新編人教A版理科數(shù)學(xué)高效訓(xùn)練：89 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 [A組　基礎(chǔ)演練·能力提升] 一、選擇題 1．過點(diǎn)P(4,4)且與雙曲線－＝1只有一個公共點(diǎn)的直線有(　　) A．1條　　　　　　　　　 B．2條 C．3條 D．4條 解析：結(jié)合圖形知，過P(4,4)與雙曲線只有一個公共點(diǎn)的直線，有兩條與雙曲線相切，另兩條與漸近線平行，共4條． 答案：D 2．已知以F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個交點(diǎn)，則橢圓的長軸長為(　　) A．3 B．2 C．2 D. 解析：依題意知c＝2，可設(shè)橢圓方程為＋＝1， 由消去y得： (4a2－4)x2＋8a2x＋16a2－3

2、a2(a2－4)＝0. ∵直線與橢圓僅有一個交點(diǎn)， ∴Δ＝(8a2)2－4×(4a2－4)[16a2－3a2(a2－4)]＝0， ∴解得a2＝7.∴a＝. ∴長軸長為2a＝2. 答案：C 3．已知雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則此直線斜率的取值范圍是(　　) A. B．(－，)[來源:] C. D．[－，] 解析：由題意知，F(xiàn)(4,0)，雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x.當(dāng)過點(diǎn)F的直線與漸近線平行時，滿足與右支只有一個交點(diǎn)，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合可知應(yīng)選C. 答案：C 4．直線4kx－4y－k＝0與拋物線y2＝x交于A，B兩點(diǎn)

3、，若|AB|＝4，則弦AB的中點(diǎn)到直線x＋＝0的距離等于(　　) A. B．2 C. D．4 解析：易知直線4kx－4y－k＝0過拋線y2＝x的焦點(diǎn).∴|AB|為焦點(diǎn)弦． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB中點(diǎn)N[來源:數(shù)理化網(wǎng)] ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4.∴＝. ∴AB中點(diǎn)到直線x＋＝0的距離為＋＝. 答案：C 5．(2014年泰安模擬)斜率為的直線與雙曲線－＝1恒有兩個公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，) D．(，＋∞) 解析：要使直線與雙曲線恒有兩個公共點(diǎn)，則漸近線的斜率的絕對值應(yīng)大于，

4、所以>，∴e＝>2，即e∈(2，＋∞)．故選B. 答案：B 6．已知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，直線y＝k(x－2)與此拋物線相交于P，Q兩點(diǎn)，則＋＝(　　) A. B．1 C．2 D．4 解析：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由題意可知， |PF|＝x1＋2，|QF|＝x2＋2，則＋＝＋＝，聯(lián)立直線與拋物線方程消去y得，k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，可知x1x2＝4，故＋＝＝＝.故選A. 答案：A 二、填空題 7．已知F1為橢圓C：＋y2＝1的左焦點(diǎn)，直線l：y＝x－1與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，則|F1A|＋|F1B|的值為________． 解析：設(shè)點(diǎn)

5、A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程得消去y，得3x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝，易得點(diǎn)A(0，－1)，B.又點(diǎn)F1(－1,0)，因此|F1A|＋|F1B|＝＋ ＝. 答案： 8．直線l：x－y＝0與橢圓＋y2＝1相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是橢圓上的動點(diǎn)，則△ABC面積的最大值是________． 解析：由得3x2＝2， ∴x＝±， ∴A，B， ∴|AB|＝. 設(shè)點(diǎn)C(cos θ，sin θ)，則點(diǎn)C到AB的距離 d＝＝·≤， ∴S△ABC＝|AB|·d≤××＝. 答案： 9．已知雙曲線－＝1的離心率為p，焦點(diǎn)為F的拋物線y2＝2px與直線y＝k(x－)交于A，

6、B兩點(diǎn)，且＝p，則k的值為________． 解析：易知p＝2，拋物線方程為y2＝4x，焦點(diǎn)F(1,0)，直線方程為y＝k(x－1)，∵＝2，∴＝2，又|yAyB|＝4，∴yA＝±2，∴xA＝2，∴k＝＝±2. 答案：±2 三、解答題 10．已知圓C：(x＋)2＋y2＝16，點(diǎn)A(，0)，Q是圓上一動點(diǎn)，AQ的垂直平分線交CQ于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E. (1)求軌跡E的方程； (2)過點(diǎn)P(1,0)的直線l交軌跡E于兩個不同的點(diǎn)A，B，△AOB(O是坐標(biāo)原點(diǎn))的面積S＝，求直線AB的方程． 解析：(1)由題意|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝4>2， 所以軌跡E

