B　∵向量a與b共線，∴k2＝4，得k＝±2， 又a與b反向，∴k＝－2. 4．已知A(4

10、，1)，B(1，－)，C(x，－)，若A、B、C共線，則x＝________． ∴－(x－1)＝3， 解得x＝－1. 答案：－1 5．已知向量a＝(sin α，－)，b＝(cos α，－1)，且a∥b，則銳角α的值是________． 解析：∵a∥b，∴＝＝，α＝. 答案： 6．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，當k為何值時，ka＋b與a－3b平行？平行時，它們同向還是反向？ 解：法一：ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)， a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)， 當ka＋b與a－3b平行時，存在唯一實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a－

11、3b)，由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)得， 解得k＝λ＝－. ∴當k＝－時，ka＋b與a－3b平行， ∵λ＝－<0，∴ka＋b與a－3b反向． 法二：由法一知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)， ∵ka＋b與a－3b平行， ∴(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－， 此時ka＋b＝(－－3，－＋2)＝－(a－3b)． ∴當k＝－時，ka＋b與a－3b平行，并且反向． 一、選擇題 1．下列向量組中，能作為基底的是(　　) A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)

12、C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(，－) 解析：選B　能作為基底的向量不共線，可判定A、C、D中的兩向量均共線，所以不能作為基底，對于B，由于－≠， 所以e1，e2不共線，故選B. 2．若平面向量a＝(1，x)和b＝(2x＋3，－x)互相平行，其中x∈R，則|a－b|＝(　　) A．2 B．2或2 C．－2或0 D．2或10 解析：選B　由a∥b得－x－x(2x＋3)＝0， ∴x＝0或x＝－2. 當x＝0時，a＝(1，0)，b＝(3，0)， ∴a－b＝(－2，0)，|a－b|＝2； 當x＝－2時，a＝(1，－2)，b＝(－1，2

13、)， ∴a－b＝(2，－4)，|a－b|＝2. 3．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋b與a－2b平行，則實數(shù)m等于(　　) A. B．－ C．2 D．－2 解析：選B　ma＋b＝(2m－1，3m＋2)，a－2b＝(4，－1)， 若ma＋b與a－2b平行，則＝－3m－2， 即2m－1＝－12m－8，解之得m＝－. 4．已知向量＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點不能構成三角形，則實數(shù)k應滿足的條件是(　　) A．k＝－2 B．k＝ C．k＝1 D．k＝－1 解析：選C　若A，B，C三點不能構成三角形，則A，B，C三點共線． ∴(k＋1)－2

14、k＝0，得k＝1. 二、填空題 5．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b與c共線，則k＝________． 解析：因為a－2b＝(，3)， 由a－2b與c共線， 有＝，可得k＝1. 答案：1 6．若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則＋等于________． 解析：＝(－2，b－2)． ∵A，B，C三點共線， ∴(a－2)(b－2)－4＝0. 整理得＋＝. 答案： 7．已知a＝(3，2)，b＝(2，－1)，若λa＋b與a＋λb(λ∈R)平行，則λ＝________． 解析：λa＋b＝λ(3，2)＋(2，－1)＝

15、(3λ＋2，2λ－1)． a＋λb＝(3，2)＋λ(2，－1)＝(3＋2λ，2－λ)． ∵(λa＋b)∥(a＋λb)． ∴(3λ＋2)(2－λ)－(2λ－1)×(3＋2λ)＝0. 解得，λ＝±1. 答案：±1 8．已知向量a＝(1，1)，b＝，x∈(0，π)，若a∥b，則x的值是________． 解析：∵a∥b，a＝(1，1)，b＝， ∴sin x＝. 又∵x∈(0，π)，∴x＝或. 答案：或 三、解答題 9．如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i、j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實數(shù)m的值使A、B、C三點共線． 解：法一：A、B、C三點共線，即、共線．

16、 ∴存在實數(shù)λ，使得＝λ. 即i－2j＝λ(i＋mj)． 于是∴m＝－2. 即m＝－2時，A、B、C三點共線． 法二：依題意知i＝(1,0)，j＝(0,1)． 則＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)， ＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)． 而、共線， ∴1×m－1×(－2)＝0. ∴m＝－2， ∴當m＝－2時，A、B、C三點共線． 10．已知向量：a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)． (1)求3a＋b－2c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m和n； (3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k. 解：(1)3a＋b－2c＝3(3，2)＋(－1，2)－2(4，1) ＝(9，6)＋(－1，2)－(8，2) ＝(9－1－8，6＋2－2)＝(0，6)． (2)∵a＝mb＋nc，m，n∈R， ∴(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)＝(－m＋4n，2m＋n)． ∴解得∴m＝，n＝. (3)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)， 又∵(a＋kc)∥(2b－a)， ∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－.