高考真題：理科數(shù)學(xué) 福建卷試卷含答案

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1、 普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷） 數(shù)學(xué)理 第I卷（選擇題共50分） 一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．若集合 （ 是虛數(shù)單位）， ，則 等于 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：由已知得，故，故選C． 考點：1、復(fù)數(shù)的概念；2、集合的運算． 2．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 考點：函數(shù)的奇偶性． 3．若雙曲線 的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則 等于（?。? A．11 　　　B．9

2、 C．5 　　　D．3 【答案】B 【解析】 試題分析：由雙曲線定義得，即，解得，故選B． 考點：雙曲線的標準方程和定義． 4．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入所年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表： 收入 （萬元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 （萬元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得回歸直線方程 ，其中 ，據(jù)此估計，該社區(qū)一戶收入為15萬元家庭年支出為( )] A．11.4萬元 B．11.8萬元 C．12.0萬元 D．12.2萬元 【答案】B 考點：線性回歸

3、方程． 5．若變量 滿足約束條件 則 的最小值等于 ( ) A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】 試題分析：畫出可行域，如圖所示，目標函數(shù)變形為，當最小時，直線的縱截距最大，故將直線經(jīng)過可行域，盡可能向上移到過點時，取到最小值，最小值為 ，故選A． 考點：線性規(guī)劃． 6．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果為( ) A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【解析】 試題分析：程序在執(zhí)行過程中的值依次為：；； ；；；，程序結(jié)束，輸出 ，故選C． 考點：程序框圖． 7．若 是兩條不同的直線， 垂

4、直于平面 ，則“ ”是“ 的 （ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 考點：空間直線和平面、直線和直線的位置關(guān)系． 8．若 是函數(shù) 的兩個不同的零點，且 這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則 的值等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】 試題分析：由韋達定理得，，則，當適當排序后成等比數(shù)列時，必為等比中項，故，．當適當排序后成等差數(shù)列時，必不是等差中項，當是等差中項時，，解得，；當是等差中項時，，解得，，綜上所述，，

5、所以，選D． 考點：等差中項和等比中項． 9．已知 ，若 點是 所在平面內(nèi)一點，且 ，則 的最大值等于（ ） A．13 B．15 C．19 D．21 【答案】A 考點：1、平面向量數(shù)量積；2、基本不等式． 10．若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 考點：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)． 第II卷（非選擇題共100分） 二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置. 11． 的展開式中，的系數(shù)等于

6、．（用數(shù)字作答） 【答案】 【解析】 試題分析： 的展開式中項為，所以的系數(shù)等于． 考點：二項式定理． 12．若銳角的面積為 ，且 ，則 等于________． 【答案】 【解析】 試題分析：由已知得的面積為，所以，，所以．由余弦定理得，． 考點：1、三角形面積公式；2、余弦定理． 13．如圖，點 的坐標為 ，點 的坐標為 ，函數(shù) ，若在矩形 內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于 ． 【答案】 【解析】 試題分析：由已知得陰影部分面積為．所以此點取自陰影部分的概率等于． 考點：幾何概型． 14．若函數(shù) （ 且 ）的值域是 ，則實數(shù)

7、的取值范圍是 ． 【答案】 考點：分段函數(shù)求值域． 15．一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串 ，其中 稱為第 位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?） 已知某種二元碼 的碼元滿足如下校驗方程組： 其中運算 定義為： ． 現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第 位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定 等于 ． 【答案】． 考點：推理證明和新定義． 三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 16．某銀行規(guī)定

8、，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定. (Ⅰ)求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率； (Ⅱ)設(shè)當天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)分布列見解析，期望為． 【解析】 試題分析：(Ⅰ)首先記事件“當天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為．則銀行卡被鎖死相當于三次嘗試密碼都錯，基本事件總數(shù)為，事件包含的基本事件數(shù)為，代入古典概型的概

9、率計算公式求解；(Ⅱ)列出隨機變量的所有可能取值，分別求取相應(yīng)值的概率，寫出分布列求期望即可． 試題解析：（Ⅰ）設(shè)“當天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A， 則 （Ⅱ）依題意得，X所有可能的取值是1，2，3 又 所以X的分布列為 所以． 考點：1、古典概型；2、離散型隨機變量的分布列和期望． 17．如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點. (Ⅰ)求證：平面 ； (Ⅱ)求平面AEF與平面B

10、EC所成銳二面角的余弦值． 【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ) ． 試題解析：解法一：（Ⅰ）如圖，取的中點，連接，，又G是BE的中點， ， 又F是CD中點，，由四邊形ABCD是矩形得，，所以 ．從而四邊形是平行四邊形，所以，,又 ，所以． 所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為． 解法二：(Ⅰ)如圖，取中點，連接，，又是的中點，可知， 又面，面，所以平面． 在矩形ABCD中，由Ｍ，Ｆ分別是ＡＢ，ＣＤ的中點得． 又面，面，所以面． 又因為，面，面， 所以面平面，因為面，所以平面． （Ⅱ）同解法一． 考點：1、直線和平面平行的判斷；2、面面平行的判斷

11、和性質(zhì)；3、二面角． 18.．已知橢圓E：過點，且離心率為． (Ⅰ)求橢圓E的方程； (Ⅱ)設(shè)直線交橢圓E于A，B兩點，判斷點G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) G在以AB為直徑的圓外． 在圓上． 試題解析：解法一：(Ⅰ)由已知得 解得 所以橢圓E的方程為． 故 所以，故G在以AB為直徑的圓外． 解法二：(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)設(shè)點，則 由所以 從而 所以不共線，所以為銳角. 故點G在以AB為直徑的圓外． 考

