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1、精 品 數(shù) 學(xué) 課 件北 師 大 版7 向量應(yīng)用舉例1.1.知識(shí)目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：（1 1）掌握利用向量方法解決平面幾何問(wèn)題，體會(huì)解析法）掌握利用向量方法解決平面幾何問(wèn)題，體會(huì)解析法和向量方法的區(qū)別與聯(lián)系和向量方法的區(qū)別與聯(lián)系. .（2 2）會(huì)用向量方法解決物理問(wèn)題，會(huì)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)）會(huì)用向量方法解決物理問(wèn)題，會(huì)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題際問(wèn)題. .2.2.能力目標(biāo)：能力目標(biāo)：培養(yǎng)應(yīng)用所學(xué)知識(shí)靈活解決問(wèn)題的能力，培培養(yǎng)應(yīng)用所學(xué)知識(shí)靈活解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)觀察、分析、比較和判斷的習(xí)慣，增強(qiáng)戰(zhàn)勝困難的信心養(yǎng)觀察、分析、比較和判斷的習(xí)慣，增強(qiáng)戰(zhàn)勝困難的信心.3.3.情感目標(biāo)：情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)
2、和樂(lè)觀地對(duì)待困難的人培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和樂(lè)觀地對(duì)待困難的人生觀生觀.【重點(diǎn)重點(diǎn)】體會(huì)向量在解決平面幾何問(wèn)題和物理問(wèn)題中的作體會(huì)向量在解決平面幾何問(wèn)題和物理問(wèn)題中的作用用. .【難點(diǎn)難點(diǎn)】用向量表示幾何關(guān)系用向量表示幾何關(guān)系. . 平行、垂直、夾角、距離、全等、相似等，是平面幾平行、垂直、夾角、距離、全等、相似等，是平面幾何中常見(jiàn)的問(wèn)題，而這些問(wèn)題都可以由向量的線性運(yùn)算及何中常見(jiàn)的問(wèn)題，而這些問(wèn)題都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)數(shù)量積表示出來(lái). .因此，平面幾何中的某些問(wèn)題可以用向因此，平面幾何中的某些問(wèn)題可以用向量方法來(lái)解決，但解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想、方法和技能，需量方法來(lái)解決，但解決問(wèn)題的
3、數(shù)學(xué)思想、方法和技能，需要我們?cè)趯?shí)踐中去探究、領(lǐng)會(huì)和總結(jié)要我們?cè)趯?shí)踐中去探究、領(lǐng)會(huì)和總結(jié). .思考思考1 1 用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的基本思路是什用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的基本思路是什么？么？幾何問(wèn)題向量化幾何問(wèn)題向量化 向量運(yùn)算關(guān)系化向量運(yùn)算關(guān)系化 向量關(guān)系幾何化向量關(guān)系幾何化. .倉(cāng)庫(kù)倉(cāng)庫(kù)鐵路鐵路倉(cāng)庫(kù)倉(cāng)庫(kù)l.M點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離l一定是垂一定是垂線段喲！線段喲！lM.oxy: Ax+By+C=0(x0,y0)點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離已知點(diǎn)已知點(diǎn)M(x0, y0)和直線和直線l:Ax+By+C=0.則則P P點(diǎn)到直線點(diǎn)到直線 l 的距離的距離d為為: :0022Ax +B
4、y +Cd =A +B點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)到直線的距離公式思考思考2 2 如何借助向量的方法來(lái)證明點(diǎn)到直線的距離公式？如何借助向量的方法來(lái)證明點(diǎn)到直線的距離公式？.oxyM(x0,y0)P(x0,y0)n00M,P,:ABC0,B, Axyx ylxyv是直線外一定點(diǎn)，是直線上任意一點(diǎn)，由直線可以取它的方向向量 =.一般的，稱與直線的方向向量垂直的向量為該直線證明：的法向量.l: Ax+By+C=0 02222000,.,:0:nABnnABABM xylAxByCPMn 于于是是，點(diǎn)點(diǎn)到到直直線線的的距距離離等等于于向向量量在在方方向向上上射射影影的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度.oxyM(x0,y0)P(x0
