人教版 高中數(shù)學(xué)選修23 檢測(cè)第三章3.1第1課時(shí)線性回歸模型

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1、人教版高中數(shù)學(xué)精品資料 第三章 統(tǒng)計(jì)案例 3.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 第1課時(shí) 線性回歸模型 A級(jí) 基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1.有下列說法: ①線性回歸分析就是由樣本點(diǎn)去尋找一條直線,貼近這些樣本點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法; ②利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示; ③通過回歸方程=x+及其回歸系數(shù)b,可以估計(jì)和觀測(cè)變量的取值和變化趨勢(shì); ④因?yàn)橛扇魏我唤M觀測(cè)值都可以求得一個(gè)線性回歸方程,所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn). 其中正確說法的個(gè)數(shù)是(   ) A.1     B.2     C.3     D.4 解析:①反映的是最小二乘法思

2、想,故正確.②反映的是畫散點(diǎn)圖的作用,也正確.③反映的是回歸模型y=bx+a+e,其中e為隨機(jī)誤差,故也正確.④不正確,在求回歸方程之前必須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn),以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系. 答案:C 2.設(shè)兩個(gè)變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系,它們的相關(guān)系數(shù)是r,y關(guān)于x的回歸直線的斜率是b,縱軸上的截距是a,那么必有(   ) A.b與r的符號(hào)相同 B.a(chǎn)與r的符號(hào)相同 C.b與r的符號(hào)相反 D.a(chǎn)與r的符號(hào)相反 解析:因?yàn)閎>0時(shí),兩變量正相關(guān),此時(shí)r>0;b<0時(shí),兩變量負(fù)相關(guān),此時(shí)r<0. 答案:A 3.實(shí)驗(yàn)測(cè)得四組(x,y)的值為(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),則

3、y與x之間的回歸直線方程為(   ) A.=x+1 B.=x+2 C.=2x+1 D.=x-1 解析:求出樣本中心(,)代入選項(xiàng)檢驗(yàn)知選項(xiàng)A正確. 答案:A 4.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系.根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是(   ) A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B.回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(,) C.若該大學(xué)某女生身高增加1 cm,則其體重約增加0.85 kg D.若該大學(xué)某女生身高為170 cm,則可斷定其體重必為58.7

4、9 kg 解析:回歸方程中x的系數(shù)為0.85>0,因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系,A正確;由回歸方程系數(shù)的意義可知回歸直線過樣本點(diǎn)的中心,,B正確;依據(jù)回歸方程中y的含義可知,x每變化1個(gè)單位,y相應(yīng)變化約0.85個(gè)單位,C正確;用回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)不能得到肯定的結(jié)論,故D錯(cuò)誤. 答案:D 5.(2015·福建卷)為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系,隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表: 收入x/萬元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y/萬元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得回歸直線方程=x

5、+,其中=0.76,=y(tǒng)-,. 據(jù)此估計(jì),該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為(  ) A.11.4萬元 B.11.8萬元 C.12.0萬元 D.12.2萬元 解析:由已知得 ==10(萬元), ==8(萬元), 故=8-0.76×10=0.4. 所以回歸直線方程為=0.76x+0.4,社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭年支出為=0.76x+0.4,社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭支出為=0.76×15+0.4=11.8(萬元). 答案:B 二、填空題 6.若施化肥量x(kg)與小麥產(chǎn)量y(kg)之間的回歸直線方程為=250+4x,當(dāng)施化肥量為50 k

6、g時(shí),預(yù)計(jì)小麥產(chǎn)量為________kg. 解析:把x=50代入=250+4x,得=450. 答案:450 7.已知x,y的取值如表所示: x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 若從散點(diǎn)圖分析,y與x線性相關(guān),且=0.95x+,則的值等于________. 解析:x= (0+1+3+4)=2,y==4.5,而回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心(2,4.5), 所以=y(tǒng)-0.95x=4.5-0.95×2=2.6. 答案:2.6 8.已知一個(gè)線性回歸方程為=1.5x+45,其中x的取值依次為1,7,5,13,19,則=________.

7、 解析:==9,因?yàn)榛貧w直線方程過點(diǎn)(,),所以=1.5x+45=1.5×9+45=58.5. 答案:58.5 三、解答題 9.某醫(yī)院用光電比色計(jì)檢驗(yàn)?zāi)蚬瘯r(shí),得尿汞含量x(單位:mg/L)與消光系數(shù)y讀數(shù)的結(jié)果如下: 尿汞含量x 2 4 6 8 10 消光系數(shù)y 64 138 205 285 360 (1)畫出散點(diǎn)圖; (2)求回歸方程. 解:(1)散點(diǎn)圖如圖所示: (2)由圖可知y與x的樣本點(diǎn)大致分布在一條直線周圍,因此可以用線性回歸方程來擬合它. 設(shè)回歸方程為=x+. 故所求的線性回歸方程為=36.95x-11.3. 10.

