大學(xué)物理（上）：第3章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

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1、1第三章第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2剛體：剛體：有質(zhì)量、有大小和形狀但不會(huì)發(fā)生形變的理有質(zhì)量、有大小和形狀但不會(huì)發(fā)生形變的理想物體。想物體。 剛體可以看作是由許許多多剛體可以看作是由許許多多的質(zhì)點(diǎn)所組成的，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)所組成的，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)叫作剛體的一個(gè)質(zhì)元。剛體上叫作剛體的一個(gè)質(zhì)元。剛體上任意兩個(gè)質(zhì)元間的距離在運(yùn)動(dòng)任意兩個(gè)質(zhì)元間的距離在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中都保持不變。過(guò)程中都保持不變。剛體是一個(gè)內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)位置保持不變的質(zhì)點(diǎn)系。剛體是一個(gè)內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)位置保持不變的質(zhì)點(diǎn)系。強(qiáng)調(diào)：強(qiáng)調(diào)：剛體也是理想化的模型，是實(shí)際物體在一定條剛體也是理想化的模型，是實(shí)際物體在一定條件下的抽象。件下的抽象。

2、33.1 3.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述3.1.1 3.1.1 剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng) 剛體的平動(dòng)：剛體的平動(dòng)：剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。 可以用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的方法可以用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的方法來(lái)處理剛體的平動(dòng)問(wèn)題。來(lái)處理剛體的平動(dòng)問(wèn)題。剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體上各點(diǎn)都繞同剛體上各點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，而直線本身在空一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，而直線本身在空間的位置保持不動(dòng)的一種轉(zhuǎn)動(dòng)。間的位置保持不動(dòng)的一種轉(zhuǎn)動(dòng)。這條這條直線稱為直線稱為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸。43.1.2 3.1.2 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角量描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角量描

3、述 oPx 根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的特點(diǎn)，我們用角量根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的特點(diǎn)，我們用角量來(lái)描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)較為方便。來(lái)描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)較為方便。 在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，過(guò)在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，過(guò)O點(diǎn)作一極軸，設(shè)極點(diǎn)作一極軸，設(shè)極軸的正方向是水平向右。軸的正方向是水平向右。 過(guò)過(guò)P作垂直于轉(zhuǎn)軸的橫截面（轉(zhuǎn)動(dòng)作垂直于轉(zhuǎn)軸的橫截面（轉(zhuǎn)動(dòng)平面），轉(zhuǎn)動(dòng)平面與轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)為平面），轉(zhuǎn)動(dòng)平面與轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)為O。連接連接OP，OP與極軸之間的夾角為與極軸之間的夾角為 。 質(zhì)點(diǎn)所在的矢徑與質(zhì)點(diǎn)所在的矢徑與x 軸的夾角。軸的夾角。 角位置角位置 ：轉(zhuǎn)動(dòng)方程：轉(zhuǎn)動(dòng)方程： = (t)5oPxdtd角速度：角速度：質(zhì)點(diǎn)的角位移質(zhì)點(diǎn)的角位移 ：

4、 t時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)矢徑轉(zhuǎn)點(diǎn)矢徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度過(guò)的角度 。角加速度角加速度22dtddtd 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角速度的方向只有兩個(gè)，可用正負(fù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角速度的方向只有兩個(gè)，可用正負(fù)數(shù)值表示角速度的方向。數(shù)值表示角速度的方向。 角速度是矢量。其方向滿足右手定則：沿質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)角速度是矢量。其方向滿足右手定則：沿質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)方向右旋大拇指指向。動(dòng)方向右旋大拇指指向。 角加速度是矢量，對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角加速度是矢量，對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體可以用正負(fù)數(shù)值表示角加速度的方向?？梢杂谜?fù)數(shù)值表示角加速度的方向。強(qiáng)調(diào)：強(qiáng)調(diào)：剛體剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只能用角量只能用角量描述。描述。6定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上任一點(diǎn)的速度和加速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛

