2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí): 選修4-5 第2節(jié) 課時分層訓(xùn)練70

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1、課時分層訓(xùn)練(七十)不等式的證明1已知定義在R上的函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正實數(shù),且滿足pqra,求證:p2q2r23.解(1)因為|x1|x2|(x1)(x2)|3,當(dāng)且僅當(dāng)1x2時,等號成立,所以f(x)的最小值等于3,即a3.4分(2)證明:法一:由(1)知pqr3,且p,q,r大于0,(pqr)29.又易知p2q2r2pqprqr.8分故9(pqr)2p2q2r22pq2pr2qr3(p2q2r2),因此,p2q2r23.10分法二:由(1)知pqr3,又因為p,q,r是正實數(shù),所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(

2、pqr)29,故p2q2r23.10分2(2015湖南高考)設(shè)a0,b0,且ab.證明:(1)ab2;(2)a2a2與b2b0,b0,得ab1.2分(1)由基本不等式及ab1,有ab22,即ab2.5分(2)假設(shè)a2a2與b2b2同時成立,則由a2a0,得0a1;同理,0b1,從而ab1,這與ab1矛盾故a2a2與b2b0,b0,且.(1)求a3b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a3b6?并說明理由解(1)由,得ab2,當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立.2分故a3b324,當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立所以a3b3的最小值為4.5分(2)由(1)知,2a3b24.由于46,從而不存在a,b,使得2a3b

3、6.10分4(2017石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)|x|x1|.(1)若f(x)|m1|恒成立,求實數(shù)m的最大值M;(2)在(1)成立的條件下,正實數(shù)a,b滿足a2b2M,證明:ab2ab. 【導(dǎo)學(xué)號:01772449】解(1)f(x)|x|x1|x(x1)|1,當(dāng)且僅當(dāng)0x1時取等號,f(x)|x|x1|的最小值為1.3分要使f(x)|m1|恒成立,只需|m1|1,0m2,則m的最大值M2.5分(2)證明:由(1)知,a2b22,由a2b22ab,知ab1.又ab2,則(ab)2ab.8分由知,1.故ab2ab.10分5已知函數(shù)f(x)k|x3|,kR,且f(x3)0的解集為1,1(1)求k

4、的值;(2)若a,b,c是正實數(shù),且1.求證:a2b3c9. 【導(dǎo)學(xué)號:01772450】解(1)因為f(x)k|x3|,所以f(x3)0等價于|x|k,2分由|x|k有解,得k0,且解集為k,k因為f(x3)0的解集為1,1因此k1.5分(2)證明:由(1)知1,因為a,b,c為正實數(shù)所以a2b3c(a2b3c)332229.8分當(dāng)且僅當(dāng)a2b3c時等號成立因此a2b3c9.10分6(2017福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集M;(2)設(shè)a,bM,證明:f(ab)f(a)f(b)解(1)當(dāng)x1時,原不等式可化為x12x2,解得x1;2分當(dāng)1x時,原不等式可化為x12x2,解得x1,此時原不等式無解;當(dāng)x時,原不等式可化為x12x,解得x1.綜上,Mx|x1或x1.5分(2)證明:因為f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|,6分所以,要證f(ab)f(a)f(b),只需證|ab1|ab|,即證|ab1|2|ab|2,即證a2b22ab1a22abb2,8分即證a2b2a2b210,即證(a21)(b21)0.因為a,bM,所以a21,b21,所以(a21)(b21)0成立,所以原不等式成立.10分

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