數(shù)學(xué)第十一章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第三節(jié) 合情推理與演繹推理 文

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1、第三節(jié)合情推理與演繹推理總綱目錄教材研讀1.合情推理考點(diǎn)突破2.演繹推理考點(diǎn)二歸納推理考點(diǎn)二歸納推理考點(diǎn)一類比推理考點(diǎn)三演繹推理考點(diǎn)三演繹推理類型定義特點(diǎn)歸納推理根據(jù)一類事物的部分部分 對(duì)象具有某種性質(zhì),推出這類事物的全部全部 對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理由部分部分 到整體整體 、由個(gè)別個(gè)別 到一般一般 類比推理根據(jù)兩類事物之間具有某些類似(或一致)性,推測一類事物具有另一類事物類似(或相同)的性質(zhì)的推理由特殊特殊 到特殊特殊 1.合情推理合情推理教材研讀教材研讀2.演繹推理演繹推理(1)定義定義:從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理稱為演繹推理.簡言之,演繹推理是由一般到特殊的推理

2、.(2)“三段論三段論”是演繹推理的一般模式是演繹推理的一般模式,包括包括:(i)大前提已知的一般原理;(ii)小前提所研究的特殊情況;(iii)結(jié)論根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況作出的判斷.1.(1)已知a是三角形一邊的長,h是該邊上的高,則三角形的面積是ah,如果把扇形的弧長l,半徑r分別看成三角形的底邊長和高,可得到扇形的面積為lr;(2)由1=12,1+3=22,1+3+5=32,可得到1+3+5+2n-1=n2.(1)(2)兩個(gè)推理過程分別屬于()A.類比推理、歸納推理B.類比推理、演繹推理C.歸納推理、類比推理D.歸納推理、演繹推理1212答案答案 A(1)三角形的性質(zhì)與扇形的性質(zhì)有相似

3、之處,此種推理為類比推理;(2)由特殊到一般,此種推理為歸納推理.故選A.A2.(2017北京海淀二模)一位手機(jī)用戶前四次輸入四位數(shù)字手機(jī)密碼均不正確,第五次輸入密碼正確,手機(jī)解鎖.事后發(fā)現(xiàn)前四次輸入的密碼中,每次都有兩個(gè)數(shù)字正確,但它們各自的位置均不正確.已知前四次輸入的密碼分別為3406,1630,7364,6173,則正確的密碼中一定含有數(shù)字()A.4,6B.3,6C.3,7D.1,7答案答案 D由前四次輸入的密碼可知3和6均出現(xiàn)四次,且每個(gè)位置出現(xiàn)一次,故正確密碼中沒有3和6,又前四次輸入的密碼中,每次有兩個(gè)數(shù)字正確,故正確密碼中數(shù)字為0,4,1,7,故正確密碼為0741或4017.故

4、選D.D3.(2016北京石景山一模)將數(shù)字1,2,3,4,5,6書寫在每一個(gè)骰子的六個(gè)表面上,做成6枚一樣的骰子.分別取三枚同樣的這種骰子疊放成如圖A和B所示的兩個(gè)柱體,則柱體A和B的表面(不含地面)上的數(shù)字之和分別是()A.47,48B.47,49C.49,50D.50,49A答案答案A由圖A知,5不與6、4相對(duì),由圖B知,5不與1、3相對(duì),故5與2相對(duì).同理,6與1相對(duì),3與4相對(duì).故柱體A和B的表面(不含地面)上的數(shù)字之和分別為47,48.4.在平面上,若兩個(gè)正三角形的邊長比為1 2,則它們的面積比為1 4,類似地,在空間中,若兩個(gè)正四面體的棱長比為1 2,則它們的體積比為.答案答案1