5、體上任一點(diǎn)的速度和加速度 xosRpp路程與角位移之間的關(guān)系：路程與角位移之間的關(guān)系：Rs線速度與角速度的關(guān)系：線速度與角速度的關(guān)系：Rv加速度與角量的關(guān)系：加速度與角量的關(guān)系：dtdvatRvan2,RdtdR,2R勻變速圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式勻變速圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式t020021tt)(2020273.2 3.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律3.2.1 3.2.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 1.1.力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩FrM 這種情況相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)繞固定點(diǎn)這種情況相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)繞固定點(diǎn)O轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的情形。動(dòng)的情形。（1）力垂直于轉(zhuǎn)軸）力垂直于轉(zhuǎn)軸OPdrrFM（2）力與轉(zhuǎn)軸不垂直）力與轉(zhuǎn)軸

6、不垂直FF轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸o rFz轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面 可以把力分解為平行于轉(zhuǎn)軸的分可以把力分解為平行于轉(zhuǎn)軸的分量和垂直于轉(zhuǎn)軸的分量。量和垂直于轉(zhuǎn)軸的分量。 平行轉(zhuǎn)軸的力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零。平行轉(zhuǎn)軸的力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零。FrM82.力作用線與轉(zhuǎn)軸相交或平行時(shí)力對(duì)該軸的矩為零；力作用線與轉(zhuǎn)軸相交或平行時(shí)力對(duì)該軸的矩為零；3.同一個(gè)力對(duì)不同的轉(zhuǎn)軸的矩不一樣；同一個(gè)力對(duì)不同的轉(zhuǎn)軸的矩不一樣；4.注意合力矩與合力的矩是不同的概念，不要混淆。注意合力矩與合力的矩是不同的概念，不要混淆。力矩的計(jì)算力矩的計(jì)算1.研究力對(duì)軸的矩時(shí)，可用正負(fù)號(hào)表示力矩的方向。研究力對(duì)軸的矩時(shí)，可用正負(fù)號(hào)表示力矩的方向。 計(jì)算力對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的

7、力矩，若力的作用點(diǎn)不固定計(jì)算力對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的力矩，若力的作用點(diǎn)不固定在同一處，則應(yīng)當(dāng)采取分小段的辦法，先計(jì)算每一小在同一處，則應(yīng)當(dāng)采取分小段的辦法，先計(jì)算每一小段上的作用力產(chǎn)生的矩，再求和。段上的作用力產(chǎn)生的矩，再求和。說(shuō)明：說(shuō)明：9例：例：一勻質(zhì)細(xì)桿，長(zhǎng)為一勻質(zhì)細(xì)桿，長(zhǎng)為l質(zhì)量為質(zhì)量為m，在摩擦系數(shù)為，在摩擦系數(shù)為 的的水平桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)，求摩擦力的力矩水平桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)，求摩擦力的力矩M阻阻。解：解：桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩擦桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩擦阻力矩因離軸的具體不同而不同阻力矩因離軸的具體不同而不同mlodmdxxx細(xì)桿的質(zhì)量密度細(xì)桿的質(zhì)量密度lm質(zhì)元質(zhì)量質(zhì)元

8、質(zhì)量dxdm質(zhì)元所受阻力矩：質(zhì)元所受阻力矩：dmgxdM阻細(xì)桿受的阻力矩細(xì)桿受的阻力矩阻阻dMM221glmgl21lgxdx0102.2.剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 考慮剛體上某一質(zhì)元考慮剛體上某一質(zhì)元 ，imiiiiamfF 剛體外其他物體對(duì)它的合作剛體外其他物體對(duì)它的合作用力用力(外力外力)為為 ，剛體上其它質(zhì)，剛體上其它質(zhì)元對(duì)它的作用力為元對(duì)它的作用力為 ，iFifim對(duì)對(duì) 用牛頓第二定律：用牛頓第二定律：iniininamfF 法向力作用線通過(guò)轉(zhuǎn)軸，力矩為零。法向力作用線通過(guò)轉(zhuǎn)軸，力矩為零。itiititamfF 只考慮合外力與內(nèi)力均在轉(zhuǎn)只考慮合外力與內(nèi)力均在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的情

