高考數(shù)學(xué)選修A 知識(shí)講解 直線與雙曲線的位置關(guān)系（理）

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1、 直線與雙曲線的位置關(guān)系 編稿：張希勇 審稿：李霞 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.能正熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求雙曲線的方程； 2.能熟練運(yùn)用幾何性質(zhì)（如范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線）解決相關(guān)問題； 3.能夠把直線與雙曲線的位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為方程組解的問題，判斷位置關(guān)系及解決相關(guān)問題. 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 【要點(diǎn)梳理】 【高清課堂：雙曲線的性質(zhì) 371712一、復(fù)習(xí)】 要點(diǎn)一、雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程 雙曲線的定義 在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于0且）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距

2、. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 說明：焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)，其中c2=a2-b2 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 說明：焦點(diǎn)是F1(0，-c)、F2(0，c)，其中c2=a2-b2 要點(diǎn)詮釋：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)從“定形”、“定式”和“定值”三個(gè)方面去思考.“定形”是指對(duì)稱中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的情況下，焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上；“定式”根據(jù)“形”設(shè)雙曲線方程的具體形式；“定量”是指用定義法或待定系數(shù)法確定a,b的值. 要點(diǎn)二、雙曲線的幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形 性質(zhì) 焦點(diǎn) ， ，

3、焦距 范圍 ， ， 對(duì)稱性 關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱 頂點(diǎn) 軸 實(shí)軸長=，虛軸長= 離心率 漸近線方程 要點(diǎn)三、直線與雙曲線的位置關(guān)系 直線與雙曲線的位置關(guān)系 將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ. 若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)； 若即， ①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)； ②Δ＝0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)； ③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點(diǎn)． 直線與雙曲線的相交弦 設(shè)直線交雙曲線

4、于點(diǎn)兩點(diǎn)，則 == 同理可得 這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形： 雙曲線的中點(diǎn)弦問題 遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解. 在雙曲線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率； 涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來相互轉(zhuǎn)化，同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍. 解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)立方程求交點(diǎn)，韋達(dá)定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”. 要點(diǎn)四、雙曲線的實(shí)際應(yīng)用與最值問題 對(duì)于雙曲線的實(shí)際應(yīng)用問題，我們要抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，即建立數(shù)學(xué)模型，一般要先

5、建立直角坐標(biāo)系，然后利用雙曲線定義，構(gòu)建參數(shù)a,b,c之間的關(guān)系，得到雙曲線方程，利用方程求解 雙曲線中的最值問題，按照轉(zhuǎn)化途徑主要有以下三種： （1） 利用定義轉(zhuǎn)化 （2） 利用雙曲線的幾何性質(zhì) （3） 轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值 【典型例題】 類型一：雙曲線的方程與性質(zhì) 例1.求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1)與橢圓共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(－2，)的雙曲線； (2)與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3，2)的雙曲線． 【解析】(1)∵橢圓的焦點(diǎn)為(0，±3)， ∴所求雙曲線方程設(shè)為：， 又點(diǎn)(－2，)在雙曲線上， ∴，解得a2＝5或a2＝18(舍去)． ∴所求雙曲線方程為. (2)∵雙

6、曲線的焦點(diǎn)為(±2，0)， ∴設(shè)所求雙曲線方程為：， 又點(diǎn)(3，2)在雙曲線上， ∴，解得a2＝12或30(舍去)， ∴所求雙曲線方程為. 【總結(jié)升華】根據(jù)焦點(diǎn)所在軸的位置合理的設(shè)出方程是求雙曲線方程的基本步驟。 舉一反三： 【變式1】設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線為y＝±x，則該雙曲線的離心率為(　　) A．5 B. C. D. 【答案】C 【變式2】（2015 安徽卷）下列雙曲線中，焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y=±2x的是（ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】 C 【解析】 由題意：選項(xiàng)中A

7、，B焦點(diǎn)在x軸，排除 C項(xiàng)的漸近線方程為，即y＝±2x， 故選C. 類型二：直線與雙曲線的位置關(guān)系 例2．已知雙曲線x2－y2=4，直線l：y=k(x－1)，討論直線與雙曲線公共點(diǎn)個(gè)數(shù). 【思路點(diǎn)撥】 直線與曲線恰有一個(gè)交點(diǎn)，即由直線方程與曲線方程聯(lián)立的方程組只有一組解. 【解析】聯(lián)立方程組消去y，并依x項(xiàng)整理得： (1－k2)·x2+2k2x－k2－4=0 ① (1)當(dāng)1－k2=0即k=±1時(shí)，方程①可化為2x=5，x=，方程組只有一組解，故直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)(實(shí)質(zhì)上是直線與漸近線平行時(shí)的兩種情況，相交但不相切