12、點：1、橢圓的標準方程；2、直線和橢圓的位置關(guān)系；3、點和圓的位置關(guān)系． 19．已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)如下變換得到：先將圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），再將所得到的圖像向右平移個單位長度. (Ⅰ)求函數(shù)的解析式，并求其圖像的對稱軸方程； (Ⅱ)已知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不同的解． （1)求實數(shù)m的取值范圍； （2)證明： 【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)（1）；（2）詳見解析． 【解析】 試題分析：(Ⅰ)縱向伸縮或平移： 或；橫向伸縮或平移：（縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮?時，向左平移個單位；時，向右平移個單位)；(Ⅱ) （1)由(

13、Ⅰ)得，則，利用輔助角公式變形為（其中），方程在內(nèi)有兩個不同的解，等價于直線和函數(shù)有兩個不同交點，數(shù)形結(jié)合求實數(shù)m的取值范圍；（2)結(jié)合圖像可得和，進而利用誘導(dǎo)公式結(jié)合已知條件求解． 試題解析：解法一：(1)將的圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變）得到的圖像，再將的圖像向右平移個單位長度后得到的圖像，故，從而函數(shù)圖像的對稱軸方程為 (2)1) （其中） 依題意，在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的解當且僅當，故m的取值范圍是. 2)因為是方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的解， 所以，. 當時， 當時, 所以 解法二：(1)同解法一.

14、 (2)1) 同解法一. 2) 因為是方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的解， 所以，. 當時， 當時, 所以 于是 考點：1、三角函數(shù)圖像變換和性質(zhì)；2、輔助角公式和誘導(dǎo)公式． 20已知函數(shù)， (Ⅰ)證明：當； (Ⅱ)證明：當時，存在,使得對 (Ⅲ)確定k的所以可能取值，使得存在，對任意的恒有． 【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)詳見解析；(Ⅲ) ． 【解析】 試題分析：(Ⅰ)構(gòu)造函數(shù)只需求值域的右端點并和0比較即可；(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)即，求導(dǎo)得 ，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的形狀和最值，證明當時，存在，使得即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，當時，對于故，則不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，只需說明，易發(fā)

15、現(xiàn)函數(shù)在遞增，而，故不存在；當時，由(Ⅱ)知，存在,使得對任意的任意的恒有，此時不等式變形為， 構(gòu)造，易發(fā)現(xiàn)函數(shù)在遞增，而，不滿足題意；當時，代入證明即可． 試題解析：解法一：(1)令則有 當 ,所以在上單調(diào)遞減； 故當時，即當時，． (2)令則有 當 ,所以在上單調(diào)遞增, 故對任意正實數(shù)均滿足題意. 當時，令得． 取對任意恒有,所以在上單調(diào)遞增, ,即 . 綜上，當時，總存在,使得對任意的恒有． (3)當時，由（1）知，對于故， ， 令，則有 故當時，,在上單調(diào)遞增，故,即,所以滿足題意的t不存在. 當時，由（2）知存在,使得對任意的任意的恒有． 此時,

16、 令，則有 故當時，,在上單調(diào)遞增，故,即,記與中較小的為， 則當，故滿足題意的t不存在. 當，由（1）知，， 令，則有 當時，,所以在上單調(diào)遞減，故, 故當時，恒有,此時，任意實數(shù)t滿足題意. 綜上，. 解法二：（1）（2）同解法一. （3）當時，由（1）知，對于， 故， 令， 從而得到當時，恒有,所以滿足題意的t不存在. 當時，取 由（2）知存在,使得. 此時, 令，此時 , 記與中較小的為，則當， 故滿足題意的t不存在. 當，由（1）知，， 令，則有 當時，,所以在上單調(diào)遞減，故, 故當時，恒有,此時，任意實數(shù)t滿足題意 綜上，. 考點：導(dǎo)

17、數(shù)的綜合應(yīng)用． 21．本題設(shè)有三個選考題，請考生任選2題作答. 選修4-2：矩陣與變換 已知矩陣 (Ⅰ)求A的逆矩陣； (Ⅱ)求矩陣C，使得AC=B. 【答案】(Ⅰ)； (Ⅱ)． 【解析】 試題分析：因為，得伴隨矩陣，且，由可求得；(Ⅱ) 因為，故，進而利用矩陣乘法求解． 試題解析：(1)因為 所以 (2)由AC=B得, 故 考點：矩陣和逆矩陣． 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系中，圓C的參數(shù)方程為.在極坐標系（與平面直角坐標系取相同的長度單位，且以原點O為極點，以軸非負半軸為極軸）中，直線l的方程為 (Ⅰ)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標

18、方程； (Ⅱ)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值． 【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ) ． 【解析】 試題分析：(Ⅰ)將圓的參數(shù)方程通過移項平方消去參數(shù)得 ，利用，將直線的極坐標方程化為直角坐標方程；(Ⅱ)利用點到直線距離公式求解． 試題解析：(Ⅰ)消去參數(shù)t，得到圓的普通方程為, 由，得, 所以直線l的直角坐標方程為. (Ⅱ)依題意，圓心C到直線l的距離等于2，即 解得 考點：1、參數(shù)方程和普通方程的互化；2、極坐標方程和直角坐標方程的互化；3、點到直線距離公式． 選修4-5：不等式選講 已知，函數(shù)的最小值為4． (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求的最小值． 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)． 【解析】 試題分析：(Ⅰ)由絕對值三角不等式得 的最小值為，故，即 ；(Ⅱ)利用柯西不等式求解． 試題解析：(Ⅰ)因為 當且僅當時，等號成立 又，所以,所以的最小值為, 所以． (Ⅱ)由(1)知，由柯西不等式得 , 即. 當且僅當,即時，等號成立 所以的最小值為. 考點：1、絕對值三角不等式；2、柯西不等式．