新教材高中數(shù)學(xué)北師大版選修22 第4章 單元綜合檢測(cè) Word版含解析

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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 第四章　單元綜合檢測(cè) (時(shí)間120分鐘　　滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1． ∫ sinxdx等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D． 解析：∫sinxdx＝(－cosx)＝0. 答案：B　 2． 下列等式不成立的是(　　) A．[mf(x)＋ng(x)]dx＝mf(x)dx＋ng(x)dx B．[f(x)＋1]dx＝f(x)dx＋b－a C．f(x)·g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dx D．sinxdx＝－2πsinxdx＋∫sinxdx 解析：利用定積分的性

2、質(zhì)進(jìn)行判斷，選項(xiàng)C不成立．例如xdx＝，x2dx＝，x3dx＝，但xdx·x2dx≠(x·x2)dx＝x3dx.故選C. 答案：C　 3． [2014·江西高考]若f(x)＝x2＋2f(x)dx，則f(x)dx＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 解析：令f(x)dx＝m，則f(x)＝x2＋2m， 所以f(x)dx＝(x2＋2m)dx＝ ＝＋2m＝m，解得m＝－，故選B. 答案：B　 4． 若(2－3x)dx＝－2(a>0)，則a的值為(　　) A．2 B． C．2或 D．2或－ 解析：a>0，(2－3x)dx＝＝2a－a

3、2. 由題知2a－a2＝－2， 解得a＝2. 答案：A　 5． [2014·湖南高考]已知函數(shù)f(x)＝sin(x－φ)，且f(x)dx＝0，則函數(shù)f(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 解析：由f(x)dx＝sin(x－φ)dx＝－cos(x－φ)＝－cos＋cosφ＝0，得cosφ＝sinφ， 從而有tanφ＝，則φ＝nπ＋，n∈Z， 從而有f(x)＝sin ＝(－1)n·sin，n∈Z. 令x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，即f(x)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸是x＝kπ＋，k∈Z，故選A. 答案：A　 6．

4、 曲線y＝1－x2與x軸圍成的圖形的面積是(　　) A．4 B．3 C．2 D． 解析：先解方程1－x2＝0，求出兩根為和－，即為積分的上、下限，然后求定積分的值，S＝∫－dx＝＝3. 答案：B　 7． |x2－4|dx＝(　　) A． B． C． D． 解析：|x2－4|dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx＝(4x－x3)＋(x3－4x)＝，故選C. 答案：C　 8． 根據(jù)定積分的定義，x2dx＝(　　) A．()2· B．()2· C．()2· D．()2· 解析：將[0,2]等分成n個(gè)小區(qū)間[，](i＝1,2，…，n)

5、，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度Δx＝.取ξi＝，則Sn＝()2·，∴x2dx＝()2·，故選D. 答案：D　 9. 如圖所示，由曲線y＝x2－1、直線x＝0、x＝2和x軸圍成的封閉圖形的面積是(　　) A．(x2－1)dx B． C．|x2－1|dx D．(x2－1)dx＋(x2－1)dx 解析：一般情形下，這種陰影部分的面積應(yīng)分成兩部分，直線x＝1左邊的部分和右邊的部分，經(jīng)過(guò)運(yùn)算變形可化為|x2－1|dx. 答案：C　 10. 物體以速度v(t)＝3t2－2t＋3做直線運(yùn)動(dòng)，它在t＝0到t＝3這段時(shí)間內(nèi)的位移是(　　) A．9 B．18 C．27 D．36 解

6、析：位移可表示為(3t2－2t＋3)dt＝(t3－t2＋3t)＝27－9＋9＝27. 答案：C　 11. 函數(shù)F(x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上(　　) A．有最大值0，無(wú)最小值 B．有最大值0和最小值－ C．有最小值－，無(wú)最大值 D．既無(wú)最大值也無(wú)最小值 解析：F(x)＝(t2－4t)dt＝(t3－2t2)＝x3－2x2(－1≤x≤5)．F′(x)＝x2－4x，由F′(x)＝0，得x＝0或4，列表如下： x (－1,0) 0 (0,4) 4 (4,5) F′(x) ＋ 0 － 0 ＋ F(x)  極大值  極小值  可見(jiàn)極大值

7、F(0)＝0，極小值F(4)＝－.又F(－1)＝－，F(xiàn)(5)＝－，所以最大值為0，最小值為－.故選B. 答案：B　 12. 拋物線y＝－x2＋4x－3與其在點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(3,0)處的線切所圍成圖形的面積為(　　) A． B． C． D． 解析：由題意知，所圍成的圖形如圖中陰影部分所示，∵y′＝－2x＋4，∴拋物線在點(diǎn)A(1,0)處切線的斜率k1＝2，方程為y＝2(x－1)，在點(diǎn)B(3,0)處切線的斜率k2＝－2，方程為y＝－2(x－3)．由得，故所求面積S陰＝[(2x－2)－(－x2＋4x－3)]dx＋[(－2x＋6)－(－x2＋4x－3)]dx＝(x3－x2＋x)＋(x3－