8、某地最近十年糧食需求量逐年上升,下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù): 年份 2008 2010 2012 2014 2016 需求量/萬噸 236 246 257 276 286 (1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程=x+; (2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測(cè)該地2018年的糧食需求量. 解:(1)由所給數(shù)據(jù)看出,年需求量與年份之間是近似直線上升,下面來求回歸直線方程.為此對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理如下: 年份2012年 -4 -2 0 2 4 需求量257萬噸 -21 -11 0 19 29 對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù),容易算得=0,=3.2.所以

9、==6.5, =-=3.2. 由上述計(jì)算結(jié)果,知所求回歸直線方程為 -257=(x-2 012)+=6.5(x-2 012)+3.2, 即=6.5(x-2 012)+260.2.① (2)利用直線方程①,可預(yù)測(cè)2018年的糧食需求量為 =6.5×(2 018-2 012)+260.2=6.5×6+260.2=299.2(萬噸)≈300(萬噸). B級(jí) 能力提升 1.某學(xué)生四次模擬考試中,其英語(yǔ)作文的減分情況如下表: 考試次數(shù)x 1 2 3 4 所減分?jǐn)?shù)y 4.5 4 3 2.5 顯然所減分?jǐn)?shù)y與模擬考試次數(shù)x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系

10、,則其線性回歸方程為(  ) A.y=0.7x+5.25 B.y=-0.6x+5.25 C.y=-0.7x+6.25 D.y=-0.7x+5.25 解析:由題意可知,所減分?jǐn)?shù)y與模擬考試次數(shù)x之間為負(fù)相關(guān),所以排除A. 考試次數(shù)的平均數(shù)為x=(1+2+3+4)=2.5, 所減分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為y=(4.5+4+3+2.5)=3.5, 即直線應(yīng)該過點(diǎn)(2.5,3.5),代入驗(yàn)證可知直線y=-0.7x+5.25成立,故選D. 答案:D 2.為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系,下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球時(shí)間x(單位:小時(shí))與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)

11、系: 時(shí)間x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李這5天的平均投籃命中率為________,用線性回歸分析的方法,預(yù)測(cè)小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率為________. 解析:這5天的平均投籃命中率為 ==0.5, ==3. 所以==0.01,=-=0.47. 所以回歸直線方程為=0.01x+0.47. 當(dāng)x=6時(shí),=0.01×6+0.47 =0.53. 答案:0.5 0.53 3.某市垃圾處理廠的垃圾年處理量(單位:千萬噸)與資金投入量x(單位:千萬元)有如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù): 分類 20

12、12年 2013年 2014年 2015年 2016年 資金投入量x/ 千萬元   1.5 1.4 1.9 1.6 2.1 垃圾處理量y/ 千萬噸   7.4 7.0 9.2 7.9 10.0 (1)若從統(tǒng)計(jì)的5年中任取2年,求這2年的垃圾處理量至少有一年不低于8.0千萬噸的概率; (2)由表中數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為=4x+,該垃圾處理廠計(jì)劃2017年的垃圾處理量不低于9.0千萬噸,現(xiàn)由垃圾處理廠決策部門獲悉2017年的資金投入量約為1.8千萬元,請(qǐng)你預(yù)測(cè)2017年能否完成垃圾處理任務(wù),若不能,缺口約為多少千萬噸? 解:(1)從統(tǒng)計(jì)的5年垃圾處理量中任

13、取2年的基本事件共10個(gè):(7.4,7.0),(7.4,9.2),(7.4,7.9),(7.4,10.0),(7.0,9.2),(7.0,7.9),(7.0,10.0),(9.2,7.9),(9.2,10.0),(7.9,10.0),其中垃圾處理量至少有一年不低于8.0千萬噸的基本事件有6個(gè):(7.4,9.2),(7.4,10.0),(7.0,9.2),(7.0, 10.0),(9.2,7.9),(9.2,10.0). 所以,這2年的垃圾處理量至少有一年不低于8.0千萬噸的概率為P==. (2)==1.7, ==8.3, 因?yàn)橹本€=4x+過樣本中心點(diǎn)(,), 所以8.3=4×1.7+,解得=1.5. 所以=4x+1.5. 當(dāng)x=1.8時(shí),=4×1.8+1.5=8.7<9.0, 所以不能完成垃圾處理任務(wù),缺口約為0.3千萬噸.

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