高考數(shù)學(xué)選修B 知識(shí)講解 直線與雙曲線的位置關(guān)系（理）

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1、 直線與雙曲線的位置關(guān)系 編稿：張希勇 審稿：李霞 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.能正熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求雙曲線的方程； 2.能熟練運(yùn)用幾何性質(zhì)（如范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線）解決相關(guān)問(wèn)題； 3.能夠把直線與雙曲線的位置關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組解的問(wèn)題，判斷位置關(guān)系及解決相關(guān)問(wèn)題. 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 雙曲線 雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 雙曲線的幾何性質(zhì) 直線與雙曲線的位置關(guān)系 雙曲線的綜合問(wèn)題 雙曲線的弦問(wèn)題 雙曲線離心率及漸近線問(wèn)題 【要點(diǎn)梳理】 【高清課堂：雙曲線的性質(zhì) 371712一、復(fù)習(xí)】 要點(diǎn)一、雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程 雙曲線的

2、定義 在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于0且）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 說(shuō)明：焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)，其中c2=a2-b2 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 說(shuō)明：焦點(diǎn)是F1(0，-c)、F2(0，c)，其中c2=a2-b2 要點(diǎn)詮釋：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)從“定形”、“定式”和“定值”三個(gè)方面去思考.“定形”是指對(duì)稱中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的情況下，焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上；“定式”根據(jù)“形”設(shè)雙曲線方程的具體形

3、式；“定量”是指用定義法或待定系數(shù)法確定a,b的值. 要點(diǎn)二、雙曲線的幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形 性質(zhì) 焦點(diǎn) ， ， 焦距 范圍 ， ， 對(duì)稱性 關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱 頂點(diǎn) 軸 實(shí)軸長(zhǎng)=，虛軸長(zhǎng)= 離心率 漸近線方程 要點(diǎn)三、直線與雙曲線的位置關(guān)系 直線與雙曲線的位置關(guān)系 將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ. 若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)； 若即， ①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)； ②Δ＝

4、0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)； ③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無(wú)公共點(diǎn)． 直線與雙曲線的相交弦 設(shè)直線交雙曲線于點(diǎn)兩點(diǎn)，則 == 同理可得 這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形： 雙曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題 遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解. 在雙曲線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率； 涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)相互轉(zhuǎn)化，同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍. 解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)立方程求交點(diǎn)，韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)，根的分

5、布找范圍，曲線定義不能忘”. 要點(diǎn)四、雙曲線的實(shí)際應(yīng)用與最值問(wèn)題 對(duì)于雙曲線的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，我們要抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，即建立數(shù)學(xué)模型，一般要先建立直角坐標(biāo)系，然后利用雙曲線定義，構(gòu)建參數(shù)a,b,c之間的關(guān)系，得到雙曲線方程，利用方程求解 雙曲線中的最值問(wèn)題，按照轉(zhuǎn)化途徑主要有以下三種： （1） 利用定義轉(zhuǎn)化 （2） 利用雙曲線的幾何性質(zhì) （3） 轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值 【典型例題】 類型一：雙曲線的方程與性質(zhì) 例1.設(shè)F1、F2是雙曲線1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，若，且，其中，求雙曲線的離心率． 【解析】由雙曲線定義知，||PF1|－|PF2||＝2a，

6、∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2， 又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴|PF1|·|PF2|＝2b2， 又，∴2ac＝2b2， ∴b2＝c2－a2＝ac，∴e2－e－1＝0，∴e＝， 即雙曲線的離心率為. 【總結(jié)升華】根據(jù)雙曲線的定義，幾何性質(zhì)，找到幾何量的關(guān)系是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵。 舉一反三： 【變式1】 (2015 上海)已知點(diǎn)和的橫坐標(biāo)相同，的縱坐標(biāo)是的縱坐標(biāo)的2倍，和的軌跡分別為雙曲線和，若的漸近線方程為，則的漸近線方程 . 【答案】 【解析】設(shè)點(diǎn)和的坐標(biāo)為、，則有 又因?yàn)榈臐u近線方程為，故設(shè)的方程為， 把點(diǎn)

