精編高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案：第二章 1 離散型隨機(jī)變量及其分布列 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料1離散型隨機(jī)變量及其分布列 離散型隨機(jī)變量(1)擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)(2)在一塊地里種下10顆樹苗，成活的棵數(shù)(3)一個(gè)袋中裝有10個(gè)紅球，5個(gè)白球，從中任取4個(gè)球，所含紅球的個(gè)數(shù)問題1：上述現(xiàn)象有何特點(diǎn)？提示：各現(xiàn)象的結(jié)果都可以用數(shù)表示問題2：現(xiàn)象(3)中紅球的個(gè)數(shù)x取什么值？提示：x0,1,2,3,4.問題3：擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面向上，反面向上，其結(jié)果能用數(shù)字表示嗎？提示：可以，如用數(shù)1和0分別表示正面向上和反面向上1隨機(jī)變量將隨機(jī)現(xiàn)象中試驗(yàn)(或觀測(cè))的每一個(gè)可能的結(jié)果都對(duì)應(yīng)于一個(gè)數(shù)，這種對(duì)應(yīng)稱為一個(gè)隨機(jī)變量，通常用大寫的英文字母X，Y來表示2離散型隨機(jī)變量

2、如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能夠一一列舉出來，這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量的分布列1拋擲一枚均勻的骰子，用X表示骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)問題1：X的可能取值是什么？提示：X1,2,3,4,5,6.問題2：X取不同值時(shí)，其概率分別是多少？提示：都等于.問題3：試用表格表示X和P的對(duì)應(yīng)關(guān)系提示：X123456P問題4：試求概率和提示：其和等于1.1離散型隨機(jī)變量的分布列的定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的取值為a1，a2，隨機(jī)變量X取ai的概率為pi(i1,2，)，記作：P(Xai)pi(i1,2，)，(1)或把上式列成表Xaia1a2P(Xai)p1p2上表或(1)式稱為離散型隨機(jī)變量X

3、的分布列2離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)(1)pi0；(2)p1p2p31.1隨機(jī)試驗(yàn)中，確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果用一個(gè)確定的數(shù)字表示，這些數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，稱為隨機(jī)變量2判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否為離散型隨機(jī)變量關(guān)鍵是看隨機(jī)變量的所有可能取值能否一一列出3求離散型隨機(jī)變量的分布列關(guān)鍵是搞清隨機(jī)變量所取的所有可能值，以及對(duì)應(yīng)的概率 隨機(jī)變量的概念例1寫出下列各隨機(jī)變量可能的取值，并說明隨機(jī)變量所取的值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果：(1)從一個(gè)裝有編號(hào)為1號(hào)到10號(hào)的10個(gè)球的袋中，任取1球，被取出的球的編號(hào)為X；(2)一個(gè)袋中裝有10個(gè)紅球，5個(gè)白球，從中任取4個(gè)球，其中所含紅球的個(gè)數(shù)為X；

4、(3)投擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為X.思路點(diǎn)撥把隨機(jī)變量的取值一一列舉出來，再說明每一取值與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)應(yīng)關(guān)系精解詳析(1)X的可能取值為1,2,3，10，Xk(k1,2，10)表示取出第k號(hào)球(2)X的可能取值為0,1,2,3,4.Xk表示取出k個(gè)紅球，(4k)個(gè)白球，其中k0,1,2,3,4.(3)X的可能取值為2,3,4，12.若以(i，j)表示投擲甲、乙兩枚骰子后，骰子甲得i點(diǎn)，且骰子乙得j點(diǎn)，則X2表示(1,1)；X3表示(1,2)，(2,1)；X4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；X12表示(6,6)一點(diǎn)通解答此類問題的關(guān)鍵在于明確隨機(jī)變量所有可能的取值，以及取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)