9、形。動(dòng)平面內(nèi)的情形。 法向：法向：切向：切向：iFifimoz),(itFinFitfinf11itiititamfF切向：切向：兩邊乘以兩邊乘以ri , ,有：有：iitiiitiitramrfrF對(duì)所有質(zhì)元的同樣的式子求和，有：對(duì)所有質(zhì)元的同樣的式子求和，有：imiFitFirFitfifoz),(iitiiitiitramrfrF)(2iirm表示內(nèi)力矩之和，其值等于零表示內(nèi)力矩之和，其值等于零iitrf表示合外力矩，記作表示合外力矩，記作MiitrF稱為剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，記作稱為剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，記作J)(2iirm則上式可簡(jiǎn)寫成：則上式可簡(jiǎn)寫成：JM 12剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體定

10、軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體所受的對(duì)于某一固定轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所受的對(duì)于某一固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的合外力矩等于剛體對(duì)此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體軸的合外力矩等于剛體對(duì)此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。JM 說(shuō)明說(shuō)明: :1. 上式是矢量式（在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中力矩只有兩個(gè)方向）。上式是矢量式（在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中力矩只有兩個(gè)方向）。2. M、J、 是對(duì)同一軸而言的。是對(duì)同一軸而言的。5. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。4. 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律的地位與牛頓第二定律相當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律的地位與牛頓第二定律相當(dāng)。3. 上式反映了力矩的瞬時(shí)效應(yīng)。上式反

11、映了力矩的瞬時(shí)效應(yīng)。dtdJJM133.2.2 3.2.2 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 iiiJrmJ)(2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的形狀、大小、質(zhì)量的分剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的形狀、大小、質(zhì)量的分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。 在（在（SI）中，）中，J J的單位：的單位：kgm2質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：質(zhì)量連續(xù)分布的剛體： dJJdmdm為質(zhì)量元，簡(jiǎn)稱質(zhì)元。為質(zhì)量元，簡(jiǎn)稱質(zhì)元。其計(jì)算方法如下：其計(jì)算方法如下：dmr2dldmdsdmdVdm質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布其中其中 、 、 分別為分別為質(zhì)量的線密度、面質(zhì)量的線密

12、度、面密度和體密度。密度和體密度。14例：例：半徑為半徑為 R 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。RMo解：解：dmMdmRJ02分割質(zhì)量元分割質(zhì)量元 dm圓環(huán)上各質(zhì)量元到軸的距離相等，圓環(huán)上各質(zhì)量元到軸的距離相等，MdmR022MR繞圓環(huán)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為繞圓環(huán)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2MRJ 討論：討論：若圓環(huán)繞其直徑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，再求此圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)若圓環(huán)繞其直徑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，再求此圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。慣量。15oR例例: : 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的均勻圓盤，求對(duì)通過(guò)盤的均勻圓盤，求對(duì)通過(guò)盤中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)

13、動(dòng)慣量。中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。rdrdm2dmrdJ2drr32RdrrdJJ03224Rrdr解：解：2Rm 221mR16例：例：如圖所示，一質(zhì)量為如圖所示，一質(zhì)量為m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為l的均質(zhì)空心圓柱體的均質(zhì)空心圓柱體（即圓筒圓筒）其內(nèi)、外半徑分別為（即圓筒圓筒）其內(nèi)、外半徑分別為R1和和R2。試求對(duì)。試求對(duì)幾何軸幾何軸oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。1R2Rrdrozll )rdr(dVdm,drrl,)RrR( r221則該質(zhì)元的質(zhì)量為厚度為半徑為其長(zhǎng)為柱殼形狀的質(zhì)元取一薄圓處在半徑為解：lRRm)(2122圓筒的體密度)RR(l4142221322RRmdrrldmrJ)(2122

14、21RRmJ22121, 0mRJRRR若221,mRJRRR若17例：例：求長(zhǎng)度為求長(zhǎng)度為L(zhǎng)，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒AB的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（1）對(duì)于通過(guò)棒的一端與棒垂直的軸。）對(duì)于通過(guò)棒的一端與棒垂直的軸。（2）對(duì)于通過(guò)棒的中心與棒垂直的軸。）對(duì)于通過(guò)棒的中心與棒垂直的軸。dmxJA2231mLLdxx02解解（1）細(xì)桿為線質(zhì)量分布，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為：細(xì)桿為線質(zhì)量分布，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為：lm331L（2）對(duì)于通過(guò)棒的中心的軸對(duì)于通過(guò)棒的中心的軸dmxJc22121mL3121L2)2(LmJJCAoABdmxdxLxoABdmxdx2L2LCx2/2/2LLdxx18平行

