運(yùn)籌學(xué)課件 ：層次分析法

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1、1第一章第一章 層次分析法層次分析法(AHP)(AHP) AHP (Analytic Hierarchy Process)方法，又稱為層次分析法或多層次權(quán)重解析方法，是20世紀(jì)70年代初期由美國(guó)著名運(yùn)籌學(xué)家、匹茲堡大學(xué)薩蒂(TLSaaty)教授首次提出來(lái)的。 該方法是定量和定性分析相結(jié)合的多目標(biāo)決策方法，能夠有效地分析目標(biāo)準(zhǔn)則體系層次間的非序列關(guān)系，有效地綜合測(cè)度決策者的判斷和比較。由于系統(tǒng)、簡(jiǎn)潔、實(shí)用，在社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、管理等許多方面，得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。 2 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 一、一、遞階層次結(jié)構(gòu)模型遞階層次結(jié)構(gòu)模型 首先要把問(wèn)題條理化、層次化，構(gòu)造出

2、能夠反映系統(tǒng)內(nèi)在聯(lián)系的遞階層 次結(jié)構(gòu)模型。將具有共同屬性的元素歸并為一組，作為結(jié)構(gòu)模型的一個(gè)層 次。同一 層次的元素既對(duì)下一層次元素起著制約作用，同時(shí)又受到上一層 次元素的制約。這樣，構(gòu)造了遞階層次結(jié)構(gòu)模型。AHP的層次結(jié)構(gòu)，既可以 是序列型的，也可以是非序列型的。一般來(lái)說(shuō)，可以將層次分為三種類型： 最高層。只包含一個(gè)元素，表示總目標(biāo)層。 中間層。包含若干層元素，表示實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)所涉及到的各子目標(biāo)， 稱目標(biāo)層。 最低層。表示實(shí)現(xiàn)各決策目標(biāo)的可行方案，稱為方案層。 3 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 一、一、遞階層次結(jié)構(gòu)模型遞階層次結(jié)構(gòu)模型 層次結(jié)構(gòu)中相鄰兩層次元素之間的

3、關(guān)系用直線標(biāo)明，稱為作用線，元素之間不存 在關(guān)系，就沒(méi)有作用線。如果某一元素與相鄰下一層次所有元素均有關(guān)系，則稱此元 素與下一層次存在完全層次關(guān)系；如果某元素僅與相鄰下一層次部分元素存在關(guān)系， 則稱為不完全層次關(guān)系。 在實(shí)際操作中，模型的層次數(shù)由系統(tǒng)的復(fù)雜程度和決策的實(shí)際需要而定，不宜過(guò)多。每一層次元素一般不要超過(guò)9個(gè)，過(guò)多的元素會(huì)給主觀判斷比較帶來(lái)困難。構(gòu)造一個(gè)合理而簡(jiǎn)潔的層次結(jié)構(gòu)模型，是AHP方法的關(guān)鍵。 GC1C2Cs總目標(biāo)總目標(biāo)第第1層子目標(biāo)層子目標(biāo)第第n層子目標(biāo)層子目標(biāo)方案層方案層)1(2g)1(1ng)1(1g)(1ng)(2ng)(nnng4 7.1 AHP7.1 AHP方法的基

4、本原理方法的基本原理 一、一、遞階層次結(jié)構(gòu)模型遞階層次結(jié)構(gòu)模型 例1 構(gòu)建科研課題決策的層次結(jié)構(gòu)模型。決策往往涉及眾多因素：成果貢獻(xiàn)、人 才培養(yǎng)、可行性、發(fā)展前景四個(gè)目標(biāo)。和這四個(gè)目標(biāo)相關(guān)的因素又有以下幾個(gè)： 實(shí)用價(jià)值。研究成果給社會(huì)帶來(lái)的效益，包括經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益。實(shí)用價(jià)值與成果貢獻(xiàn)、人才培養(yǎng)、發(fā)展前景等目標(biāo)都有關(guān)系。 科技水平。課題在學(xué)術(shù)上的理論價(jià)值以及在同行中的領(lǐng)先水平?？萍妓街苯雨P(guān)系到成果貢獻(xiàn)、人才培養(yǎng)、發(fā)展前景。 優(yōu)勢(shì)發(fā)揮。課題發(fā)揮本單位學(xué)科及人才優(yōu)勢(shì)程度，體現(xiàn)與同類課題比較的有利因素。與人才培養(yǎng)、課題可行性、發(fā)展前景均有關(guān)系。 難易程度。指課題本身的難度以及課題組現(xiàn)有人才、設(shè)備

