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1、
19 向量應用舉例
時間：45分鐘 滿分：80分
班級________ 姓名________ 分數________
一、選擇題：(每小題5分，共56＝30分)
1．點P在平面上作勻速直線運動，速度向量v＝(4，－3)(即點P的運動方向與v相同，且每秒移動的距離為|v|個單位)．設開始時點P的坐標為(－10,10)，則5秒后點P的坐標為( )
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
答案：C
解析：按照共線向量及坐標運算法則代入可求．
2．和直線3x－4y＋7＝0平行的向量a及垂直的向量b分別是( )
A．a＝(3
2、,4)，b＝(3，－4)
B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)
C．a＝(4,3)，b＝(3，－4)
D．a＝(－4,3)，b＝(3,4)
答案：C
解析：與直線Ax＋By＋C＝0垂直的向量為(A，B)，與直線Ax＋By＋C＝0平行的向量為(－B，A)．
3．在四邊形ABCD中，若＋＝0，＝0，則四邊形的形狀為( )
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．平行四邊形
答案：B
解析：∵＋＝0，＝，∴四邊形ABCD為平行四邊形．又＝0，∴⊥，∴對角線互相垂直，∴四邊形ABCD為菱形．
4．在△ABC中，＝0，且＝，則△ABC的形狀是( )
A．三邊均不相等的三角形
3、
B．直角三角形
C．等腰(非等邊)三角形
D．等邊三角形
答案：D
解析：由＝0，得角A的平分線垂直于BC，∴AB＝AC.又＝cos〈，〉＝，〈，〉∈(0，180)，∴∠BAC＝60.∴△ABC為等邊三角形，選D.
5．一條河的寬度為d，一艘船從河岸的A出發(fā)到河的正對岸B處，船速為v1，水速為v2，船到達B處所用的時間t為( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：如圖所示，知|v合|2＝|v1|2－|v2|2.
∴|v合|＝，∴t＝＝，選C.
6．設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，2＝16，|＋|＝|－|，則||＝( )
A．
4、8 B．4
C．2 D．1
答案：B
解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，則AM為Rt△ABC斜邊BC上的中線，因此，||＝||＝4，故選B.
二、填空題：(每小題5分，共53＝15分)
7．已知兩個粒子A、B從同一點發(fā)射出來，在某一時刻，它們的位移分別為va＝(4,3)，vb＝(3,4)，則va在vb上的射影為________．
答案：
解析：由題知va與vb的夾角θ的余弦值為cosθ＝＝.
∴va在vb上的射影為|va|cosθ＝5＝.
8．已知直線l經過點A(1，－2)，且直線l的一個法向量n＝(2,3)，則點B(2,3)到直線l的距離是________．
答案：
5、解析：由題意，知直線l的斜率k＝－.又直線l過點A(1，－2)，所以直線l的方程為2x＋3y＋4＝0，所以點B(2,3)到直線l的距離d＝＝.
9．在四邊形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，則四邊形ABCD的面積是________．
答案：30
解析：＝－＝(3,6)＝，∵＝(4，－2)(3,6)＝0，∴⊥，∴四邊形ABCD為矩形，||＝，||＝，∴S＝||||＝30.
三、解答題：(共35分，11＋12＋12)
10．如圖，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是邊BC的中點，E是邊AB上的點，且AE＝2BE，求證：AD⊥CE.
解：解法一(基向量
6、法)
＝
＝
＝
＝2－－2.
∵BC⊥CA，∴＝0.
又BC＝CA，
∴||＝||，
∴＝(||2－||2)＝0，
∴⊥，即AD⊥CE.
解法二(坐標法)
以CA，CB所在直線為坐標軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，設||＝||＝a，
∴C(0,0)，A(a,0)，B(0，a)，E，D，
∴＝，＝，
∴＝－＋＝－＋＝0，
∴⊥，即AD⊥CE.
11．如圖，平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AD，DC的中點，BE，BF與AC分別交于點R，T，證明：R，T為AC的三等分點．
解：設＝a，＝b，則＝a＋b，＝b－a.
由于與共線，因此存在實數m，使得
7、＝m(a＋b)．
又與共線，因此存在實數n，使得＝n＝n.
由＝＋＝＋n，得m(a＋b)＝a＋n，
整理得(m＋n－1)a＋b＝0.
由于向量a，b不共線，所以有，
解得，
所以＝.
同理＝，
所以＝，所以AR＝RT＝TC，
所以R，T為AC的三等分點．
12．如圖所示，在細繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力為G的物體，繩子與鉛垂線的夾角為θ，繩子所受到的拉力為F1.
(1)判斷|F1|，|F2|隨角θ的變化而變化的情況；
(2)當|F1|≤2|G|時，求角θ的取值范圍．
解：(1)如圖所示，由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則，得－G＝F1＋F2，|F1|＝，
|F2|＝|G|tanθ，
當θ從0趨向于90時，|F1|，|F2|都逐漸增大．
(2)由|F1|＝，|F1|≤2|G|，得cosθ≥.
又因為0≤θ<90，所以0≤θ≤60，
即角θ的取值范圍為[0，60]．
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