8、). (2)當(dāng)1－k2≠0時(shí)，即k≠±1，此時(shí)有Δ=4·(4－3k2)若4－3k2>0(k2≠1)， 則k∈，方程組有兩解，故直線與雙曲線有兩交點(diǎn). (3)若4－3k2=0(k2≠1)，則k=±，方程組有解，故直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)(相切的情況). (4)若4－3k2<0且k2≠1則k∈，方程組無解，故直線與雙曲線無交點(diǎn). 綜上所述，當(dāng)k=±1或k=±時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)k∈時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)k∈時(shí)，直線與雙曲線無公共點(diǎn). 【總結(jié)升華】本題通過方程組解的個(gè)數(shù)來判斷直線與雙曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，具體操作時(shí)，運(yùn)用了重要的數(shù)學(xué)方法——分類討論，而且是“雙向討

9、論”，既要討論首項(xiàng)系數(shù)1——k2是否為0，又要討論Δ的三種情況，為理清討論的思路，可畫“樹枝圖”如圖： 舉一反三： 【變式1】(2014 天津)已知雙曲線(a＞0，b＞0)的一條漸近線平行于直線l：y＝2x＋10，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為(　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令y＝0，可得x＝－5，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－5，0)，∴c＝5， ∵雙曲線(a＞0，b＞0)的一條漸近線平行于直線l：y＝2x＋10， ∴＝2， ∵c2＝a2＋b2， ∴a2＝5，b2＝20， ∴雙曲線的方程為． 故選：A．

10、 【答案】B 【變式2】直線y=x+3與曲線－x·|x|+y2=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 例3.過點(diǎn)與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條，分別求出它們的方程。 【思路點(diǎn)撥】 顯然采用過P點(diǎn)的直線方程與雙曲線方程聯(lián)立的方法，但要注意直線斜率不存在的情況要先判斷。 【解析】若直線的斜率不存在時(shí)，則，此時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn)，滿足條件； 若直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為則， ， ∴， ，

11、 當(dāng)時(shí)，方程無解，不滿足條件； 當(dāng)時(shí)，方程有一解，滿足條件； 當(dāng)時(shí)，令，化簡得：無解，所以不滿足條件； 所以滿足條件的直線有兩條和。 【總結(jié)升華】直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)可能相切也可能相交，注意直線的特殊位置和所過的特殊點(diǎn). 舉一反三： 【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)371712 例2】 【變式】雙曲線的右焦點(diǎn)到直線x-y-1=0的距離為,且. (1)求此雙曲線的方程； (2)設(shè)直線y=kx+m(m≠0)與雙曲線交于不同兩點(diǎn)C、D，若點(diǎn)A坐標(biāo)為(0，-b)，且|AC|=|AD|，求實(shí)數(shù)k取值范圍。 【答案】（1） （2） 類型三：雙曲線的弦 例4.（1）求直線被雙曲線截

12、得的弦長； （2）求過定點(diǎn)的直線被雙曲線截得的弦中點(diǎn)軌跡方程. 【思路點(diǎn)撥】 （1）題為直線與雙曲線的弦長問題，可以考慮弦長公式，結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行求解。 （2）題涉及到直線被雙曲線截得弦的中點(diǎn)問題，可采用點(diǎn)差法或中點(diǎn)坐標(biāo)公式，運(yùn)算會(huì)更為簡便. 解：由得得（*） 設(shè)方程（*）的解為，則有 得， . （2）方法一：若該直線的斜率不存在時(shí)與雙曲線無交點(diǎn)，則設(shè)直線的方程為，它被雙曲線截得的弦為對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)為， 由得（*） 設(shè)方程（*）的解為，則 ∴， 且， ∴， 得或. 方法二：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為，弦中點(diǎn)為，則 得：， ∴， 即， 即（圖

13、象的一部分） 【總結(jié)升華】（1）弦長公式； （2）注意上例中有關(guān)中點(diǎn)弦問題的兩種處理方法. 舉一反三： 【變式】垂直于直線的直線被雙曲線截得的弦長為，求直線的方程 【答案】 類型四：雙曲線的綜合問題 例5.設(shè)P是雙曲線x2－＝1的右支上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，已知A(3,1)，則|PA|＋|PF|的最小值為________． 【答案】?。? 【解析】設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F′，則有F′(－2，0)，F(xiàn)(2,0)，連結(jié)AF′交雙曲線的右支于點(diǎn)P1，連結(jié)P1F，則|P1F′|－|P1F|＝2a＝2. 于是(|PA|＋|PF|)min＝|P1A|＋|P1F| ＝|P1A|＋

14、(|P1F′|－2)＝|AF′|－2＝－2. 【總結(jié)升華】雙曲線的定義是解決有關(guān)最值問題的重要依據(jù) 舉一反三： 【變式1】設(shè)，為雙曲線=1的右焦點(diǎn)，在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得 取得最小值時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo). 【答案】P點(diǎn)的坐標(biāo)為 【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)371712例3】 【變式2】一條斜率為1的直線與離心率為的雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，直線與y軸交于R點(diǎn)，且，求直線和雙曲線方程. 【答案】直線方程； 雙曲線方程 【變式3】（2016年 山東文）已知雙曲線E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|=3|BC|，則E的離心率是_______． 【解析】 依題意，不妨設(shè)作出圖像如下圖所示 則故離心率