5、條件所決定的成功可能性。與課題可行性、發(fā)展前景相關(guān)聯(lián)。 研究周期。課題研究預(yù)計(jì)所需時(shí)間，與可行性直接相關(guān)。 財(cái)政支持。是指課題的經(jīng)費(fèi)、設(shè)備以及經(jīng)費(fèi)來(lái)源。與課題可行性、發(fā)展前景直接相關(guān)。 科研課題決策，就是綜合上述各種目標(biāo)和因素，確定各個(gè)課題的相對(duì)優(yōu)劣次 序，以供優(yōu)選課題和安排科研力量參考。為此，建立科研課題決策的層次結(jié)構(gòu)模 型。模型從上到下，分為四個(gè)層次，層次之司的關(guān)聯(lián)情況均以作用線標(biāo)明。 5 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 一、一、遞階層次結(jié)構(gòu)模型遞階層次結(jié)構(gòu)模型 綜合評(píng)價(jià)科研課題綜合評(píng)價(jià)科研課題A課題課題1成果貢獻(xiàn)成果貢獻(xiàn)B1人才培養(yǎng)人才培養(yǎng)B2可行性可行性B3發(fā)

6、展前景發(fā)展前景B4實(shí)實(shí)用用價(jià)價(jià)值值C1科科技技水水平平C2優(yōu)優(yōu)勢(shì)勢(shì)發(fā)發(fā)揮揮C3難難易易程程度度C4研研究究周周期期C5財(cái)財(cái)政政支支持持C6經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)效效益益C11社社會(huì)會(huì)效效益益C12課題課題N6 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 二、判斷矩陣及其二、判斷矩陣及其特征向量特征向量 AHP方法采用優(yōu)先權(quán)重作為區(qū)分方案優(yōu)劣程度的指標(biāo)。 優(yōu)先權(quán)重是一種相對(duì)度量數(shù)，表示方案相對(duì)優(yōu)劣的程度，其數(shù)值介于0和 1之間。在給定的決策準(zhǔn)則之下，數(shù)值越大，方案越優(yōu)，反之越劣。方案層各 方案關(guān)于目標(biāo)準(zhǔn)則體系整體的優(yōu)先權(quán)重，是通過(guò)遞階層次從上到下逐層計(jì)算 得到。這個(gè)過(guò)程稱為遞階層次權(quán)重解析過(guò)程。

7、 例2設(shè)有3個(gè)物體，它們的重量分別為g g1 1，g g2 2，g g3 3。為了測(cè)出各物體的重量，現(xiàn)將每一物體與其它物體重量?jī)蓛杀容^：第i個(gè)物體重量與其它物體重量相比較，得到3個(gè)重量比值g gi i/g/g1 1 ，g gi i/g/g2 2，g gi i/g/g3 3 (i=1,2,3)。構(gòu)成一個(gè)3行3列的矩陣A，稱為3個(gè)物體重量的判斷矩陣。 1112133 3212223313233/()/ijggggggAagggggggggggg 7 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 二、判斷矩陣及其二、判斷矩陣及其特征向量特征向量 設(shè)3個(gè)物體重量組成的向量為 1111213

8、21222323132333/gggggggA Ggggggggggggggg 123(,)TGggg 11223333333ggggGgg 3AGG 根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，3是矩陣A的最大特征值，G是對(duì)應(yīng)的特征向量。因此，物體測(cè)重問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求判斷矩陣的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量，3個(gè)物體的重量，就是判斷矩陣最大特征值3的特征向量的各個(gè)分量。 8 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 二、判斷矩陣及其二、判斷矩陣及其特征向量特征向量 判斷矩陣 產(chǎn)生問(wèn)題：根據(jù)決策者主觀判斷所構(gòu)造的判斷矩陣的最大特征值是否存在， 是否為單根? 1112131112131213212223212223