5、的意義，即隨機(jī)變量的一個(gè)取值可能對(duì)應(yīng)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，解答過程不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果1下列變量中屬于離散型隨機(jī)變量的有_在2 014張已編號(hào)的卡片(從1號(hào)到2 014號(hào))中任取一張，被取出的編號(hào)數(shù)為X；連續(xù)不斷射擊，首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)X；從2 014張已編號(hào)的卡片(從1號(hào)到2 014號(hào))中任取3張，被取出的卡片的號(hào)數(shù)和X；某工廠加工的某種鋼管，外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差X；投擲一枚骰子，六面都刻有數(shù)字6，所得的點(diǎn)數(shù)X.解析：中變量X的所有可能取值是可以一一列舉出來的，是離散型隨機(jī)變量中X的取值為某一范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)，無法全部列出，不是離散型隨機(jī)變量中X的取值確定，是6，不是隨機(jī)變量答案

6、：2在8件產(chǎn)品中，有3件次品，5件正品，從中任取一件，取到次品就停止，設(shè)抽取次數(shù)為X，則X3表示的試驗(yàn)結(jié)果是_解析：X3表示前2次均是正品，第3次是次品答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品3拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差為X，試求X的集合，并說明“X4”表示的試驗(yàn)結(jié)果解：設(shè)第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為x，第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為y，其中x，y1,2,3,4,5,6.依題意得Xxy.則5X5，即X的集合為5，4，3，2，1,0,1,2,3,4,5則X4X5，表示x6，y1，即第一枚骰子擲出6點(diǎn)，第二枚骰子擲出1點(diǎn)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)例2已知隨機(jī)變量X

7、的分布列：Xi12345P(Xi)a(1)求a；(2)求P(X4)，P(2X5)思路點(diǎn)撥(1)利用分布列中所有概率和為1的性質(zhì)求解(2)借助互斥事件概率求法求解精解詳析(1)由a1，得a.(2)P(X4)P(X4)P(X5)，P(2X5)P(X2)P(X3)P(X4).一點(diǎn)通利用分布列的性質(zhì)解題時(shí)要注意以下兩個(gè)問題：(1)X的各個(gè)取值表示的事件是互斥的(2)p1p21，且pi0，i1,2，.4設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(Xi)ai，i1,2,3，則a的值為()A1B.C. D.解析：由分布列的性質(zhì)，知P(X1)P(X2)P(X3)aa2a3a1.a.答案：D5設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(Xk)，k

8、1,2,3,4.求：(1)P(X1或X2)；(2)P.解：P(Xk)，k1,2,3,4，(1)P(X1或X2)P(X1)P(X2).(2)PP(X1或X2或X3)1P(X4)1.離散型隨機(jī)變量的分布列例3(10分)袋中裝有編號(hào)為16的同樣大小的6個(gè)球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取3個(gè)球，設(shè)X表示取出3個(gè)球中的最大號(hào)碼，求X的分布列思路點(diǎn)撥先確定X的所有可能取值，然后分別求出X取各值時(shí)的概率即可精解詳析根據(jù)題意，隨機(jī)變量X的所有可能取值為3,4,5,6.X3，即取出的3個(gè)球中最大號(hào)碼為3，其他2個(gè)球的號(hào)碼為1,2.所以，P(X3)；(2分)X4，即取出的3個(gè)球中最大號(hào)碼為4，其他2個(gè)球只能在號(hào)碼為1,2,3的

9、3個(gè)球中取所以，P(X4)；(4分)X5，即取出的3個(gè)球中最大號(hào)碼為5，其他2個(gè)球只能在號(hào)碼為1,2,3,4的4個(gè)球中取所以，P(X5)；(6分)X6，即取出的3個(gè)球中最大號(hào)碼為6，其他2個(gè)球只能在號(hào)碼為1,2,3,4,5的5個(gè)球中取所以，P(X6).(8分)所以，隨機(jī)變量X的分布列為Xxi3456P(Xxi)(10分)一點(diǎn)通(1)求離散型隨機(jī)變量的分布列關(guān)鍵是搞清離散型隨機(jī)變量X取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件，然后利用排列組合知識(shí)求出X取每個(gè)值的概率，最后列出分布列(2)求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟：首先確定X的所有可能的取值；其次，求相應(yīng)的概率P(Xxi)pi；最后列成表格的形式6在射擊的

10、試驗(yàn)中，令X如果射中的概率為0.8，求隨機(jī)變量X的分布列解：由P(X1)0.8，得P(X0)0.2.所以X的分布列為：Xxi10P(Xxi)0.80.27(天津高考改編)一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別為1,2,3,4；白色卡片3張， 編號(hào)分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)(1)求取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率；(2)在取出的4張卡片中， 紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X, 求隨機(jī)變量X的分布列解：(1)設(shè)“取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片”為事件A，則P(A).所以，取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率為.(2)隨機(jī)