5、,y0)n 000222200002222,ABdPM nxx yyABABA xxB yyAxByAxByABAB 0022,.又又因因?yàn)闉闉闉?上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)，所所以以故故P x ylcAxByAxByCdAB 在使用該公式前，須將直線方程化為一般式在使用該公式前，須將直線方程化為一般式 A=0A=0或或B=0B=0，此公式也成立，但當(dāng)，此公式也成立，但當(dāng)A=0A=0或或B=0B=0時(shí)一般不時(shí)一般不用此公式計(jì)算距離用此公式計(jì)算距離特別提醒特別提醒當(dāng)當(dāng)A=0=0或或B=0=0時(shí)時(shí), ,直線方程為直線方程為y= =y1 1或或x= =x1 1的形式的形式. .QQx=x1P(x0,y0)
6、-01PQyy -01PQxx yo y=y1(x0,y0)xP(x0,y1)(x1,y0) 11 2210例例求求到到直直線線 ：的的距距離離. .P,lxy 0022122112 1 1 215211 25由由點(diǎn)點(diǎn)到到直直線線的的距距離離公公式式，得得所所以以到到直直的的離離：線線距距為為解解x,y,A,B,C.d,P,l. 例題講解例題講解【技巧方法技巧方法】認(rèn)清公式的形式，找準(zhǔn)每一個(gè)變量代表認(rèn)清公式的形式，找準(zhǔn)每一個(gè)變量代表的數(shù)值，準(zhǔn)確帶入，精確計(jì)算的數(shù)值，準(zhǔn)確帶入，精確計(jì)算. . P 0,3 ,3x + 4y = 0;P -2,0 ,4x + 3y -1 = 0 :P 0,0 ,4x
7、 + 7y = 37;P -1,-2 ,x + y = 0;P 2,3 ,x -1 = 0;p 1,-1 , y + 2 = 0.求下列各點(diǎn)到相應(yīng)直線的距離求下列各點(diǎn)到相應(yīng)直線的距離9537 656532211課堂練習(xí)課堂練習(xí)1 1125向量在幾何中的應(yīng)用向量在幾何中的應(yīng)用例例2 2 已知已知ADAD，BEBE，CFCF分別是分別是ABCABC的三條高，的三條高， 求證：求證：ADAD，BEBE，CFCF相交于同一點(diǎn)。相交于同一點(diǎn)。CDEFBAH思路分析思路分析 解決此類問(wèn)題一般是將相關(guān)的線解決此類問(wèn)題一般是將相關(guān)的線段用向量表示，利用向量的三角形法段用向量表示，利用向量的三角形法則和平行四邊
8、形法則，題目中的已知?jiǎng)t和平行四邊形法則，題目中的已知條件進(jìn)行運(yùn)算，得出結(jié)果，再翻譯成條件進(jìn)行運(yùn)算，得出結(jié)果，再翻譯成幾何語(yǔ)言幾何語(yǔ)言 . . 兩兩式式相相減減，得得，即即所所以以，又又所所以以 ， 三三點(diǎn)點(diǎn)共共線線，在在上上. .CHCBCACH AB,CHABCHAB,CFAB,CHFHCF00 CDEFBAH 0000設(shè)設(shè)交交于于點(diǎn)點(diǎn)，以以下下只只需需證證明明點(diǎn)點(diǎn)在在上上. .因因?yàn)闉樗砸杂钟?，證證明明AD,BEHHCFADBC,BECA,AH CB,BH CA.CHCACBCH CBCA CB,CHCBCACH CACB CA 思考思考3 3 根據(jù)例題你能總結(jié)一下利用向量法解決平面幾
9、何根據(jù)例題你能總結(jié)一下利用向量法解決平面幾何問(wèn)題的基本思路嗎？問(wèn)題的基本思路嗎？（1 1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（2 2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；夾角等問(wèn)題；（3 3）把運(yùn)算結(jié)果）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成幾何元素成幾何元素. .用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲三步曲”：簡(jiǎn)述：簡(jiǎn)述：形到向量形到向量 向量的運(yùn)算向量的運(yùn)算 向量和數(shù)
10、到形向量和數(shù)到形向量在物理中的應(yīng)用向量在物理中的應(yīng)用例例3 一架飛機(jī)從一架飛機(jī)從A地向北偏西地向北偏西60o的方向飛行的方向飛行1000km到到達(dá)達(dá)B地，然后向地，然后向C地飛行。設(shè)地飛行。設(shè)C地恰好在地恰好在A地的南偏西地的南偏西60o，并且并且A，C兩地相距兩地相距2000km，求飛機(jī)從，求飛機(jī)從B地到地到C地的位移地的位移.BADC6060o o6060o o西西南南東東北北分析分析 要求飛機(jī)從要求飛機(jī)從B地到地到C地的位移，需要地的位移，需要解決兩個(gè)問(wèn)題：解決兩個(gè)問(wèn)題：利用解三角形的知識(shí)求線段利用解三角形的知識(shí)求線段BC的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度求求BC與基線的夾角與基線的夾角. 60km60km6
11、01000km130902360km2o oooooooooo o設(shè)設(shè) 在在東東西西基基線線和和南南北北基基線線的的交交點(diǎn)點(diǎn)處處. .依依題題意意，的的方方向向是是北北偏偏西西，； 的的方方向向是是南南偏偏西西，. .所所以以過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn) 作作東東西西基基線線的的垂垂線線，交交于于 ，則則為為正正三三角角形形. .所所以以，. .所所以以. .=20=20解解：00,00,AABABACACBAC.BACDABDBDCDCBDBCDBDAABCBCAC sin 3km3km30o o=1000.=1000.答答：飛飛機(jī)機(jī)從從 地地到到 地地的的位位移移大大小小是是10001000，方方向向是是南南