15、軸定理平行軸定理式中：式中：JC表示相對(duì)通過(guò)表示相對(duì)通過(guò)質(zhì)心質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，JA表示表示相對(duì)通過(guò)棒端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。兩軸平行，相距相對(duì)通過(guò)棒端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。兩軸平行，相距L/2。 剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量J，等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣，等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量量JC 加上剛體質(zhì)量與兩軸間的距加上剛體質(zhì)量與兩軸間的距離平方的乘積。離平方的乘積。JmCJdC2mdJJC剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。2)2(LmJJCA19例：例：計(jì)算鐘擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（已知：擺錘質(zhì)量為計(jì)算鐘擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（已知：擺錘質(zhì)量為m，半徑為半徑為r，擺

16、桿質(zhì)量也為，擺桿質(zhì)量也為m，長(zhǎng)度為，長(zhǎng)度為2r。）。）rO解：解：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：22134231mrrmJ擺錘轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：擺錘轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：22222219321mrrmmrmdJJC2222166521934mrmrmrJJJ203.2.3 3.2.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用 例例: :一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為m1、半徑為、半徑為R的定滑輪的定滑輪( (當(dāng)作當(dāng)作均勻圓盤均勻圓盤) )上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為2的物體而的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體下垂。忽略軸處摩擦，求物體2由靜止

17、下由靜止下落高度落高度h時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。解：解：Ra22,21RmJ JTRMgmmma21222122241mmghmRRv mmghmhav1222242定軸定軸0Rhm2繩繩Tm2g對(duì)對(duì)m1：對(duì)對(duì)m2：解方程得：解方程得： amTgm22221例：例：兩個(gè)勻質(zhì)圓盤，同軸地粘結(jié)在一起，構(gòu)成一個(gè)組合輪。小圓兩個(gè)勻質(zhì)圓盤，同軸地粘結(jié)在一起，構(gòu)成一個(gè)組合輪。小圓盤的半徑為盤的半徑為r，質(zhì)量為，質(zhì)量為m；大圓盤的半徑；大圓盤的半徑r=2r，質(zhì)量，質(zhì)量m = 2m。組。組合輪可以繞通過(guò)其中心且垂直于盤面的光滑水平固定軸合輪可以繞通過(guò)其中心且垂直于盤面的光滑水平

18、固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=9mr2/2 。兩圓盤邊緣上分別繞有輕質(zhì)細(xì)繩，。兩圓盤邊緣上分別繞有輕質(zhì)細(xì)繩，細(xì)繩下端各懸掛質(zhì)量為細(xì)繩下端各懸掛質(zhì)量為m的物體的物體A和和B，這一系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng)，這一系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng),繩與盤無(wú)相對(duì)滑動(dòng)且長(zhǎng)度不變。已知繩與盤無(wú)相對(duì)滑動(dòng)且長(zhǎng)度不變。已知r =10cm 。 求：求：（1）組合輪組合輪的角加速度；的角加速度；（2）當(dāng)物體上升當(dāng)物體上升h=0.4m時(shí)，組合輪的角速度。時(shí)，組合輪的角速度。,ra 2srad3 .10)19(2:rg解得rh:,)2(則為組合輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度設(shè)121208922srad.)rh(解：解：(1)aTTTT

19、amgmg29)2(2mrTrrT)2( ra amTmgmamgTrm,rm,ABO22例：例：一質(zhì)量為一質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為l 的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在O點(diǎn)，距點(diǎn)，距A端端 l/3 處。今使棒從靜止開始由水平位置繞處。今使棒從靜止開始由水平位置繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，求：（求：（1）水平位置的角速度和角加速度）水平位置的角速度和角加速度;（2）垂直位）垂直位置時(shí)的角速度和角加速度置時(shí)的角速度和角加速度。解：解：2mdJJCO222916121mllmml棒受到的重力矩棒受到的重力矩OBACmg任意角度任意角度 ：cos6lmgM lgJMO2cos3,ddJdtdJMddmllmg