7、坐標(biāo)代入，可得，令，即為曲線的漸近線方程，即。 故答案為。 【變式2】設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線為y＝±x，則該雙曲線的離心率為(　　) A．5 B. C. D. 【答案】C 類型二：直線與雙曲線的位置關(guān)系 例2．已知雙曲線x2－y2=4，直線l：y=k(x－1)，討論直線與雙曲線公共點(diǎn)個(gè)數(shù). 【思路點(diǎn)撥】 直線與曲線恰有一個(gè)交點(diǎn)，即由直線方程與曲線方程聯(lián)立的方程組只有一組解. 【解析】聯(lián)立方程組消去y，并依x聚項(xiàng)整理得： (1－k2)·x2+2k2x－k2－4=0 ① (1)當(dāng)

8、1－k2=0即k=±1時(shí)，方程①可化為2x=5，x=，方程組只有一組解，故直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)(實(shí)質(zhì)上是直線與漸近線平行時(shí)的兩種情況，相交但不相切). (2)當(dāng)1－k2≠0時(shí)，即k≠±1，此時(shí)有Δ=4·(4－3k2)若4－3k2>0(k2≠1)， 則k∈，方程組有兩解，故直線與雙曲線有兩交點(diǎn). (3)若4－3k2=0(k2≠1)，則k=±，方程組有解，故直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)(相切的情況). (4)若4－3k2<0且k2≠1則k∈，方程組無(wú)解，故直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn). 綜上所述，當(dāng)k=±1或k=±時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)k∈時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)k∈時(shí)

9、，直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn). 【總結(jié)升華】本題通過(guò)方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷直線與雙曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，具體操作時(shí)，運(yùn)用了重要的數(shù)學(xué)方法——分類討論，而且是“雙向討論”，既要討論首項(xiàng)系數(shù)1——k2是否為0，又要討論Δ的三種情況，為理清討論的思路，可畫“樹枝圖”如圖： 舉一反三： 【變式1】過(guò)原點(diǎn)的直線l與雙曲線=－1交于兩點(diǎn)，則直線l的斜率取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【變式2】直線y=x+3與曲線－x·|x|+y2=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是

10、 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 例3.過(guò)點(diǎn)與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條，分別求出它們的方程。 【思路點(diǎn)撥】 顯然采用過(guò)P點(diǎn)的直線方程與雙曲線方程聯(lián)立的方法，但要注意直線斜率不存在的情況要先判斷。 【解析】若直線的斜率不存在時(shí)，則，此時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn)，滿足條件； 若直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為則， ， ∴， ， 當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，不滿足條件； 當(dāng)時(shí)，方程有一解，滿足條件； 當(dāng)時(shí)，令，化簡(jiǎn)得：無(wú)解，所以不滿足條件； 所以

11、滿足條件的直線有兩條和。 【總結(jié)升華】直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)可能相切也可能相交，注意直線的特殊位置和所過(guò)的特殊點(diǎn). 舉一反三： 【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)371712例2】 【變式】雙曲線的右焦點(diǎn)到直線x-y-1=0的距離為,且. (1)求此雙曲線的方程； (2)設(shè)直線y=kx+m(m≠0)與雙曲線交于不同兩點(diǎn)C、D，若點(diǎn)A坐標(biāo)為(0，-b)，且|AC|=|AD|，求實(shí)數(shù)k取值范圍。 【答案】（1） （2） 類型三：雙曲線的弦 例4.（1）求直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)； （2）求過(guò)定點(diǎn)的直線被雙曲線截得的弦中點(diǎn)軌跡方程. 【思路點(diǎn)撥】 （1）題為直線與雙曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，