9、21233132333132333132/1/1/1aaaggggggggggAaaaggggggggggaaagggggggggg 元素 a aijij0 0（稱為正矩陣），），i,ji,j=1,2,3=1,2,3，并且滿足下列三個(gè)條件： 1(1)1,(2),(3), ,1,2,3ikiiijijjijkaaaai j kaa；9 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 二、判斷矩陣及其二、判斷矩陣及其特征向量特征向量 實(shí)際中，判斷矩陣的構(gòu)造采用Saaty引用的1-9標(biāo)度方法，各級(jí)標(biāo)度含義如下表。 標(biāo)度標(biāo)度定定 義義含含 義義1同樣重要同樣重要兩元素對(duì)某準(zhǔn)則同樣重要兩元素對(duì)

10、某準(zhǔn)則同樣重要3稍微重要稍微重要兩元素對(duì)某準(zhǔn)則，一元素比另一元素稍微重要兩元素對(duì)某準(zhǔn)則，一元素比另一元素稍微重要5明顯重要明顯重要兩元素對(duì)某準(zhǔn)則，一元素比另一元素明顯重要兩元素對(duì)某準(zhǔn)則，一元素比另一元素明顯重要7強(qiáng)烈重要強(qiáng)烈重要兩元素對(duì)某準(zhǔn)則，一元素比另一元素強(qiáng)烈重要兩元素對(duì)某準(zhǔn)則，一元素比另一元素強(qiáng)烈重要9極端重要極端重要兩元素對(duì)某準(zhǔn)則，一元素比另一元素極端重要兩元素對(duì)某準(zhǔn)則，一元素比另一元素極端重要2,4,6,8相鄰標(biāo)度中值相鄰標(biāo)度中值表示相鄰兩標(biāo)度之間折衷時(shí)的標(biāo)度表示相鄰兩標(biāo)度之間折衷時(shí)的標(biāo)度上列標(biāo)度倒數(shù)上列標(biāo)度倒數(shù)反比較反比較元素元素i i對(duì)元素對(duì)元素j j的標(biāo)度為的標(biāo)度為a aij，

11、反之為，反之為l/al/aij 1-9標(biāo)度法則符合人的認(rèn)識(shí)規(guī)律，有一定科學(xué)依據(jù)。從人的直覺(jué)判斷能力看，在區(qū)分事物數(shù)量差別時(shí)，習(xí)慣使用相同、較強(qiáng)、強(qiáng)、很強(qiáng)、極端強(qiáng)等判斷語(yǔ)言。根據(jù)心理學(xué)實(shí)驗(yàn)表明，多數(shù)人對(duì)不同事物在相同準(zhǔn)則上的差異，其分辨能力介于5-9級(jí)之間，1-9標(biāo)度反映了多數(shù)人的判斷能力。Saaty將l-9標(biāo)度方法和其它標(biāo)度方法進(jìn)行對(duì)比，大量模擬實(shí)驗(yàn)證明，1-9標(biāo)度是可行的，與其它標(biāo)度方法比較，能更有效地將思維判斷數(shù)量化。 10 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 二、判斷矩陣及其二、判斷矩陣及其特征向量特征向量 例3設(shè)有3個(gè)元素A1，A2，A3，現(xiàn)在構(gòu)造關(guān)于準(zhǔn)則Cr的判

12、斷矩陣 CrAlA2A3Ala11a12a13A2a21a22a23A3a31a32a3315/14513/14/131A11 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 三、判斷矩陣的一致性三、判斷矩陣的一致性 定義1:設(shè)1(1)1,(2),1,2,iiijjiaai jma；()0,ijm mAa ，A A如果滿足下列二個(gè)條件：則稱 A A 為互反矩陣。 定義2:設(shè)()0,ijm mAa ，A A如果滿足下列三個(gè)條件：則稱 A A 為一致性矩陣。1(1)1,(2),(3), ,1,2,ikiiijijjijkaaaai j kmaa；12 7.1 AHP7.1 AHP方法的基

13、本原理方法的基本原理 三、判斷矩陣的一致性三、判斷矩陣的一致性 定理1(PerronPerron):設(shè)()0,ijm mAa ，A A則： A A 有最大的正特征值 maxmax，并且 maxmax是單根，其余特征值的模均小于 maxmax 定理2:設(shè)()0,ijm mAa ，A AA A 是互反矩陣。 A A 的屬于 maxmax的特征向量 X X0 0 若 maxmax是 A A 的最大特征值，則 maxmax m m 若 1 1, , 2 2, , , m m 是是A A的特征值的特征值，則,0ijijij A A 是一致性矩陣的充分必要條件是是一致性矩陣的充分必要條件是 max max

