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算法初步與復數
一、高考預測
算法是新課標高考的獨有內容,從近年來課標地區(qū)的高考看,這是試卷中一個必備的試題,試題以選擇題或填空題的方式出現,主要考查程序框圖和基本算法語句.預計20xx年變化不大.復習算法要抓住如下要點:一是程序框圖的三種基本邏輯結構,即順序結構、條件分支結構和循環(huán)結構,搞清楚這三種基本邏輯結構的功能和使用方法,特別要注意循環(huán)結構的功能和使用方法,在復習
3、時建議結合具體題目掌握好一些常見的計算問題的程序框圖,如二分法求方程近似解的程序框圖、一些數列求和的程序框圖、一元二次不等式解的程序框圖等;二是理解基本算法語句的含義,搞清楚條件語句與條件分支結構的對應關系、循環(huán)語句與循環(huán)結構的對應關系,在此基礎上學會對一些簡單問題的程序編寫.
復數是高考的一個考點,主要考查復數的概念和代數形式的四則運算,一般是一個選擇題,位置靠前,難度不大.預計20xx年會繼續(xù)這個考查風格.復數的內容就是概念、運算和簡單的幾何意義,復習時只要把概念弄清,運算法則掌握好,并把復數和向量的關系弄清楚即可.
二、知識導學
2.算法是離不開具體的數學問題的,算法試題往往要依托
4、其他數學問題來實現,算法可以和函數求值、方程求解、不等式求解、數列求和、統(tǒng)計量計算等問題相互交匯.
3.復數部分的考點就是復數的概念、復數相等的充要條件、復數代數形式的四則運算,其考查帶有綜合性.要注意復數相等的充要條件中必須把兩個復數都化為“標準的代數形式”.
三、易錯點點睛
命題角度 1 復數的概念
2. z=的共軛復數是 ( )
A.+i B.-I C.1-i D.1+i
[考場錯解] 選C ∵z==1+i.∴z為純虛數為1-i
[專家把脈] z==1+i是錯誤的,因為(1-i)(1+i)=1-(i)2-z≠1
[對癥
5、下藥] 選B ∵z==∴z=的共軛復數是-i。
3. 已知復數z1=3+4i,z2=t+i,,且是實數,則實數t= ( )
A. B. C.- D.-
[考場錯解] 選C ∵z1·∈R=0。即(3+4i)(t-i)+(3-4i)(t+i)=0 t=-.
[專家把脈] ∵z∈R=z.z為純虛數z+=0(z≠0)因此上面解答應用的是Z為純虛數的充根條件,因而求出的t是z1為純虛數的結果,顯然是錯誤的。
[對診下藥] 解法1:z1=(3+4i)(t-i)= (3-4i)(t+i)∵z1為實數,∴4t-3=0,t=.
解法2:∵z1∈R,∴
6、z1= ∴(3+4i)(t-i)=(3-4i)(t+i)
(3t+4)+(4t-3)i=(3t+4)+(3-4t)i4t-3=3-4tt=.
專家會診1.深刻理解復數、實數、虛數、純虛數、模、輻角、輻角主值、共軛復數的概念和得數的幾何表示——復數z=a+bi(a,b∈R)與復平面內的點(a、b)及向量是一一對應的,在對概念的理解時要善于利用數形結合的思想,如純虛數與虛軸上的點對應,實數與實軸上的點對應,復數的模表示復數對應的點到原點的距離。2.要善于掌握化虛為實的轉化方法,即設復數z=a+bi(a,b∈R),但有時給許多問題的求解帶來不必要的運算困難,而若把握復數的整體性質運用整體運算的思
7、想方法,則能事半功倍,同時要注意復數幾何意義的應用。
命題角度 2復數的代數形式及運算
解法2:
2.復數的值是 ( )
A.-16 B.16 C.- D.8-8
[考場錯解] 選D。 ∵選D。
[對癥下藥] 選A。原式=
3 滿足條件|z-i|=|3+4i|的復數z在復平面上對應點的軌跡是 ( )
A.一條直線 B.兩條直線 C.圓 D.橢圓
[考場錯解] 選A。 由|z-i|=|3+4i|知z在復平面上對應的圖形是點(0,1)和(3,4
8、)的垂直平分線。
[專家把脈] 上面解答把條件看成|z-i|=|z-(3+4i)|.這類型題應用復數的代數形式z=x+yi(x,y∈R)代入計算才能確定答案。
[對癥下藥] 選C。設z=x+yi(x,y∈R)代入|z-i|=|3+4i|中計算得即x2+(y-1)2=25.∴z的軌跡是表示以(0,1)為圓心,以5為半徑的圓,選C。
[專家把脈] 以上解答錯在兩邊取模的計算,因為|z1+z2|=|z1|+|z2|,只有當z1=λz2(λ∈R+)時成立,而從題設條件中是無法得到這一條件的。
[對癥下藥] 原方程化簡為|z|2+(1-i)z-(1+i)z=1-3i.