20、291cos6有：有：23ddmllmg291cos6dlgdcos23dlgdcos2300, 0sin3lgOBACmg（1）水平位置水平位置 =0即：即：兩邊積分：兩邊積分：解得：解得：lglg232cos3lgsin3（2）垂直位置垂直位置 = /2,3sin3lglg02cos3lg243.3 3.3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的功和能定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的功和能1.1.力矩的功力矩的功oPFddsrz0MdA結(jié)論：結(jié)論：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)物體做的剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)物體做的功等于相應(yīng)力矩和角位移的乘積。功等于相應(yīng)力矩和角位移的乘積。剛體在力剛體在力 作用繞軸轉(zhuǎn)過(guò)一微小角位移作用繞軸轉(zhuǎn)過(guò)

21、一微小角位移d ，F(xiàn)rdFdA| )2cos(rdF|sinrdFdsFsindFrsinMFrsinMddA 力力 使剛體由使剛體由 0轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到 時(shí)，力矩的功為：時(shí)，力矩的功為：F力矩功力矩功25說(shuō)明：說(shuō)明：z第第i個(gè)質(zhì)元的動(dòng)能：個(gè)質(zhì)元的動(dòng)能： 2222121rmvmEiiiiki整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：)21(22rmEEiikik22)(21iirm221J0MdA1.1.力矩功不是新概念，只是力的功的另一種表達(dá)方式。力矩功不是新概念，只是力的功的另一種表達(dá)方式。2.2.內(nèi)力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功為零。內(nèi)力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功為零。2.2.剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能mii

22、riv263.3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理設(shè)在外力矩設(shè)在外力矩 M 的作用下，剛體繞定軸發(fā)生角位移的作用下，剛體繞定軸發(fā)生角位移d 元功：元功：MddA由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律dtdJJMdJdtddJdA有：有：21dJA21222121JJ剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：合外力矩對(duì)剛體所做合外力矩對(duì)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。 對(duì)上式積分，可得：對(duì)上式積分，可得：27mocmgNA0vhdlmgdAsin2)cos1 (2sin20mlmgdlmgAmmghAlhm21)cos1 (代入上式得將例：例： 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為l

23、 ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均勻細(xì)長(zhǎng)桿的均勻細(xì)長(zhǎng)桿O A ，可繞通過(guò)其一端點(diǎn)，可繞通過(guò)其一端點(diǎn)O的水平軸在鉛垂面內(nèi)自由擺動(dòng)，已知另一端點(diǎn)的水平軸在鉛垂面內(nèi)自由擺動(dòng)，已知另一端點(diǎn)A過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速率為率為v0，桿對(duì)通過(guò)端點(diǎn)，桿對(duì)通過(guò)端點(diǎn)O而垂直于桿長(zhǎng)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量而垂直于桿長(zhǎng)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J=ml2/3 ，若空氣阻力及軸上的摩擦力都可以忽略不計(jì)，求桿擺動(dòng)時(shí)若空氣阻力及軸上的摩擦力都可以忽略不計(jì)，求桿擺動(dòng)時(shí)A點(diǎn)升點(diǎn)升高的最大高度。高的最大高度。解：解：軸對(duì)桿的支承力軸對(duì)桿的支承力N過(guò)過(guò)O點(diǎn)，其力矩為零。點(diǎn)，其力矩為零。任意角度任意角度 ，重力矩為，重力矩為sin2lmgM gvh32022

24、0202121021:lvJJmgh由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理得284. 4. 剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能iipghmE hc-質(zhì)心的高度質(zhì)心的高度cmghmhmmgiimimchihc結(jié)論：結(jié)論：剛體的重力勢(shì)能可按質(zhì)心攜帶總質(zhì)量在重力場(chǎng)剛體的重力勢(shì)能可按質(zhì)心攜帶總質(zhì)量在重力場(chǎng)中的勢(shì)能來(lái)計(jì)算。中的勢(shì)能來(lái)計(jì)算。5. 5. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的功能原理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的功能原理質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：EEEAApk)(非保內(nèi)外 0外A若若 ，EEEApk)(外剛體：剛體：, 0非保內(nèi)A常量0EE有：有：機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律293.4 3.4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律