14、 = m= m 13 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 三、判斷矩陣的一致性三、判斷矩陣的一致性定理3:設(shè)()0,ijm mAaA ，A A 是一致性矩陣，則： 一致性正矩陣是互反正矩陣； A A 的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是一致性矩陣； A A 的每一行均為任意指定一行的正數(shù)倍數(shù)； A A 的最大特征值 max= m，其余特征值均為0 ； 若若A A的屬于的屬于 maxmax的特征向量為的特征向量為 TmxxxX),(21,( ,1,2,)iijjxai jmx 有有： 產(chǎn)生問(wèn)題：根據(jù)決策者主觀判斷所構(gòu)造的判斷矩陣具有互反性， 但是不一定具有一致性，即不一定滿足15/ 1451

15、3/ 14/ 131A, ,1,2,3ikijjkaai j ka ；14 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 三、判斷矩陣的一致性三、判斷矩陣的一致性 盡管判斷矩陣不具有完全的一致性，仍希望它的最大特征值max略大于階數(shù)m，其余特征值接近于零，稱之為滿意的一致性。這樣，計(jì)算出的層次單排序結(jié)果才是合理的。因此，必須對(duì)判斷矩陣的一致性進(jìn)行檢驗(yàn)，使之達(dá)到滿意的一致性標(biāo)準(zhǔn)。 設(shè)判斷矩陣A的全部特征值為：1= max，2，m 由于A是互反矩陣，aii=1，(i=1，2，m)。由矩陣?yán)碚撚衜ax21mmiiiam max2,|miim 即即 為達(dá)到滿意一致性，除了max之外，其余特

16、征值盡量接近于零。取2max|.11miimC Imm 作為檢驗(yàn)判斷矩陣一致性指標(biāo)。 15 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 三、判斷矩陣的一致性三、判斷矩陣的一致性 C.I越大，偏離一致性越大。反之，偏離一致性越小。判斷矩陣的階數(shù)m越大，判斷的主觀因素造成的偏差越大，偏離一致性也就越大，反之，偏離一致性越小。當(dāng)階數(shù)m2時(shí)，C.I=0，判斷矩陣具有完全一致性。 因此，必須引入平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I，隨判斷矩陣的階數(shù)而變化，如下表。這些R.I值是用隨機(jī)方法構(gòu)造判斷矩陣，經(jīng)過(guò)500次以上的重復(fù)計(jì)算，求出一致性指標(biāo)，并加以平均而得到的。 階數(shù)12345678R.I.000.

17、520.891.121.261.361.41階數(shù)9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59一致性指標(biāo)C.I與同階平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I的比較值，稱為一致性比率.CICRR I 16 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 三、判斷矩陣的一致性三、判斷矩陣的一致性用一致性比率C.R檢驗(yàn)判斷矩陣的一致性，當(dāng)C.R越小時(shí)，判斷矩陣的一致性越好。一般認(rèn)為，當(dāng)C.R0.1時(shí)，判斷矩陣符合一致性標(biāo)準(zhǔn)，層次單排序的結(jié)果是可以接受的。否則，需要修正判斷矩陣，直到檢驗(yàn)通過(guò)。判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)步驟是： 第一步：求出一致性指標(biāo) 1.maxmmIC

18、第二步：查表得到平均隨機(jī)一致性指標(biāo) R.I 第三步：計(jì)算一致性比率 IRICRC.當(dāng)C.R0.1時(shí)，接受判斷矩陣，否則，修改判斷矩陣 17 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判斷矩陣求解四、判斷矩陣求解判斷矩陣 A=(aij)mm 是決策者主觀判斷的描述，求解判斷矩陣并不要求過(guò)高的精度。有根法、和法及冪法，冪法適于在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算。 （1）根法 第一步：計(jì)算A的每一行元素之積 Mi 第二步：計(jì)算Mi的m次方根ai 第三步：對(duì)向量a=(a1,a2,am)T作歸一化處理， 1/miikkwaa 令令 得到最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量W=(w1,w2,wm)T 第四步：求A的最