11、變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以隨機(jī)變量X的分布列為X1234P8(湖南高考改編)某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示：一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過8件的顧客占55%.(1)求x，y的值；(2)將頻率視為概率，求顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間X的分布列解： (1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.該超市所有顧客一次購(gòu)物

12、的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得P(X1)，P(X1.5)，P(X2)，P(X2.5)，P(X3).X的分布列為X11.522.53P1隨機(jī)變量X是關(guān)于試驗(yàn)結(jié)果的函數(shù)，即每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)；隨機(jī)變量X的線性組合YaXb(a，b是常數(shù))也是隨機(jī)變量2離散型隨機(jī)變量X的分布列實(shí)質(zhì)上就是隨機(jī)變量X與這一變量所對(duì)應(yīng)的概率P的分布表，它從整體上反映了隨機(jī)變量取各個(gè)值的可能性的大小，反映了隨機(jī)變量取值的規(guī)律 1一個(gè)袋子中有質(zhì)量相等的紅、黃、綠、白四種小球各若干個(gè)，一次倒出三個(gè)小球，下列變量是離散型隨機(jī)變量的

13、是()A小球滾出的最大距離B倒出小球所需的時(shí)間C倒出的三個(gè)小球的質(zhì)量之和D倒出的三個(gè)小球的顏色種數(shù)解析：A，B不能一一列舉，不是離散型隨機(jī)變量，而C是常量，是個(gè)確定值，D可能取1,2,3，是離散型隨機(jī)變量答案：D2袋中有大小相同的5個(gè)鋼球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)號(hào)碼在有放回地抽取條件下依次取出2個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量X，則X所有可能值的個(gè)數(shù)是()A25B10C9 D5解析：第一次可取1,2,3,4,5中的任意一個(gè)，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一個(gè)，兩次的號(hào)碼和可能為2,3,4,5,6,7,8,9,10.答案：C3設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3，n

14、，若P(X4)0.3，則n()A3 B4C10 D不確定解析：X等可能取1,2,3，n，X的每個(gè)值的概率均為.由題意知P(X4)P(X1)P(X2)P(X3)0.3，n10.答案：C4設(shè)隨機(jī)變量X等可能地取值1,2,3,4，10.又設(shè)隨機(jī)變量Y2X1，P(Y6)的值為()A0.3 B0.5C0.1 D0.2解析：Y6，即2X16，X3.5.X1,2,3，P.答案：A5隨機(jī)變量Y的分布列如下：Yyi123456P(Yyi)0.1x0.350.10.150.2則(1)x_；(2)P(Y3)_；(3)P(1Y4)_.解析：(1)由i1，x0.1.(2)P(Y3)P(Y4)P(Y5)P(Y6)0.10

15、.150.20.45.(3)P(1Y4)P(Y2)P(Y3)P(Y4)0.10.350.10.55.答案：(1)0.1(2)0.45(3)0.556隨機(jī)變量X的分布列為P(Xk)，k1,2,3，其中C為常數(shù)，則P(X2)_.解析：由P(X1)P(X2)P(X3)1，得1，C.P(X2)P(X2)P(X3).答案：7若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xxi01P(Xxi)9a2a38a，求常數(shù)a及相應(yīng)的分布列解：由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)得解得a，或a(舍)所以隨機(jī)變量X的分布列為：Xxi01P(Xxi)8設(shè)S是不等式x2x60的解集，整數(shù)m，nS.(1)記“使得mn0成立的有序數(shù)組(m，n)”為事件A，試列舉A包含的基本事件；(2)設(shè)Xm2，求X的分布列解：(1)由x2x60，得2x3，即Sx|2x3由于m，nZ，m，nS且mn0，所以A包含的基本事件為(2,2)，(2，2)，(1,1)，(1，1)，(0,0)(2)由于m的所有不同取值為2，1,0,1,2,3，所以Xm2的所有不同取值為0,1,4,9，且有P(X0)，P(X1)，P(X4)，P(X9).故X的分布列為Xi0149P(Xi)