5、 8解析解析兩個(gè)正三角形是相似三角形,它們的面積比是相似比的平方.類似地,兩個(gè)正四面體是兩個(gè)“相似”幾何體,體積比為相似比的立方,所求體積比為1 8.1 85.(2018北京海淀高三期末)某次高三英語聽力考試中有5道選擇題,每題1分,每道題在A,B,C三個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確的.下表是甲、乙、丙三名同學(xué)每道題填涂的答案和這5道題的得分:12345得分甲CCABB4乙CCBBC3丙BCCBB2則甲同學(xué)答錯(cuò)的題目的題號(hào)是;此題正確的選項(xiàng)是.答案答案5;A解析解析甲與乙在1,2,4三道題選項(xiàng)相同,又甲選對(duì)4道,乙選對(duì)3道,1,2,4題正確選項(xiàng)分別為C,C,B;甲選錯(cuò)的是題3或題5,由丙的成績知其只做

6、對(duì)了題2和題4,題3不選C,題5不選B,由乙的答題和得分情況知,題5不選C,即題5正確的選項(xiàng)為A.考點(diǎn)一類比推理考點(diǎn)一類比推理考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破典例典例1(1)給出下列類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集,R為實(shí)數(shù)集,C為復(fù)數(shù)集):由“若a,bR,則a-b=0a=b”類比推出“若a,bC,則a-b=0a=b”;由“若a,b,c,dR,則復(fù)數(shù)a+bi=c+dia=c,b=d”類比推出“若a,b,c,dQ,則a+b=c+da=c,b=d”;由“若a,bR,則a-b0ab”類比推出“若a,bC,則a-b0ab”;由“若xR,則|x|1-1x1”類比推出“若zC,則|z|1-1z2,f(8),f(16)3,觀

7、察上述結(jié)果,可推測一般的結(jié)論為.(2)已知x(0,+),觀察下列各式:x+2,x+=+3,x+=+4,歸納得x+n+1(nN*),則a=.12131n32521x24x2x2x24x327x3x3x3x327xnax命題角度二與不等式有關(guān)的推理命題角度二與不等式有關(guān)的推理答案答案(1)f(2n)(nN*)(2)nn22n解析解析(1)f(21)=,f(22)2=,f(23),f(24),歸納得f(2n)(nN*).(2)第一個(gè)式子是n=1的情況,此時(shí)a=11=1;第二個(gè)式子是n=2的情況,此時(shí)a=22=4;第三個(gè)式子是n=3的情況,此時(shí)a=33=27,歸納可知a=nn.3242526222n命

8、題角度三與數(shù)列有關(guān)的推理命題角度三與數(shù)列有關(guān)的推理典例典例4以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的詳解九章算術(shù)一書中的“楊輝三角形”.該表由若干行數(shù)字組成,從第二行起,每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和,表中最后一行僅有一個(gè)數(shù),則這個(gè)數(shù)為()A.201722015B.201722014C.201622015D.201622014B答案答案 B解析解析由題意知數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列,且第一行數(shù)的公差為1,第二行數(shù)的公差為2,第三行數(shù)的公差為4,第2015行數(shù)的公差為22014,第1行的第一個(gè)數(shù)為22-1,第2行的第一個(gè)數(shù)為320,第3行的第一個(gè)數(shù)為421,第n行的第一個(gè)數(shù)為(n+1

9、),第2016行只有一個(gè)數(shù)M,則M=(1+2016)22014=201722014.故選B.22n命題角度四與圖形變化有關(guān)的推理命題角度四與圖形變化有關(guān)的推理典例典例5下面圖形由小正方形組成,請(qǐng)觀察圖1至圖4的規(guī)律,依此規(guī)律,第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是(nN*).(1)2n n答案答案(1)2n n解析解析由題圖可知第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為1+2+3+n=.(1)2n n規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1)歸納推理的一般步驟通過對(duì)某些個(gè)體的觀察、分析和比較,發(fā)現(xiàn)它們的相同性質(zhì)或變化規(guī)律;由發(fā)現(xiàn)的相同性質(zhì)或變化規(guī)律推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題.(2)歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推出一般現(xiàn)象,因而由歸納所得的結(jié)論超