19、大特征值maxmax1()1miiiAWmw 18 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判斷矩陣求解四、判斷矩陣求解: :（1）根法 mmmmmmaaaaaaaaaA21222211121111112122122212mmmmmmmMaaaMaaaMaaa1122mmmmmaMaMaM 1122/miimiimmmiiwaawaaWwaa max11111max1111max,mmiiimmmmmmmwawawwawawawaww max,AWW 111112112max12miiimiimmmmmmwwaaaaaawwaaaww 即即：11max()iimmiiia

20、wawAWww 取算述平均值： max1()1miiiAWmw 19 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判斷矩陣求解四、判斷矩陣求解: :（1）根法 例3求解下列判斷矩陣的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的 特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。 14/16/1413/1631A14/16/1413/1631A184/31/24M 2.620741.100640.34668a 0.64420.27060.0852W 1231360.64421.9627()1 / 3140.27060.8261()1 / 61 / 410.08520.2609()AWAWAWAW 312max1123()(

21、)()()113miiiAWAWAWAWmwwww 1 1.96270.82610.20693 0.64420.27060.0852 3.0535 20 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判斷矩陣求解四、判斷矩陣求解: :（1）根法 進(jìn)行一致性檢驗(yàn)： max3.05353.0.0268131mC Im .0.0268.0.05150.1.0.52C IC RR I 所以，判斷矩陣A滿足一致性檢驗(yàn)。 21 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判斷矩陣求解四、判斷矩陣求解（2）和法 第一步：判斷矩陣A的元素按列作歸一化處理得到矩陣Q 第二步：將

22、矩陣Q的元素按行相加，得到向量a 第三步：對(duì)向量a=(a1,a2,am)T作歸一化處理， 1/miikkwaa 令令 得到最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量W=(w1,w2,wm)T 第四步：求A的最大特征值maxmax1()1miiiAWmw 22 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判斷矩陣求解四、判斷矩陣求解: :（2）和法 mmmmmmaaaaaaaaaA2122221112111111112122111112121122222211111112221111/mmmiimmimiiimmmiimmimiiimmmmmimmimmmimiiiqaaqaaqaaqaaqaa

23、qaaQqaaqaaqaa 11112122122212mmmmmmmaqqqaqqqaaqqq1122/miimiimmmiiwaawaaWwaa 23 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判斷矩陣求解四、判斷矩陣求解: :（2）和法max1111111max11max,mmiimmimmmmmwawawawawwawaww max,AWW 111112112max12miiimiimmmmmmwwaaaaaawwaaaww 即即：11max()iimmiiiawawAWww 取算述平均值： max1()1miiiAWmw 24 7.1 AHP7.1 AHP方法的基

24、本原理方法的基本原理 四、判斷矩陣求解四、判斷矩陣求解: :（2）和法 例3求解下列判斷矩陣的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的 特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。 14/16/1413/1631A14/16/1413/1631A6/912/176/112/94/174/111/91/171/11Q1.9180.82120.2068a0.63930.27370.0869W 1231360.63931.9818()1 / 3140.27370.8344()1 / 61 / 410.08690.2619()AWAWAWAW 312max1123()()()()113miiiAWAWAWAWmwwww 1 1.9818

25、0.83440.26193 0.63930.27370.0869 3.0541 25 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判斷矩陣求解四、判斷矩陣求解: :（2）和法 進(jìn)行一致性檢驗(yàn)： max3.05413.0.0271131mC Im .0.0271.0.05210.1.0.52C IC RR I 所以，判斷矩陣A滿足一致性檢驗(yàn)。 26 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判斷矩陣求解四、判斷矩陣求解（3）冪法：逐步迭代方法，容易編程計(jì)算 第一步：k=0，任取初始正向量 第二步：k=1，迭代計(jì)算定理：設(shè)()0,ijm mAaA ，則limk

26、TkkAEC WEAE (0)(0)(0)(0)12(,) ,TmXxxx (0)0maxiimx ，其中 E=(1,1,1)T，C 為常數(shù)(0 )(0 )0,XYm (1)(0)XA Y (1)1,maxiiMx (1)(1)1,XYm 第k+1步：迭代計(jì)算（k=0,1,2,3,）(1)( )kkXA Y (1)1,maxkkiiMx (1)(1)1,kkkXYm 27 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判斷矩陣求解四、判斷矩陣求解（3）冪法：逐步迭代方法，容易編程計(jì)算 第三步：精度檢查，當(dāng)|m|mk+1k+1-m-mk k| ，轉(zhuǎn)入第四步；否則令k=k+1，轉(zhuǎn)入