設z=x+yi(x,y
9、∈R),代入上述方程得:x2+y2-2xi-2yi=1-3i
∴將(2)代入(1),整理得8x2-12x+5=0 (*)
∵△=-16<0,∴方程(*)無實數解?!嘣匠淘趶蛿捣秶鷥葻o解。
命題角度 3 流程圖
[例1] 已知三個單元存放了變量,,的值,試給出一個算法,順次交換,,的值(即取的值,取的值,取的值),并畫出流程圖.
錯解:第一步
第二步
第三步
流程圖為
圖13-1-3
S1 取一只空的墨水瓶,
10、設其為白色;
S2 將黑墨水瓶中的藍墨水裝入白瓶中;
S3 將藍墨水瓶中的黑墨水裝入黑瓶中;
S4 將白瓶中的藍墨水裝入藍瓶中;
S5 交換結束.
點評:在計算機中,每個變量都分配了一個存儲單元,為了達到交換的目的,需要一個單元存放中間變量.
[例2]已知三個數,,.試給出尋找這三個數中最大的一個算法,畫出該算法的流程圖.
解:流程圖為
點評:條件結構可含有多個判斷框,判斷框內的內容要簡明、準確、清晰.此題也可將第一個判斷框中的兩個條件分別用兩個判斷框表示,兩兩比較也很清晰.若改為求100個數中的最大數或最小數的問
11、題則選擇此法較繁瑣,可采用假設第一數最大(最?。⒌谝粋€數與后面的數依依比較,若后面的數較大(較?。?,則進行交換,最終第一個數即為最大(最?。┲?
點評:求和時根據過程的類同性可用循環(huán)結構來實現,而不用順序結構.
[例3]畫出求的值的算法流程圖.
解:這是一個求和問題,可采用循環(huán)結構實現設計算法,但要注意奇數項為正號,偶數項為負號.
思路一:采用-1的奇偶次方(利用循環(huán)變量)來解決正負符號問題;
圖13-1-6 圖13-1-7
思路二:采用選擇結構分奇偶項
12、求和;
圖13-1-8
思路三:可先將化簡成,轉化為一個等差數列求和問題,易利用循環(huán)結構求出結果.
[例4] 設計一算法,求使成立的最小正整數的值.
解: 流程圖為
圖13-1-9
[例5]任意給定一個大于1的整數n,試設計一個程序或步驟對n是否為質數做出判斷.
解:算法為:
S1 判斷n是否等于2,若n=2,則n是質數;若n>2,則執(zhí)行S2
S2 依次從2~n-1檢驗是不是的因數,即整除n的數,若有這樣的數,則n不是質數;若沒有這樣的數,則n是質數.
點評:要驗證是否為質數首先必須對質數的本質含義作深入分
13、析:
(1)質數是只能被1和自身整除的大于1的整數.
(2)要判斷一個大于1的整數n是否為質數,只要根據定義,用比這個整數小的數去除n.如果它只能被1和本身整除,而不能被其它整數整除,則這個數便是質數.
圖13-1-10
[例6]設計一個求無理數的近似值的算法.
解:設所求近似根與精確解的差的絕對值不超過0.005,算法:
S1 令.因為,所以設
S2 令,判斷是否為0,若是,則m為所求;若否,則繼續(xù)判斷大于0還是小于0.
S3 若>0,則;否則,令.
S4 判斷是否成立,若是,則之間的任意值均為
14、滿足條件的近似根;若否,則返回第二步.
點評:二分法求方程近似解的算法是一個重要的算法案例,將在第三節(jié)中詳細闡述.
命題角度 4 基本算法語句
1.下列程序的運行結果是 .
If >5 Then
If >4 Then
If >3 Then
Print
正解:這里是有三個條件語句,各個條件語句是獨立的,三個條件均成立,所以按順序依次執(zhí)行,結果為8+7+6+6=27.
