湖北省荊州市沙市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 1.4.1生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例課件1 新人教版選修22

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1、2、求最大（最小）值應(yīng)用題的一般方法、求最大（最小）值應(yīng)用題的一般方法:(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題化分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立函數(shù)關(guān)系式，這是關(guān)鍵一步為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立函數(shù)關(guān)系式，這是關(guān)鍵一步;(2)確定函數(shù)定義域，并求出極值點(diǎn)確定函數(shù)定義域，并求出極值點(diǎn);(3)比較各極值與定義域端點(diǎn)函數(shù)的大小，比較各極值與定義域端點(diǎn)函數(shù)的大小， 結(jié)合實(shí)際，結(jié)合實(shí)際，確定最值或最值點(diǎn)確定最值或最值點(diǎn).1、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的表現(xiàn)形式，常常不是以純數(shù)學(xué)模、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的表現(xiàn)形式，常常不是以純數(shù)學(xué)模式反映出來(lái)式反映出來(lái):首先，通過(guò)審題，認(rèn)識(shí)問(wèn)題的背景，抽象出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)首

2、先，通過(guò)審題，認(rèn)識(shí)問(wèn)題的背景，抽象出問(wèn)題的實(shí)質(zhì);其次，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型其次，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型, 將應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題將應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,再解再解.3.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題生活中的優(yōu)化問(wèn)題例例1、在邊長(zhǎng)為在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？子容積最大？最大容積是多少？60 xx60 xx解解:設(shè)箱底邊長(zhǎng)為設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x,則箱高則箱高h(yuǎn)=(60-x)/2.箱子容積箱子容積 V(

3、x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.02360)(2 xxxV由題意可知由題意可知,當(dāng)當(dāng)x過(guò)小過(guò)小(接近接近0)或過(guò)大或過(guò)大(接近接近60)時(shí)時(shí),箱子箱子的容積很小的容積很小,因此因此,16000是最大值是最大值.答答:當(dāng)當(dāng)x=40cm時(shí)時(shí),箱子容積最大箱子容積最大,最大容積是最大容積是16000cm3. 2、若函數(shù)、若函數(shù) f ( x )在定義域內(nèi)在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0 ，則不需與端點(diǎn)比較，則不需與端點(diǎn)比較， f ( x0 )即是所求的最大值或即是所求的最大值或最小值最小值.說(shuō)明說(shuō)

4、明1、設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式；、設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式；(所說(shuō)區(qū)間的也適用于開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間所說(shuō)區(qū)間的也適用于開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間)確定出定義域；確定出定義域；所得結(jié)果符合問(wèn)題的實(shí)際意義所得結(jié)果符合問(wèn)題的實(shí)際意義hr例例2、要生產(chǎn)一批帶蓋的圓柱形鐵桶，要求每個(gè)要生產(chǎn)一批帶蓋的圓柱形鐵桶，要求每個(gè)鐵桶的容積為定值鐵桶的容積為定值V，怎樣設(shè)計(jì)桶的底面半徑才怎樣設(shè)計(jì)桶的底面半徑才能使材料最?。看藭r(shí)高與底面半徑比為多少？能使材料最??？此時(shí)高與底面半徑比為多少？解解:設(shè)圓柱的高為設(shè)圓柱的高為h,底半徑為底半徑為r,則表面積則表面積S=2rh+2r2.由由V=r2h,得得 ,則則2rVh .2222)(222

5、rrVrrVrrS 令令 ,解得解得 ,從而從而 ,即即h=2r.042)(2 rrVrS 32 Vr 232)2( VVrVh 33224 VV 由于由于S(r)只有一個(gè)極值只有一個(gè)極值,所以它是最小值所以它是最小值.答答:當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí),所用的材料最省所用的材料最省.xy例例3: 如圖如圖,在二次函數(shù)在二次函數(shù)f(x)= 4x-x2的圖象與的圖象與x軸所軸所 圍成的圖形中有一個(gè)圍成的圖形中有一個(gè) 內(nèi)接矩形內(nèi)接矩形ABCD,求這求這 個(gè)矩形的最大面積個(gè)矩形的最大面積.解解:設(shè)設(shè)B(x,0)(0 x2), 則則 A(x, 4x-x2).從而從而|AB|= 4x-x

6、2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面積的面積為為:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x2).16246)(2 xxxS令令 ,得得.3322,33220)(21 xxxS),2 , 0(1 x所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)時(shí),.9332)(3322max xSx因此當(dāng)點(diǎn)因此當(dāng)點(diǎn)B為為 時(shí)時(shí),矩形的最大面積是矩形的最大面積是) 0 ,2322( .9332應(yīng)用問(wèn)題要引起重視應(yīng)用問(wèn)題要引起重視.(1)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值在求函數(shù)的值域、利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值在求函數(shù)的值域、 不等式的證明及解法中有廣泛的作用。不等式的證明及解法中有廣泛的作用。(2)在實(shí)際問(wèn)題中如果可以判定可導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)在實(shí)際問(wèn)題中如果可以判定可導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi) 存在最大存在最大(小小)值值,而且函數(shù)在這個(gè)定義域內(nèi)又只有而且函數(shù)在這個(gè)定義域內(nèi)又只有 唯一的極值點(diǎn)唯一的極值點(diǎn),那么立即可以判定那么立即可以判定,這個(gè)極值點(diǎn)的函這個(gè)極值點(diǎn)的函 數(shù)值就是最大數(shù)值就是最大(小小)值值,這一點(diǎn)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)很這一點(diǎn)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)很 有用有用.課堂小結(jié)課堂小結(jié)