25、 3.4.1 3.4.1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理 1.1.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量irPov 以角速度以角速度作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體內(nèi)取一作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體內(nèi)取一質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) mi，則其對(duì)軸的角動(dòng)量為：則其對(duì)軸的角動(dòng)量為：rmvmrLiiiiii2 剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)對(duì)定軸的角動(dòng)量都具剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)對(duì)定軸的角動(dòng)量都具有相同的方向。有相同的方向。)(2iiirmLL定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量：)(2iirmJ30剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：JM dtdJdtJd)(dtdLdtdLM結(jié)論：結(jié)論：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所受的合外力矩定軸轉(zhuǎn)

26、動(dòng)剛體所受的合外力矩等于剛體的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。等于剛體的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角動(dòng)量定理微分形式定理微分形式將將dtdLM兩邊乘以兩邊乘以dt并積分，得：并積分，得：000LLdLMdtLLtt結(jié)論：結(jié)論：作用在剛體上的沖量矩等于在作用時(shí)間內(nèi)角動(dòng)作用在剛體上的沖量矩等于在作用時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量的增量。量的增量。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角動(dòng)量定理積分形式定理積分形式2.2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理說(shuō)明：說(shuō)明：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定剛體的角動(dòng)量定理也可以由質(zhì)點(diǎn)理也可以由質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理系的角動(dòng)量定理得到。得到。313.4.2 3

27、.4.2 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 恒量 JL0M當(dāng)當(dāng)時(shí)，則時(shí)，則1221LLMdttt剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量定理剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量定理,dtdLM 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律：當(dāng)剛體所受的外力當(dāng)剛體所受的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩之代數(shù)和為零時(shí)，剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩之代數(shù)和為零時(shí)，剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保持不變。量保持不變。 注意：注意：角動(dòng)量守恒定律不僅適用于剛體，同樣也適用角動(dòng)量守恒定律不僅適用于剛體，同樣也適用于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的任意物體系統(tǒng)。于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的任意物體系統(tǒng)。 強(qiáng)調(diào)：強(qiáng)調(diào)：對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，角動(dòng)量守恒的條件是所受對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

28、的剛體，角動(dòng)量守恒的條件是所受的合外力矩為零，而不是沖量矩為零。的合外力矩為零，而不是沖量矩為零。32（1 1）對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J J為常數(shù)，為常數(shù)，剛剛體所受合外力矩為零時(shí)，角速度體所受合外力矩為零時(shí)，角速度將保持不變，剛體將保持不變，剛體保持靜止或勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)保持靜止或勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。（2 2）對(duì)于）對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的非剛體，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量非剛體，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是變化的。角動(dòng)量守恒，即是變化的。角動(dòng)量守恒，即J J和和的乘積的乘積保持不變保持不變。J ，J 1.1.物體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量守恒是指轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速物體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量守恒是指轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度的

29、乘積不變。度的乘積不變。2. 2. 當(dāng)研究的是質(zhì)點(diǎn)與剛體的碰撞問(wèn)題時(shí)，可以把質(zhì)點(diǎn)和當(dāng)研究的是質(zhì)點(diǎn)與剛體的碰撞問(wèn)題時(shí)，可以把質(zhì)點(diǎn)和剛體看成一個(gè)系統(tǒng)，在碰撞期間，由于系統(tǒng)所受的合外剛體看成一個(gè)系統(tǒng)，在碰撞期間，由于系統(tǒng)所受的合外力矩為零，所以可對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律。力矩為零，所以可對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律。說(shuō)明：說(shuō)明：33例：例：在摩擦系數(shù)為在摩擦系數(shù)為 的的桌面上有桌面上有質(zhì)量為質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為、長(zhǎng)度為l的均勻的均勻細(xì)桿，細(xì)桿，細(xì)桿細(xì)桿以初始角速度以初始角速度 0 繞垂直于桿繞垂直于桿的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，問(wèn)細(xì)桿經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，問(wèn)細(xì)桿經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間停止轉(zhuǎn)動(dòng)。時(shí)間停止轉(zhuǎn)動(dòng)。解：解：以細(xì)桿為研究對(duì)象