27、第二步 第四步：求最大特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量 max1km (1)(1)1,kmkiiYWy 28 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判斷矩陣求解四、判斷矩陣求解: :（3）冪法 例3求解下列判斷矩陣的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的 特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。精度=0.0001 14/16/1413/1631A 解：任取初始正向量 (0)(1,1,1)TX kX(k)Y(k)011111118.00008.50001.34290.941210.158023.73122.57660.489110.69060.131133.03672.10830.429810.69430.14

28、1543.09612.18480.440610.70570.142353.12292.20180.443110.70500.141963.11952.19830.442610.70470.141973.11892.19800.442610.70470.141983.11892.19800.442610.70470.1419當(dāng)k=7k=7時(shí)，|m|m8 8m m7 7|=|3.1189|=|3.11893.1189|=03.1189|=00.00010.0001，迭代終止。得到 29 7.1 AHP7.1 AHP方法的基本原理方法的基本原理 四、判斷矩陣求解四、判斷矩陣求解: :（3）冪法max

29、3.1189 0.5415,0.38160.0769W 進(jìn)行一致性檢驗(yàn)： max3.11893.0.059131mC Im .0.059.0.1140.1.0.52C IC RR I 所以，判斷矩陣A不滿足一致性檢驗(yàn)。 30 7.2 7.2 遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程 一、遞階權(quán)重解析公式一、遞階權(quán)重解析公式GC1C2Cs總目標(biāo)總目標(biāo)第第1層子目標(biāo)層子目標(biāo)第第2層子目標(biāo)層子目標(biāo)方案層方案層(1)2g1(1)ng(1)1g(2)1g(2)2g2(2)ng( )1ng( )2ng( )nnng第第n層子目標(biāo)層子目標(biāo)31 7.2 7.2 遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重

30、解析過(guò)程 一、遞階權(quán)重解析公式一、遞階權(quán)重解析公式第一層n1個(gè)子目標(biāo)關(guān)于總目標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重向量 （第一層子目標(biāo)判斷矩陣最大特征值對(duì)應(yīng) 的特征向量）第二層n2個(gè)子目標(biāo)關(guān)于總目標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重向量 1(1 )1(1 )2(1 )(1 )nwwWw 2(2)1(2)2(2)(2)nwwWw (2)(1)PW 112221(2)(2)(2)11121,(2)(2)(2)21222,(2)(2)(2)12,nnnnnnPPPPPPPPP 1(1)1(1)2(1)nwww 第二層n2個(gè)子目標(biāo)關(guān)于第一層第1個(gè)元素優(yōu)先權(quán)重向量第二層n2個(gè)子目標(biāo)關(guān)于第一層第2個(gè)元素優(yōu)先權(quán)重向量第二層n2個(gè)子目標(biāo)關(guān)于第一層第n1個(gè)

31、元素優(yōu)先權(quán)重向量32 7.2 7.2 遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程 一、遞階權(quán)重解析公式一、遞階權(quán)重解析公式第三層n3個(gè)子目標(biāo)關(guān)于總目標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重向量 3(3)1(3)2(3)(3)nwwWw (3)(2)PW 223332(3)(3)(3)11121,(3)(3)(3)21222,(3)(3)(3)12,nnnnnnPPPPPPPPP 2(2)1(2)2(2)nwww 第三層n3個(gè)子目標(biāo)關(guān)于第二層第1個(gè)元素優(yōu)先權(quán)重向量第三層n3個(gè)子目標(biāo)關(guān)于第二層第2個(gè)元素優(yōu)先權(quán)重向量第三層n3個(gè)子目標(biāo)關(guān)于第二層第n2個(gè)元素優(yōu)先權(quán)重向量33 7.2 7.2 遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程遞階層

32、次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程 一、遞階權(quán)重解析公式一、遞階權(quán)重解析公式第n層nn個(gè)子目標(biāo)關(guān)于總目標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重向量 ( )1( )2( )( )nnnnnnwwWw ( )(1)nnPW 111( )( )( )11121,( )( )( )21222,( )( )( )12,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnPPPPPPPPP 1(1)1(1)2(1)nnnnnwww 第n層nn個(gè)子目標(biāo)關(guān)于第n-1層第1個(gè)元素優(yōu)先權(quán)重向量第n層nn個(gè)子目標(biāo)關(guān)于第n-1層第2個(gè)元素優(yōu)先權(quán)重向量第n層nn個(gè)子目標(biāo)關(guān)于第n-1層第nn-1個(gè)元素優(yōu)先權(quán)重向量34 7.2 7.2 遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)