8、3x2＋9x)＝＋＝.故選D. 答案：D　 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13. 計(jì)算：dx＝________. 解析：由定積分的幾何意義知，所求積分是圖中陰影部分的面積．易知AB＝，∠AOB＝，故S陰＝×4π－×1×＝－. 答案：－ 14. 如圖是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)的v－t圖像，則質(zhì)點(diǎn)在前6 s內(nèi)的位移為_(kāi)_______． 解析：直線OA的方程為y＝x，直線AB的方程為y＝－x＋9，故質(zhì)點(diǎn)在前6 s內(nèi)的位移為xdx＋(－x＋9)dx＝x2＋(－x2＋9x)＝6＋3＝9(m)． 答案：9 m 15. 已知t>0，若

9、(2x－1)dx＝6，則x＝________. 解析：(2x－1)dx＝(x2－x)＝t2－t＝6， ∵t>0，∴t＝3. 答案：3 16. 已知x>0，設(shè)f(x)＝(t－1)dt，則f(x)的最小值為_(kāi)_______． 解析：(t－1)dt＝＝x2－x， 即f(x)＝x2－x(x>0)， 則f(x)＝(x2－2x＋1)－＝(x－1)2－， 所以f(x)的最小值為－. 答案：－ 三、解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，其圖像過(guò)點(diǎn)(1,3)且f(x)dx＝2，求f(x)的解析式． 解： 設(shè)f(x)＝kx＋b(k

10、≠0)，圖像過(guò)點(diǎn)(1,3)，即k＋b＝3.① ∵f(x)dx＝2，∴(kx＋b)dx＝2， 即＝2， 即＋b＝2.② 由①②得k＝2，b＝1，∴f(x)＝2x＋1. 18．(12分)計(jì)算下列定積分： (1)∫0(1－2sin2x)dx；　　(2)dx. 解： (1)∵1－2sin2x＝cos2x，取F(x)＝sin2x， 則F′(x)＝cos2x， ∴∫0(1－2sin2x)dx＝∫0cos2xdx＝F()－F(0)＝×(－0)＝. (2)∵＝－，(lnx)′＝， (ln(x＋1))′＝， ∴dx＝lnx－ln(x＋1)＝2ln2－ln3. 19．(12分)

11、[2014·云南省昆明十中期中考試]已知拋物線y＝x2－2x與直線x＝0，x＝a，y＝0圍成的平面圖形的面積為，求a的值． 解： 作出y＝x2－2x的圖像，如圖所示． ①當(dāng)a<0時(shí)，S＝(x2－2x)dx＝(x3－x2)＝－＋a2＝， ∴(a＋1)(a－2)2＝0.∵a<0，∴a＝－1. ②當(dāng)a＝0時(shí)，不符合題意． ③當(dāng)a>0時(shí)， 若0<a≤2，則S＝－(x2－2x)dx＝－(x3－x2)＝a2－a3＝， ∴(a＋1)(a－2)2＝0.∵a>0，∴a＝2. 若a>2，不合題意． 綜上a＝－1或2. 20．(12分)在邊長(zhǎng)為1

12、的正方形AOBC內(nèi)，由曲線y＝x2和y＝圍成一個(gè)葉形圖，如右圖中陰影部分所示．若向正方形AOBC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，求所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率． 解： 設(shè)陰影部分面積為S， 則S＝(－x2)dx＝＝. 正方形的面積S′＝1，由幾何概型知，所求概率P＝. 21．(12分)求由曲線y＝與直線y＝x所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積． 解： 由得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，(4,2)． V＝πdx＝(4x－x2)dx ＝＝π. 22．(12分)如右圖，拋物線y＝4－x2與直線y＝3x的兩交點(diǎn)為A，B，點(diǎn)P在拋物線上從A向B運(yùn)動(dòng)． (1)求使△PAB的面積最大時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)(

13、a，b)； (2)證明由拋物線與線段AB圍成的圖形，被直線x＝a分為面積相等的兩部分． 解： (1)解方程組得x1＝1，x2＝－4， ∴拋物線y＝4－x2與直線y＝3x的交點(diǎn)為A(1,3)，B(－4，－12)， ∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)a∈(－4,1)．點(diǎn)P(a，b)到直線y＝3x的距離為d＝. ∵P點(diǎn)在拋物線上，∴b＝4－a2， ∵d′a＝·(4－3a－a2)′＝(－2a－3)＝0， ∴a＝－.即當(dāng)a＝－時(shí)，d最大． 這時(shí)b＝4－＝， ∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，△PAB的面積最大． (2)設(shè)上述拋物線與直線圍成的面積為S， 位于x＝－的右側(cè)的面積為S1 S＝ (4－x2－3x)dx＝， S1＝ (4－x2－3x)dx＝. ∴S＝2S1，即直線x＝－平分S.