10、越了前提所包含的范圍.(3)歸納推理所得結(jié)論未必正確,有待進(jìn)一步證明,但對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論和科學(xué)的發(fā)現(xiàn)很有用.2-1如圖所示,將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案,每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有n(n1,nN)個(gè)點(diǎn),相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為an,則+=()A.B.C.D.239a a349a a459a a201520169aa20122013201320122014201520142013C答案答案C每條邊有n個(gè)點(diǎn),所以3條邊有3n個(gè)點(diǎn),三角形的3個(gè)頂點(diǎn)重復(fù)計(jì)算了一次,所以減3個(gè)頂點(diǎn),即an=3n-3,那么=-,即+=+=1-=,故選C.19nna a9(33) 3nn1(1)nn11n1n239a a349a a4

11、59a a201520169aa11121123113411201420151201520142015典例典例6(1)(2017北京朝陽一模)如圖,AB1C1,B1B2C2,B2B3C3是三個(gè)邊長為2的等邊三角形,且有一條邊在同一直線上,邊B3C3上有5個(gè)不同的點(diǎn)P1,P2,P3,P4,P5,設(shè)mi=(i=1,2,5),則m1+m2+m5=.2ACiAP考點(diǎn)三演繹推理考點(diǎn)三演繹推理(2)(2017北京西城二模)某班開展一次智力競賽活動(dòng),共a,b,c三個(gè)問題,其中題a滿分是20分,題b,c滿分都是25分.每道題或者得滿分,或者得0分.活動(dòng)結(jié)果顯示,全班同學(xué)每人至少答對(duì)一道題,有1名同學(xué)答對(duì)全部三

12、道題,有15名同學(xué)答對(duì)其中兩道題.答對(duì)題a與題b的人數(shù)之和為29,答對(duì)題a與題c的人數(shù)之和為25,答對(duì)題b與題c的人數(shù)之和為20,則該班同學(xué)中只答對(duì)一道題的人數(shù)是;該班的平均成績是.答案答案(1)90(2)4;42分解析解析(1)因?yàn)锳B1C1,B1B2C2,B2B3C3均是邊長為2的等邊三角形,所以AB1C2為等腰三角形,AB1C2=120,AB3C3=60,所以C2AB3=30,AC2=2,延長AC2,B3C3,交于點(diǎn)D,3則D=90,所以,所以=0.所以mi=(+)=+=|cos30+0=26=18,所以m1+m2+m5=185=90.(2)設(shè)答對(duì)題a,題b,題c的人數(shù)分別為Sa,Sb,

13、Sc,由題意得2AC33B C2AC33B C2ACiAP2AC3AB3iB P2AC3AB2AC3iB P2AC3AB33229,20,25abbcacSSSSSS17,12,8.abcSSS設(shè)只答對(duì)題a的人數(shù)為a,只答對(duì)題b的人數(shù)為b,只答對(duì)題c的人數(shù)為c,答對(duì)a與b,b與c,a與c的人數(shù)分別為x,y,z.由題可知x+y+z=15.Sa=x+z+a+1=17,Sb=x+y+b+1=12,Sc=y+z+c+1=8,+得,2(x+y+z)+(a+b+c)+3=37.故a+b+c=4,即只答對(duì)一道題的有4人,故全班總?cè)藬?shù)為1+15+4=20.總分為20Sa+25Sb+25Sc=840,平均分為=

14、42(分).84020規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1)演繹推理是從一般到特殊的推理,其一般形式是三段論,應(yīng)用三段論解決問題時(shí),應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提,如果大前提是顯然的,則可以省略.(2)在推理論證過程中,一些復(fù)雜的證明題常常要利用幾個(gè)三段論才能完成.3-1 (2017北京,14,5分)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成,人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:(i)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù);(ii)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù);(iii)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為;該小組人數(shù)的最小值為.答案答案612解析解析設(shè)男學(xué)生人數(shù)為x,女學(xué)生人數(shù)為y,教師人數(shù)為z,由已知得且x,y,z均為正整數(shù).當(dāng)z=4時(shí),8xy4,x的最大值為7,y的最大值為6,故女學(xué)生人數(shù)的最大值為6.xyz,當(dāng)x=3時(shí),條件不成立,當(dāng)x=4時(shí),條件不成立,當(dāng)x=5時(shí),5yz,此時(shí)z=3,y=4.該小組人數(shù)的最小值為12.,2,xyyzzx2x52