7、是以A，C為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓， 即軌跡E的方程為＋y2＝1. (2)記A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由題意，直線AB的斜率不可能為0，而直線x＝1也不滿足條件， 故可設(shè)AB的方程為x＝my＋1. 由消去x得(4＋m2)y2＋2my－3＝0， 所以 S＝|OP||y1－y2|＝ ＝. 由S＝，解得m2＝1，即m＝±1.[來源:] 故直線AB的方程為x＝±y＋1， 即x＋y－1＝0或x－y－1＝0為所求． 11.如圖所示，已知點(diǎn)A(1，)是離心率為的橢圓C：＋＝1(a>b>0)上的一點(diǎn)，斜率為的直線BD交橢圓C于B、D兩點(diǎn)，且A、B、D三點(diǎn)不重合． (

8、1)求橢圓C的方程； (2)△ABD的面積是否存在最大值；若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由； (3)求證：直線AB、AD斜率之和為定值． 解析：(1)由題意，可得e＝＝，＋＝1，a2＝b2＋c2， 解得a＝2，b＝，c＝， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)直線BD的方程為y＝x＋m，D(x1，y1)、B(x2，y2)， 由得4x2＋2mx＋m2－4＝0， 所以Δ＝－8m2＋64>0，所以－2

9、BD|·d＝·≤，當(dāng)且僅當(dāng)8－m2＝m2，即m＝±2時取等號． 因為±2∈(－2，2)，所以當(dāng)m＝±2時，△ABD的面積最大，最大值為. (3)證明：設(shè)直線AB、AD的斜率分別為kAB、kAD，則 kAD＋kAB＝＋＝＋＝2＋m·，(*) 將(2)中①、②式代入(*)式，整理得 2＋m＝0，即kAD＋kAB＝0. 故直線AB、AD斜率之和為定值． 12．(能力提升)如圖所示，橢圓C：＋＝1(a>b>0)，A1、A2為橢圓C的左、右頂點(diǎn)． (1)設(shè)F1為橢圓C的左焦點(diǎn)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)橢圓C上的點(diǎn)P在橢圓的左、右頂點(diǎn)時，|PF1|取得最小值與最大值； (2)若橢圓C上的點(diǎn)到焦

10、點(diǎn)的距離的最大值為3，最小值為1，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (3)若直線l：y＝kx＋m與(2)中所述橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)(A、B不是左、右頂點(diǎn))，且滿足AA2⊥BA2，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 解析：(1)證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，令f(x)＝|PF1|2＝(x＋c)2＋y2. 又點(diǎn)P在橢圓C上，故滿足＋＝1， 則y2＝b2－x2. 代入f(x)得， f(x)＝(x＋c)2＋b2－x2＝x2＋2cx＋a2， 則其對稱軸方程為x＝－， 由題意，知－<－a恒成立， ∴f(x)在區(qū)間[－a，a]上單調(diào)遞增． ∴當(dāng)且僅當(dāng)橢圓C上的點(diǎn)P在橢圓的左、右頂點(diǎn)時，|P

11、F1|取得最小值與最大值． (2)由已知與(1)得a＋c＝3，a－c＝1， ∴a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3. ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (3)如圖所示，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， [來源:] 聯(lián)立 得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，則 又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2 ＝. ∵橢圓的右頂點(diǎn)為A2(2,0)，AA2⊥BA2， ∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0. ∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0. ∴＋＋＋4＝0. ∴7m2＋16km＋4k2＝0，

12、 解得m1＝－2k，m2＝－，且均滿足3＋4k2－m2>0. 當(dāng)m1＝－2k時，l的方程為y＝k(x－2)， 直線過定點(diǎn)(2,0)，與已知矛盾．[來源:] 當(dāng)m2＝－時，l的方程為y＝k， 直線過定點(diǎn)， ∴直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為. [B組　因材施教·備選練習(xí)] 1．若拋物線y＝ax2－1上恒有關(guān)于直線x＋y＝0對稱的相異的兩點(diǎn)A，B，則a的取值范圍是________． 解析：設(shè)拋物線上的兩點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程為y＝x＋b，代入拋物線方程y＝ax2－1，得ax2－x－(b＋1)＝0，則x1＋x2＝.設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則x0＝，y0＝x0＋b＝＋b.由于M(x0，y0)在直線x＋y＝0上，故x0＋y0＝0，由此得b＝－，此時ax2－x－(b＋1)＝0變?yōu)閍x2－x－＝0.由Δ＝1＋4a>0，解得a>. 答案： 2．當(dāng)x>1時，直線y＝ax－a恒在拋物線y＝x2的下方，則a的取值范圍是________． 解析：聯(lián)立整理可得x2－ax＋a＝0，令Δ＝a2－4a＝0，解得a＝0或a＝4，此時直線與拋物線相切，因為直線恒過定點(diǎn)(1,0)，結(jié)合圖形可知，當(dāng)a∈(－∞，4)，x>1時，直線y＝ax－a恒在拋物線y＝x2的下方． 答案：(－∞，4)