12、可以考慮弦長(zhǎng)公式，結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行求解。 （2）題涉及到直線被雙曲線截得弦的中點(diǎn)問(wèn)題，可采用點(diǎn)差法或中點(diǎn)坐標(biāo)公式，運(yùn)算會(huì)更為簡(jiǎn)便. 解：由得得（*） 設(shè)方程（*）的解為，則有 得， . （2）方法一：若該直線的斜率不存在時(shí)與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，則設(shè)直線的方程為，它被雙曲線截得的弦為對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)為， 由得（*） 設(shè)方程（*）的解為，則 ∴， 且， ∴， 得或. 方法二：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為，弦中點(diǎn)為，則 得：， ∴， 即， 即（圖象的一部分） 【總結(jié)升華】（1）弦長(zhǎng)公式； （2）注意上例中有關(guān)中點(diǎn)弦問(wèn)題的兩種處理方法. 舉一反三： 【變式

13、1】垂直于直線的直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程 【答案】 【變式2】雙曲線的一弦中點(diǎn)為（2，1），則此弦所在的直線方程為 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【變式3】（2016 海南校級(jí)模擬）雙曲線C的一條漸近線方程是：x―2y=0，且曲線C過(guò)點(diǎn)。 （1）求雙曲線C的方程； （2）設(shè)曲線C的左、右頂點(diǎn)分別是A1、A2，P為曲線C上任意一點(diǎn)，PA1、PA2分別與直線l：x=1交于M、N，求|MN|的最小值。 【答案】（1）由漸近線方程可知，雙曲線C的方程為x2―4y2=k，把代入可得k=4，所以雙曲

14、線方程為。 （2）由雙曲線的對(duì)稱性可知，P在右支上時(shí)，|MN|取最小值。 由上可得A1（―2，0），A2（2，0），根據(jù)雙曲線方程可得， 所以設(shè)直線PA1、PA2的斜率分別為k1、k2（k1、k2＞0）， 則。PA1的方程為y=k1(x+2)，令x=1，解得M（1，3k1）， PA2的方程為y=k2(x―2)，令x=1，解得N（1，―k2）， 所以。 當(dāng)且僅當(dāng)3k1=k2，即時(shí)等號(hào)成立。 類型四：雙曲線的綜合問(wèn)題 例5.已知點(diǎn)M(－2,0),N(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足條件 |PM|－|PN|=2.記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W. (Ⅰ)求W的方程; (Ⅱ)若A,B是W上

15、的不同兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),求的最小值. 【思路點(diǎn)撥】(Ⅱ)中，選好控制變量----直線的斜率k, 建立目標(biāo)的函數(shù)是關(guān)鍵。 【解析】(Ⅰ) 根據(jù)雙曲線的定義可得 W的方程為. (Ⅱ)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(),(),當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為,與W的方程聯(lián)立,消去y得 故, 所以…… 又因?yàn)樗詮亩? 當(dāng)軸時(shí),從而 綜上,當(dāng)AB⊥x軸時(shí), 取得最小值2. 【總結(jié)升華】雙曲線中的有關(guān)最值問(wèn)題多考慮雙曲線的定義、幾何性質(zhì)及函數(shù)表示，轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題和函數(shù)的最值問(wèn)題解決. 舉一反三： 【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)371712例3】 【變式1】一條斜率為1的直線與離心率

16、為的雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，直線與y軸交于R點(diǎn)，且，求直線和雙曲線方程. 【答案】直線方程； 雙曲線方程 【變式2】(2014 湖北)已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)．且∠F1PF2＝，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為(　　 ) 　 A． B． C． 3 D． 2 【答案】A 【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a，雙曲線的實(shí)半軸為a1，(a＞a1)，半焦距為c， 由橢圓和雙曲線的定義可知， 設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c， 橢圓和雙曲線的離心率分布為e1，e2 ∵∠F1PF2＝， ∴由余弦定理可得4c2＝(r1)2＋(r2)2－2r1r2cos，① 在橢圓中，①化簡(jiǎn)為即4c2＝4a12＋3r1r2， 即，② 在雙曲線中，①化簡(jiǎn)為即4c2＝4a22＋r1r2， 即，③ 聯(lián)立②③得，， 由柯西不等式得， 即 即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， 故選：A