12、偏偏西西BCBC. 技巧點(diǎn)撥技巧點(diǎn)撥1.1.按照題意正確作圖，按照題意正確作圖，2.2.分析圖形的邊角關(guān)系，分析圖形的邊角關(guān)系，3.3.利用平面幾何的知識(shí)求出答案利用平面幾何的知識(shí)求出答案. . 300分析分析 本題是向量在物理學(xué)中本題是向量在物理學(xué)中“力學(xué)問(wèn)題力學(xué)問(wèn)題”上應(yīng)用的例子，可以清楚地看出向量的上應(yīng)用的例子，可以清楚地看出向量的直接作用，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，直接作用，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，可知對(duì)物體所做的功即是表示力的向量可知對(duì)物體所做的功即是表示力的向量和表示位移的向量的數(shù)量積和表示位移的向量的數(shù)量積. .例例4 4 已知力已知力 與水平方向的夾角為與水平方向的夾角為30
13、300 0（斜向上），大?。ㄐ毕蛏希笮闉?050N，一個(gè)質(zhì)量為，一個(gè)質(zhì)量為8 8kg的木塊受力的木塊受力 的作用在動(dòng)摩擦因數(shù)的作用在動(dòng)摩擦因數(shù)=0.02=0.02的水平平面上運(yùn)動(dòng)了的水平平面上運(yùn)動(dòng)了2020m. .問(wèn)力問(wèn)力 和摩擦力和摩擦力 所做所做的功分別為多少？（的功分別為多少？（g=10g=10m/ /s2 2）FFFfF1F2F fG o o所所以以，摩摩擦擦力力 的的大大小小為為因因此此答答 和和 所所做做的的功功分分別別是是5 50 00 0和和- -2 22 2ffGF.N .f sf scos.J .FfJJ. 180250 021 11801 1 201223 1135
14、020500 32150252o oo o設(shè)設(shè)木木塊塊的的位位移移為為 ，則則cos30cos30將將力力 分分解解，它它的的鉛鉛垂垂線線方方向向上上的的分分力力 的的大大小小為為sin30sin30解解：sF sFsJ .FFFFN , 技巧點(diǎn)撥：技巧點(diǎn)撥：1.1.將物理中的矢量用向量表示，將物理中的矢量用向量表示，2.2.找出向量與向量的夾角，找出向量與向量的夾角，3.3.利用向量的數(shù)量積計(jì)算功利用向量的數(shù)量積計(jì)算功. .12500102例例5 5 一一條條河河的的兩兩岸岸平平行行，河河寬寬，一一艘艘船船從從出出發(fā)發(fā)航航行行到到河河的的正正對(duì)對(duì)岸岸處處. .航航行行的的速速度度，水水流流的
15、的速速度度，問(wèn)問(wèn)行行駛駛航航程程最最短短時(shí)時(shí)，所所用用的的時(shí)時(shí)間間是是多多少少？.dmABvkm / hvkm / h v v2 v1 AB如如圖圖，已已知知，求求vvvvkmhvkmhvvt 1212210/,2/.思路分析思路分析20由由已已知知條條件件得得: :解解：v v vvvkmh 2212|96(/), 所所以以dtv 0.5603.1(min).|96 技巧點(diǎn)撥：技巧點(diǎn)撥：1.1.計(jì)算速度的合速度，計(jì)算速度的合速度，2.2.計(jì)算時(shí)間必須使速度的方向和位移的方計(jì)算時(shí)間必須使速度的方向和位移的方向一致向一致. .證明直徑所對(duì)的圓周角是直角證明直徑所對(duì)的圓周角是直角.ABCO如圖所示
16、，已知如圖所示，已知O O，ABAB為直徑，為直徑，C C為為O O上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn). .求證求證ACB=90ACB=90ab練習(xí)：練習(xí)： 要證要證ACB=90ACB=90，只須證向，只須證向量量 ，即，即 . .ACCB 0AC CB 思路分析思路分析解：解：設(shè)設(shè) 則則 ，由此可得：由此可得：,AO OB a OCb ,ACa b CBa b AC CBabab 2222220ababrr 即即 ， ACB=900AC CB ,ACCB 注意注意: :用該公式時(shí)應(yīng)先將直線方程化為一般式用該公式時(shí)應(yīng)先將直線方程化為一般式. . 1. 1.點(diǎn)到直線距離公式：點(diǎn)到直線距離公式： ，0022Ax
17、ByCdAB（1 1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（2 2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；夾角等問(wèn)題；（3 3）把運(yùn)算結(jié)果）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成幾何元素成幾何元素. .2.2.用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲三步曲”：簡(jiǎn)述：簡(jiǎn)述：形到向量形到向量 向量的運(yùn)算向量的運(yùn)算 向量和數(shù)到形向量和數(shù)到形不奮苦而求速效，只落得少日浮夸，老來(lái)窘隘而已。 鄭板橋
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