33、重解析過(guò)程 二、二、AHPAHP方法的基本步驟方法的基本步驟 建立層次結(jié)構(gòu)模型：對(duì)決策對(duì)象調(diào)查研究，將目標(biāo)體系所包含的 因素劃分為不同層次。 構(gòu)造判斷矩陣：按照層次結(jié)構(gòu)模型，從上到下逐層構(gòu)造判斷矩陣。 每一層元素都以相鄰上一層次各元素為準(zhǔn)則，按1-9標(biāo)度方法兩兩 比較構(gòu)造判斷矩陣。也可以用其他改進(jìn)的標(biāo)度方法構(gòu)造。 層次單排序及一致性檢驗(yàn)：求解判斷矩陣最大特征值和對(duì)應(yīng)的特征 向量，經(jīng)過(guò)歸一化處理，即得層次單排序權(quán)重向量。層次單排序要 進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)不合格的要修正判斷矩陣，直到符合滿意的 一致性標(biāo)準(zhǔn)。 層次總排序。層次總排序是從上到下逐層進(jìn)行的。在實(shí)際計(jì)算中，一般按 表格形式計(jì)算較為簡(jiǎn)便。3

34、5 7.2 7.2 遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程 例4某市中心有一座商場(chǎng)，由于街道狹窄，人員車輛流量過(guò)大，經(jīng)常造成交通堵塞。市政府決定解決這個(gè)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)有關(guān)專家會(huì)商研究制定出三個(gè)可行方案： c1：在商場(chǎng)附近修建一座環(huán)形天橋； c2：在商場(chǎng)附近修建地下人行通道； c3：搬遷商場(chǎng)。決策的總目標(biāo)是改善市中心交通環(huán)境。根據(jù)當(dāng)?shù)氐木唧w條件和有關(guān)情況,專家組擬定五個(gè)目標(biāo)作為對(duì)可行方案的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則： b1：通車能力； b2：方便群眾； b3：基建費(fèi)用不宜過(guò)高； b4：交通安全； b5：市容美觀。試對(duì)該市改善市中心交通環(huán)境問(wèn)題作出決策分析。 36 7.2 7.2 遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程遞階

35、層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程 解用AHP方法對(duì)此問(wèn)題作出決策分析 (1) 構(gòu)建層次結(jié)構(gòu)模型 改善交通環(huán)境改善交通環(huán)境A總目標(biāo)總目標(biāo)準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層方案層方案層通通車車能能力力B1方方便便群群眾眾B2基基建建費(fèi)費(fèi)用用B3交交通通安安全全B4市市容容美美觀觀B5天天橋橋C1地地道道C2搬搬遷遷C337(2) 層次單排序及其一致性檢驗(yàn)第一層：對(duì)于總目標(biāo)A，準(zhǔn)則層各準(zhǔn)則構(gòu)造判斷矩陣A(1)，求解最大特征值及其 對(duì)應(yīng)的特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。 1234512(1)345135341/313131/51/311/331/313131/51/31/31/31A BBBBBBBABBB (1)max5.206 最大特

36、征值特征向量(權(quán)重)(1)0.4610.1950.0910.1950.059W max5.2065.0.0515151mC Im .0.0515.0.0460.1.1.12C IC RR I 所以，判斷矩陣A(1)滿足一致性檢驗(yàn)。 38(2) 層次單排序及其一致性檢驗(yàn)第二層：對(duì)于各準(zhǔn)則B1、B2、B3 、B4、B5 ，構(gòu)造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2) 、 A4(2)、A5(2) ，分別求解最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。 11231(2)1231151151/51/51BCCCCACC (2)1max3 最大特征值特征向量(2)10.4550.4550.091P