2.下面的程序運行時輸出的結果是( )
While
End while
Print S
End
[例4]用語句描述求使成立的最大正整
15、數的算法過程.
解:
While
End while
Print
[例5]已知當時,,當時,,當時,,設計一算法求的值.
解: Read x
If then
Else if Then
Else
End if
End
四、典型習題導練
1. 1、復數的虛部為 .
【解析】:復數的虛部為
2、若復數,,則
A. B. C.
16、 D.
3、復數(為虛數單位)在復平面內所對應的點在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】,故選B.
4、設(是虛數單位),則A. B. C. D.
【解析】
5、巳知i是虛數單位,若(),則乘積
(A) -3 (B) -15 (C) 3 (D) 15
【解析】,所以.答案:A
6、若,則
A. B. C. D.
【解析】由于. 故選C.
8、已知 ,其中,為虛數單位,則 。
【解析】將等式兩邊都乘,得到,兩邊
17、比較得結果為4
9、現定義其中i為虛數單位,e為自然對數的底,且實數指數冪的運算性質對都適用,若,
,那么復數等于
A. B. C. D.
【解析】(其實為歐拉公示)
【答案】A
10、某程序框圖如圖所示,則該程序運行后輸出的值是
A.-8 B.-2 C.-1 D.0
【解析】,,;
,,;
,,;
跳出程序.
∴.
【答案】B
11、在如圖所示的流程圖中,若輸入的值為,則輸出A的值為 。
【解析】:經計算A值是以為循環(huán)的,注意,當i =11時仍循環(huán),
12的時候出來,所以有12個A值,結果為
12、在數列,,
18、,要計算此數列前30項的和,現已給出了該問題算法的程序框圖(如圖2所示),
請在圖中判斷框內(1)處和執(zhí)行框中的(2)處填上合適的語句,
使之能完成該題算法功能. (1) ▲ (2) ▲
【解析】該算法使用了循環(huán)結構,因為是求30個數的和,故循環(huán)體應執(zhí)行30次,其中i是計數變量,因此判斷框內的條件就是限制計數變量i的,故應為.算法中的變量p實質是表示參與求和的各個數,由于它也是變化的,且滿足第i個數比其前一個數大,,第個數比其前一個數大i,故應有.故(1)處應填;(2)處應填
13、.一個算法的程序框圖如圖所示,若該程序輸出的結果是,則判斷框內應填入的條件是
A.<
19、4 B.>4 C.<5 D.>5
【解析】初始值,第一次循環(huán)后,第二次循環(huán)后,第三次循環(huán)后,第四次循環(huán)后,因此循環(huán)次數應為4次,故可以作為判斷循環(huán)終止的條件. 故選C.
14、某程序框圖如圖所示,則該程序運行后輸出的k的值是
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】第一次下來,k=3,a=43=64,b=34=81;
第二次下來,k=4,a=44=256,b=44=256;
第三次下來,k=5,a=45=1024,b=54=625.
滿足,故跳出程序.【答案】C
20、15、執(zhí)行如右圖所示的程序框圖,輸出的S值為
A. B.
C. D.
【解析】本類題一般都是先寫幾個,找出一般規(guī)律,
結合數列的求和知識解答.但本類題考生一般都會容易在項數上出錯.
應引起注意.k=1, S=21;k=3,S=21+23;k=5,S=21+23+25;
顯然k=49程序.所以S.
【答案】A
16、算法流程圖如圖所示,其輸出結果是( )
A. 124 B. 125 C. 126 D. 127
【命題意圖】本小題考查流程圖的相關知識,解題的關鍵在于理
21、解算法的功能.
【解析】的取值依次構成一個數列,且滿足,
則求第一個大于100的值,寫出這個數列,
故有結果為127. 【答案】D
17、執(zhí)行右面的程序框圖,若輸出的結果是,則輸入的為( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】本題考查數列的知識以及框圖的閱讀與理解。
由算法框圖可知,當時,
則,故選B
18、下圖是一個把二進制數化成十進制數的程序框圖,判斷框內需填入的條件是
A. B. C. D.
【解析】,故選A.
20、一個算法的程序框圖如圖所示,若該程序輸出的結果是,
則判斷框內應填入的條件是
A.<4 B.>4 C.<5 D.>5