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1、第十章圓錐曲線
第1節(jié)橢圓及其性質(zhì)
題型113 橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
1.(2014 大綱理 6)已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)為,,離心率為,過的直線交于,兩點(diǎn),若的周長為,則的方程為().
A. B. C. D.
2.(2014 安徽理 14)設(shè)分別是橢圓:的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),若,軸,則橢圓的方程為.
3.(2014 遼寧理 15)已知橢圓:,點(diǎn)與的焦點(diǎn)不重合.若關(guān)于的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為,,線段的中點(diǎn)在上,則.
4.(2014 福建理 19)(本小題滿分13分)
已知雙曲線的兩條漸近線分別為
2、,.
(1)求雙曲線的離心率;
(2)如圖所示,為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)直線分別交直線于兩點(diǎn)(分別在第一,四象限),且的面積恒為,試探究:是否存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線?若存在,求出雙曲線的方程;若不存在,說明理由.
5.(2016北京理19(1))已知橢圓的離心率為,,,,的面積為1.求橢圓的方程;
5.解析可先作出本題的圖形:
由題設(shè),可得
解得.所以橢圓的方程是.
6.(2016山東理21(1))平面直角坐標(biāo)系中,橢圓:?的離心率是,拋物線:的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn).求橢圓的方程;
6.解析由題意知,可得:.因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為,所以,所以橢圓的方程為.
7.(2016天
3、津理19(1))設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,已知,其中為原點(diǎn),為橢圓的離心率.求橢圓的方程.
7.解析由,即,可得.
又,所以,因此,所以橢圓的方程為
8.(2017浙江2)橢圓的離心率是().
A. B. C. D.
8.解析由橢圓方程可得,,所以,所以,,.故選B.
9.(2017江蘇17(1))如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,兩準(zhǔn)線之間的距離為.點(diǎn)在橢圓上,且位于第一象限,過點(diǎn)作直線的垂線,過點(diǎn)作直線的垂線.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
9.解析設(shè)橢圓的半焦距為,由題意,解得,因此
,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
4、10.(2017山東理21(1))在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,焦距為.求橢圓的方程.
10.解析由題意知,,所以,,因此橢圓的方程為.
11.(2107全國1卷理科20(1))已知橢圓,四點(diǎn),,,中恰有三點(diǎn)在橢圓上.求的方程;
11. 解析根據(jù)橢圓對(duì)稱性,必過,,又橫坐標(biāo)為1,橢圓必不過,所以過
三點(diǎn).將代入橢圓方程得,解得,
,所以橢圓的方程為.
題型114 橢圓離心率的值及取值范圍
1.(2013江蘇12)在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線為,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為,設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為,到的距離為,若,則橢圓的離心率為.
2.(2013福建理14)
5、橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,焦距為,若直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)滿足,則該橢圓的離心率等于_____
3.(2014 湖北理 9)已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為().
A. B. C.3 D.2
4.(2014 江西理 15)過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓:相交于兩點(diǎn),若是線段的中點(diǎn),則橢圓的離心率等于.
5.(2014 江蘇理 17)F1
F2
O
x
y
B
C
A
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,連結(jié)并延長交
6、橢圓于點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn),連結(jié).
(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,且,求橢圓的方程
(2)若,求橢圓離心率的值.
6.(2014 北京理 19)(本小題14分)
已知橢圓,
(1) 求橢圓的離心率.
7.(2015安徽理20)設(shè)橢圓的方程為,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)的
坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)在線段上,滿足,直線
的斜率為.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,為線段的中點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的縱
坐標(biāo)為,求橢圓的方程.
7.解析(1)由題設(shè)條件知,點(diǎn)的坐標(biāo)為,又,從而,
即,所以,故.
(2)由題設(shè)條件和(1)的計(jì)算結(jié)果可得,直線的方程為,
點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)
7、關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為,
則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.
又點(diǎn)在直線上,且,從而有,
解得,所以,所以橢圓的方程為.
8.(2015重慶理21)如圖所示,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,
過的直線交橢圓于,兩點(diǎn),且.
(1)若,,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)若,求橢圓的離心率.
8.解析(1)由橢圓的定義,故.
設(shè)橢圓的半焦距為,由已知,因此
,即,從而.
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)如圖所示,連接,由橢圓的定義,,,
從而由,有.
又由,,知,
因此,,得.
從而.
由,知,
因此.
9.(2016浙江理7)已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)重合,,分別為,的離心
8、率,則().
A.且 B.且
C.且 D.且
9. A 解析因?yàn)閮蓚€(gè)圓錐曲線的焦點(diǎn)重合,所以,即.
因?yàn)椋?,所以,故,故選A.
10.(2016江蘇10)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,是橢圓的右焦點(diǎn),直線與橢圓交于兩點(diǎn),且,則該橢圓的離心率是.
10.解析由題意得,直線與橢圓方程聯(lián)立,
可得,.由,
可得,,,
則,由,
可得,則.
評(píng)注另外也可以結(jié)合,得,
,
而,解得,
進(jìn)而.設(shè)與軸的交點(diǎn)為,則經(jīng)典轉(zhuǎn)化以為直徑的圓
過點(diǎn).
11.(2016全國丙理11)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),是橢圓的左焦點(diǎn),,
9、分別為的左,右頂點(diǎn).為上一點(diǎn),且軸.過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn).若直線經(jīng)過的中點(diǎn),則的離心率為().
A. B. C. D.
11. A 解析根據(jù)題意,作出圖像,如圖所示.因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn),所以,又,所以,得,即.故選A.
12.(2016浙江理19)如圖所示,設(shè)橢圓.
(1)求直線被橢圓截得的線段長(用、表示);
(2)若任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn),求橢圓離心率的取值范圍.
12.解析(1)設(shè)直線被橢圓截得的線段為,聯(lián)立方程,
得,解得,.
因此.
(2)聯(lián)立圓與橢圓的方程,觀察易知圓與橢圓的公共點(diǎn)至多有個(gè).當(dāng)有個(gè)公共點(diǎn)時(shí),由對(duì)稱性可設(shè)軸左側(cè)的
10、橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn),,滿足.
記直線,的斜率分別為,,所以,,.所以直線,的方程為,.由(1)知,
,所以,
變形得.
由于得因此①
因?yàn)槭舰訇P(guān)于的方程有解的充要條件是,即.
因此,任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為,
由,得所求離心率的取值范圍為.
13.(2107全國3卷理科10)已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,,且以線段為直徑的圓與直線相切,則的離心率為().
A. B. C. D.
13.解析因?yàn)橐詾橹睆降膱A與直線相切,所以圓心到直線的距離等于半徑,即,又因?yàn)?,則上式可化簡為.因?yàn)?,可得,即,所?故選A.
題型115 橢圓焦點(diǎn)三角形——暫無
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