37、max33.0131mC Im .0.00.1.0.52C IC RR I 所以，判斷矩陣A1(2)滿足一致性檢驗(yàn)。 對(duì)于準(zhǔn)則B1(通車能力)：39(2) 層次單排序及其一致性檢驗(yàn)21231(2)2231351/3121/51/21BCCCCACC (2)2max3.005 最大特征值特征向量(2)20.6480.2300.122P max3.0053.0.0025131mC Im .0.0025.0.00480.1.0.52C IC RR I 所以，判斷矩陣A2(2)滿足一致性檢驗(yàn)。 對(duì)于準(zhǔn)則B2(方便群眾)：第二層：對(duì)于各準(zhǔn)則B1、B2、B3 、B4、B5 ，構(gòu)造判斷矩陣A1(2)、A2(

38、2)、A3(2) 、 A4(2)、A5(2) ，分別求解最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。 40(2) 層次單排序及其一致性檢驗(yàn)31231(2)3231471/4141/71/41BCCCCACC (2)3max3.079 最大特征值特征向量(2)30.6950.2290.075P max3.0793.0.0395131mC Im .0.0395.0.0760.1.0.52C IC RR I 所以，判斷矩陣A3(2)滿足一致性檢驗(yàn)。 對(duì)于準(zhǔn)則B3(基建費(fèi)用)：第二層：對(duì)于各準(zhǔn)則B1、B2、B3 、B4、B5 ，構(gòu)造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2) 、 A4(2)、A5(

39、2) ，分別求解最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。 41(2) 層次單排序及其一致性檢驗(yàn)41231(2)42311/21/3211311B CCCCACC (2)4max3.018 最大特征值特征向量(2)40.1690.3870.433P max3.0183.0.009131mC Im .0.009.0.0170.1.0.52C IC RR I 所以，判斷矩陣A4(2)滿足一致性檢驗(yàn)。 對(duì)于準(zhǔn)則B4(交通安全)：第二層：對(duì)于各準(zhǔn)則B1、B2、B3 、B4、B5 ，構(gòu)造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2) 、 A4(2)、A5(2) ，分別求解最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，

40、并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。 42(2) 層次單排序及其一致性檢驗(yàn)51231(2)52311/21/3211311B CCCCACC (2)5max3.018 最大特征值特征向量(2)50.1690.3870.433P max3.0183.0.009131mC Im .0.009.0.0170.1.0.52C IC RR I 所以，判斷矩陣A5(2)滿足一致性檢驗(yàn)。 對(duì)于準(zhǔn)則B5(市容美觀)：第二層：對(duì)于各準(zhǔn)則B1、B2、B3 、B4、B5 ，構(gòu)造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2) 、 A4(2)、A5(2) ，分別求解最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。 43(2) 層次單排序及其

41、一致性檢驗(yàn)第二層權(quán)重向量（此時(shí)為層次總排序）(2)1(2)(2)2(2)3wWww (2)(1)(2)(2)(2)(2)(2)(1)12345(,)PWPPPPPW 0.4610.4550.6480.6950.1690.1690.1950.4550.2300.2290.3870.3870.0910.0910.1220.0750.4430.4430.1950.0590.4420.3740.185 這說(shuō)明三個(gè)可行方案的排序結(jié)果是C1C2C3，即是修建天橋是最滿意方案，其次是修建地下人行通道，最次是搬遷商場(chǎng)。 44習(xí)習(xí) 題題 七七 1、某單位需要建立一個(gè)蓄水池，有南區(qū)方案和北區(qū)方案，按照投資合理、效

42、益 顯著、運(yùn)行可靠、管理方便的原則選擇最優(yōu)方案，各項(xiàng)比較準(zhǔn)則所需的相關(guān)資 料如下，試用確定最佳方案。 目標(biāo)方案目標(biāo)方案A工程投資工程投資B B1 1工程效益工程效益B B2 2施工條件施工條件B B3 3開(kāi)挖量開(kāi)挖量C C1111地基地基條件條件C C1212施工施工條件條件C C1212進(jìn)水進(jìn)水C C2121管理管理?xiàng)l件條件C C2222影響影響環(huán)境環(huán)境C C2323蓄水量C C2424施工條件C C3131南區(qū)方案D D1 1北區(qū)方案D D2 245判斷矩陣： 11/52518 ,1/21/81AB 111/41/3413/2 ,32/31BC 212861/2143,1/81/412/31/61/33/21BC 112,1/21CD 211/4,41CD 318,1/81CD 418,1/81CD 511/4,41CD 611/6,61CD 714/3,3/41CD 8161/61CD