新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第10章 概率 第3節(jié) 幾何概型學(xué)案 文 北師大版

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1、 1

2、 1 第三節(jié)　幾何概型 [考綱傳真]　1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.2.了解幾何概型的意義． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第153頁) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．幾何概型 向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機(jī)地投擲點(diǎn)M，若點(diǎn)M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無關(guān)，即P(點(diǎn)M落在G1)＝，則稱這種模型為幾何概型． 2．幾何概型中的G也可以是

3、空間中或直線上的有限區(qū)域，相應(yīng)的概率是體積之比或長度之比． 3．借助模擬方法可以估計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生的概率． (1)使用計(jì)算機(jī)或者其他方式進(jìn)行的模擬試驗(yàn)，以便通過這個(gè)試驗(yàn)求出隨機(jī)事件的概率的近似值的方法就是模擬方法． (2)用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法為隨機(jī)模擬方法．這個(gè)方法的基本步驟是①用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，并賦予每個(gè)隨機(jī)數(shù)一定的意義；②統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)N；③計(jì)算頻率fn(A)＝作為所求概率的近似值． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率

4、估計(jì)概率．(　　) (2)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是.(　　) (3)概率為0的事件一定是不可能事件．(　　) (4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤是 (　　) A　[P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝， ∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．] 3．(20xx·全國卷Ⅱ)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交

5、替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． B　[如圖，若該行人在時(shí)間段AB的某一時(shí)刻來到該路口，則該行人至少等待15秒才出現(xiàn)綠燈．AB長度為40－15＝25，由幾何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為＝，故選B．] 4．(20xx·石家莊模擬)如圖10-3-1所示，在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為________． 圖10-3-1 0．18　[由題意知， ＝＝0.18. ∵S

6、正＝1，∴S陰＝0.18.] 5．設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090357】 1－　[如圖所示，區(qū)域D為正方形OABC及其內(nèi)部，且區(qū)域D的面積S＝4.又陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域．易知該陰影部分的面積S陰＝4－π， ∴所求事件的概率P＝＝1－.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第154頁) 與長度(角度)有關(guān)的幾何概型 　(1)(20xx·全國卷Ⅰ)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻

7、是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是(　　) A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． 圖10-3-2 (2)如圖10-3-2所示，四邊形ABCD為矩形，AB＝，BC＝1，在∠DAB內(nèi)作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為________． (3)(20xx·江蘇高考)記函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)镈．在區(qū)間[－4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D的概率是________． (1)B　(2)　(3)　[(1)如圖，7：50至8：30之間的時(shí)間長度為40分鐘，而小明等車時(shí)間不超過10分鐘是指小明在7：50至8：00之間或8：20至8：30之間到達(dá)發(fā)

8、車站，此兩種情況下的時(shí)間長度之和為20分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為P＝＝.故選B． (2)以A為圓心，以AD＝1為半徑作圓弧交AC，AP，AB分別為C′，P′，B′. 依題意，點(diǎn)P′在上任何位置是等可能的，且射線AP與線段BC有公共點(diǎn)，則事件“點(diǎn)P′在上發(fā)生”． 又在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝. 故所求事件的概率P＝＝＝. (3)由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2,3]．如圖，區(qū)間[－4,5]的長度為9，定義域D的長度為5， ∴P＝. ] [規(guī)律方法]　1.解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍，

9、當(dāng)考查對(duì)象為點(diǎn)，且點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí)，用“線段長度”為測度計(jì)算概率，求解的核心是確定點(diǎn)的邊界位置． 2．(1)第(2)題易出現(xiàn)“以線段BD為測度”計(jì)算幾何概型的概率，導(dǎo)致錯(cuò)求P＝. (2)當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角對(duì)應(yīng)的弧長的大小作為區(qū)域度量來計(jì)算概率．事實(shí)上，當(dāng)半徑一定時(shí)，曲線弧長之比等于其所對(duì)應(yīng)的圓心角的弧度數(shù)之比． [變式訓(xùn)練1]　(1)(20xx·唐山質(zhì)檢)設(shè)A為圓周上一點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與A連接，則弦長超過半徑倍的概率是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090358】 A． B． C． D． (2)(20xx·山東高考)在[－

10、1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________． (1)B　(2)[(1)作等腰直角△AOC和△AMC，B為圓上任一點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)B在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長|AB|＞R， ∴P＝＝. (2)由直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交，得<3， 即16k2<9，解得－

11、)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　) A． B． C． D． C　[因?yàn)閤1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機(jī)抽取，所以構(gòu)成的n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示．若兩數(shù)的平方和小于1，則對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì))，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對(duì)有m個(gè)．用隨機(jī)模擬的方法可得＝，即＝，所以π＝.] 角度2　與線性規(guī)劃交匯問題 　(20xx·長沙模擬)在區(qū)間[0,4]上隨機(jī)

12、取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使得x＋2y≤8的概率為(　　) A． B． C． D． D　[由x，y∈[0,4]可知(x，y)構(gòu)成的區(qū)域是邊長為4的正方形及其內(nèi)部，其中滿足x＋2y≤8的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分． 易知A(4,2)，S正方形＝16，S陰影＝＝12. 故“使得x＋2y≤8”的概率P＝＝.] [規(guī)律方法]　求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn) 求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解． [變式訓(xùn)練2]　(1)(20xx·全國卷Ⅰ)如圖10-3-3，

13、正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090359】 圖10-3-3 A． B． C． D． (2)(20xx·莆田模擬)從區(qū)間(0,1)中任取兩個(gè)數(shù)作為直角三角形兩直角邊的長，則所取的兩個(gè)數(shù)使得斜邊長不大于1的概率是(　　) A． B． C． D． (1)B　(2)B　[(1)不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形＝4. 由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，得

14、S黑＝S白＝S圓＝，所以由幾何概型知所求概率P＝＝＝. 故選B． (2)任取的兩個(gè)數(shù)記為x，y，所在區(qū)域是正方形OABC內(nèi)部，而符合題意的x，y位于陰影區(qū)域內(nèi)(不包括x，y軸)，故所求概率P＝＝. ] 與體積有關(guān)的幾何概型 　在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為(　　) A． B．1－ C． D．1－ B　[設(shè)“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為事件A． 則事件A發(fā)生時(shí)，點(diǎn)P位于以點(diǎn)O為球心，以1為半徑的半球的外部． ∴V正方體＝23＝8，V半球＝π·13×＝π. ∴P(A)＝＝1－.] [規(guī)律方法]　對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件求解． [變式訓(xùn)練3]　如圖10-3-4，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使四棱錐M-ABCD的體積小于的概率為________． 圖10-3-4 　[設(shè)四棱錐M-ABCD的高為h，由于V正方體＝1. 且·SABCD·h＜， 又SABCD＝1，∴h＜， 即點(diǎn)M在正方體的下半部分， ∴所求概率P＝＝.]