高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)練習(xí)第8講曲線與方程

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1、 第8講 曲線與方程 一、選擇題 1．已知兩定點(diǎn)A(1,1)，B(－1，－1)，動點(diǎn)P滿足·＝，則點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 解析 設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則＝(1－x,1－y)，＝(－1－x，－1－y)， 所以·＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2. 由已知x2＋y2－2＝，即＋＝1，所以點(diǎn)P的軌跡為橢圓． 答案　B 2．已知點(diǎn)F，直線l：x＝－，點(diǎn)B是l上的動點(diǎn)．若過B垂直于

2、y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是(　　)． A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線 解析　由已知：|MF|＝|MB|.由拋物線定義知，點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，故選D. 答案　D 3．設(shè)圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任一點(diǎn)．線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M，則M的軌跡方程為 (　　)． A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 解析　M為AQ垂直平分線上一點(diǎn)，則|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|M

3、C|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的軌跡為橢圓，∴a＝，c＝1，則b2＝a2－c2＝， ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 答案　D 4．已知點(diǎn)P是直線2x－y＋3＝0上的一個動點(diǎn)，定點(diǎn)M(－1,2)，Q是線段PM延長線上的一點(diǎn)，且|PM|＝|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是(　　)． A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 解析　由題意知，M為PQ中點(diǎn)，設(shè)Q(x，y)，則P為(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0. 答案　D 5．已知二面角α－l－β的平面角為θ，點(diǎn)P在二面角內(nèi)，PA⊥α，PB⊥β，A，

4、B為垂足，且PA＝4，PB＝5，設(shè)A，B到棱l的距離分別為x，y，當(dāng)θ變化時(shí)，點(diǎn)(x，y)的軌跡方程是(　　) A．x2－y2＝9(x≥0) B．x2－y2＝9(x≥0，y≥0) C．y2－x2＝9(y≥0) D．y2－x2＝9(x≥0，y≥0) 解析 實(shí)際上就是求x，y所滿足的一個等式，設(shè)平面PAB與二面角的棱的交點(diǎn)是C，則AC＝x，BC＝y(tǒng)，在兩個直角三角形Rt△PAC，Rt△PBC中其斜邊相等，根據(jù)勾股定理即可得到x，y所滿足的關(guān)系式．如圖，x2＋42＝y(tǒng)2＋52， 即x2－y2＝9(x≥0，y≥0)． 答案　B 6．在平行四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝

5、2AB，若P是平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：x＋y＋＝0(x，y∈R)．則當(dāng)點(diǎn)P在以A為圓心，||為半徑的圓上時(shí)，實(shí)數(shù)x，y應(yīng)滿足關(guān)系式為 (　　)． A．4x2＋y2＋2xy＝1 B．4x2＋y2－2xy＝1 C．x2＋4y2－2xy＝1 D．x2＋4y2＋2xy＝1 解析　如圖，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AD＝2.據(jù)題意，得AB＝1，∠ABD＝90°，BD＝.∴B、D的坐標(biāo)分別為(1,0)、(1，)，∴＝(1,0)，＝(1，)．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，n)，即＝(m，n)，則由x＋y＋＝0，得：＝x＋y，∴ 據(jù)題意，m2＋n2＝1，∴x2＋4y2＋2xy＝1.

6、 答案　D 二、填空題 7．已知圓的方程為x2＋y2＝4，若拋物線過點(diǎn)A(－1,0)、B(1,0)且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程是____________． 解析 設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F，過A、B、O作準(zhǔn)線的垂線AA1、BB1、OO1，則|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由拋物線定義得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓(去掉長軸兩端點(diǎn))． 答案 ＋＝1(y≠0) 8. 如圖，點(diǎn)F(a,0)(a>0)，點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動，M在x軸上運(yùn)動，N為動點(diǎn)，且·＝0，＋＝0，則點(diǎn)N的軌跡方程為_____

7、___． 解析　由題意，知PM⊥PF且P為線段MN的中點(diǎn)，連接FN，延長FP至點(diǎn)Q使P恰為QF之中點(diǎn)；連接QM，QN，則四邊形FNQM為菱形，且點(diǎn)Q恒在直線l：x＝－a上，故點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：y2＝4ax. 答案　y2＝4ax 9．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)M在AB上，且AM＝AB，點(diǎn)P在平面ABCD上，且動點(diǎn)P到直線A1D1的距離的平方與P到點(diǎn)M的距離的平方差為1，在平面直角坐標(biāo)系xAy中，動點(diǎn)P的軌跡方程是________． 解析　過P作PQ⊥AD于Q，再過Q作QH⊥A1D1于H，連接PH、PM，可證PH⊥A1D

8、1，設(shè)P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，得x2＋1－＝1，化簡得y2＝x－. 答案　y2＝x－ 10. 曲線C是平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1(－1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點(diǎn)的軌跡，給出下列三個結(jié)論： ①曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)； ②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱； ③若點(diǎn)P在曲線C上，則△F1PF2的面積不大于a2. 其中，所有正確結(jié)論的序號是________． 解析 ①曲線C經(jīng)過原點(diǎn)，這點(diǎn)不難驗(yàn)證是錯誤的，如果經(jīng)過原點(diǎn)，那么a＝1，與條件不符；②曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱，這點(diǎn)顯然正確，如果在某點(diǎn)處|PF1||PF2|＝a2，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)處也一定符合|PF1||

9、PF2|＝a2；③三角形的面積S△F1F2P2≤，很顯然 S△F1F2P＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝.所以②③正確． 答案 ②③ 三、解答題 11.如圖，已知F(1,0)，直線l：x＝－1，P為平面上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且· ＝·.求動點(diǎn)P的軌跡C的方程． 解 法一：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(－1，y)， 由·＝·，得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1， y)·(－2，y)，化簡得C：y2＝4x. 法二：由·＝·， 得·(＋)＝0，∴(－)·(＋)＝0， ∴2－2＝0.∴||＝||. ∴點(diǎn)P的軌跡C是拋物線，由題

10、意，軌跡C的方程為y2＝4x. 12．設(shè)橢圓方程為x2＋＝1，過點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足＝(＋)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，當(dāng)直線l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求： (1)動點(diǎn)P的軌跡方程； (2)||的最大值，最小值． 解　(1)直線l過定點(diǎn)M(0,1)，當(dāng)其斜率存在時(shí)設(shè)為k，則l的方程為y＝kx＋1. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知，A、B的坐標(biāo)滿足方程組消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0. 則Δ＝4k2＋12(4＋k2)>0. ∴x1＋x2＝－，x1x2＝. P(x，y)是AB的中點(diǎn)， 則由 消去k得4x2＋y2－y＝0. 當(dāng)斜率

11、k不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，也滿足這個方程，故P點(diǎn)的軌跡方程為4x2＋y2－y＝0. (2)由(1)知4x2＋2＝，∴－≤x≤ 而|NP|2＝2＋2＝2＋ ＝－32＋， ∴當(dāng)x＝－時(shí)，||取得最大值， 當(dāng)x＝時(shí)，||取得最小值. 13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：＋＝1(a>0，b>0)經(jīng)過點(diǎn)A，且點(diǎn)F(0，－1)為其一個焦點(diǎn)． (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)隨圓E與y軸的兩個交點(diǎn)為A1，A2，不在y軸上的動點(diǎn)P在直線y＝b2上運(yùn)動，直線PA1，PA2分別與橢圓E交于點(diǎn)M，N，證明：直線MN通過一個定點(diǎn)，且△FMN的周長為定值． 解　(1)根據(jù)題意可得可解得

12、 ∴橢圓E的方程為＋＝1. (2)由(1)知A1(0,2)，A2(0，－2)，P(x0，4)為直線y＝4上一點(diǎn)(x0≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PA1方程為y＝x＋2，直線PA2方程為y＝x－2，點(diǎn)M(x1，y1)，A1(0,2)的坐標(biāo)滿足方程組可得 點(diǎn)N(x2，y2)，A2(0，－2)的坐標(biāo)滿足方程組可得由于橢圓關(guān)于y軸對稱，當(dāng)動點(diǎn)P在直線y＝4上運(yùn)動時(shí)，直線MN通過的定點(diǎn)必在y軸上，當(dāng)x0＝1時(shí)，直線MN的方程為y＋1＝，令x＝0，得y＝1可猜測定點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1)，并記這個定點(diǎn)為B.則直線BM的斜率kBM＝＝＝，直線BN的斜率kBN＝＝＝，∴kBM＝kBN，即

13、M，B，N三點(diǎn)共線，故直線MN通過一個定點(diǎn)B(0，1)， 又∵F(0，－1)，B(0,1)是橢圓E的焦點(diǎn)， ∴△FMN周長為|FM|＋|MB|＋|BN|＋|NF|＝4b＝8，為定值． 14．已知向量a＝(x，y)，b＝(1,0)，且(a＋b)⊥(a－b)． (1)求點(diǎn)Q(x，y)的軌跡C的方程； (2)設(shè)曲線C與直線y＝kx＋m相交于不同的兩點(diǎn)M、N，又點(diǎn)A(0，－1)，當(dāng)|AM|＝|AN|時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解　(1)由題意得a＋b＝(x＋，y)，a－b＝(x－，y)，∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0， 即(x＋)(x－)＋y·y＝0. 化簡得＋y

14、2＝1，∴Q點(diǎn)的軌跡C的方程為＋y2＝1. (2)由得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0， 由于直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)， ∴Δ>0，即m2<3k2＋1. ① (i)當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P(xP，yP)，xM、xN分別為點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)，則xP＝＝－， 從而yP＝kxP＋m＝，kAP＝＝－， 又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN. 則－＝－，即2m＝3k2＋1， ② 將②代入①得2m>m2，解得00，解得m>， 故所求的m的取值范圍是. (ii)當(dāng)k＝0時(shí)，|AM|＝|AN|， ∴AP⊥MN，m2<3k2＋1，解得－1