30、，受力分析，重力及桌面的支以細(xì)桿為研究對(duì)象，受力分析，重力及桌面的支持力不產(chǎn)生力矩，只有摩擦力產(chǎn)生力矩。持力不產(chǎn)生力矩，只有摩擦力產(chǎn)生力矩。分割質(zhì)量元分割質(zhì)量元細(xì)桿的質(zhì)量密度為：細(xì)桿的質(zhì)量密度為：lm/dxdm質(zhì)元受的摩擦力矩質(zhì)元受的摩擦力矩dmgxdM細(xì)桿受的摩擦力矩細(xì)桿受的摩擦力矩2/02ldMMmgl41olm,0dmxdxx2/l2/l34始末兩態(tài)的角動(dòng)量為：始末兩態(tài)的角動(dòng)量為：, 00JL 由角動(dòng)量定理：由角動(dòng)量定理：00LLMdttt00041Jmgldtt0212141mlmgltglt30本題也可用運(yùn)動(dòng)學(xué)方法求解，由本題也可用運(yùn)動(dòng)學(xué)方法求解，由 M=J 和和 = 0+ t， 求

31、出求出 t = - 0/ 。0Lolm,0dmxdxx2/l2/l35o1o 2例：例：人與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量人與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0=60kgm2，伸臂時(shí)伸臂時(shí)臂長(zhǎng)為臂長(zhǎng)為1m，收臂時(shí)臂長(zhǎng)為，收臂時(shí)臂長(zhǎng)為 0.2m。人站在摩擦。人站在摩擦可不計(jì)的自由轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤中心上，每只手抓有可不計(jì)的自由轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤中心上，每只手抓有質(zhì)量質(zhì)量m=5kg的啞鈴。伸臂時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的啞鈴。伸臂時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 1 =3rad/s，求收臂時(shí)的角速度，求收臂時(shí)的角速度 2 （設(shè)手臂質(zhì)量不（設(shè)手臂質(zhì)量不計(jì)）計(jì)）。解：解：整個(gè)過(guò)程合外力矩為零，角動(dòng)量守恒整個(gè)過(guò)程合外力矩為零，角動(dòng)量守恒2211JJ21012mlJJ22022mlJJ

32、2mkg702mkg4 .602112JJ4 .60703)/(5 . 3srad由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減小，由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減小，角速度增加。角速度增加。36例例 有一長(zhǎng)為有一長(zhǎng)為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m1的均勻細(xì)棒，靜止平放在光的均勻細(xì)棒，靜止平放在光滑水平桌面上，它可繞通過(guò)其端點(diǎn)滑水平桌面上，它可繞通過(guò)其端點(diǎn)O，且與桌面垂直，且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一質(zhì)量為的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一質(zhì)量為m2 、水平運(yùn)動(dòng)的、水平運(yùn)動(dòng)的小滑塊，從棒的側(cè)面沿垂直于棒的方向與棒的另一端小滑塊，從棒的側(cè)面沿垂直于棒的方向與棒的另一端A相碰撞，并被棒反向彈回，碰撞時(shí)間極短。已知小相碰撞，并被棒反向彈回，碰撞時(shí)間極短。已知小

33、滑塊與細(xì)棒碰撞前后的速率分別為滑塊與細(xì)棒碰撞前后的速率分別為v和和u，則碰撞后棒，則碰撞后棒繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 為多大？為多大？1m2mvuOA.,:碰撞前后角動(dòng)量守恒矩作用則系統(tǒng)不受外力間摩擦阻力矩對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)不考慮軸解ulmJvlm222131lmJO轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為細(xì)棒繞lmmuv12)(3代入上式求得37lmumo解：解：假設(shè)小球碰后瞬時(shí)的假設(shè)小球碰后瞬時(shí)的速度向上，桿的角速度速度向上，桿的角速度 肯肯定如圖。定如圖。例：例：質(zhì)量質(zhì)量m長(zhǎng)長(zhǎng)l的均勻細(xì)桿可繞過(guò)其中點(diǎn)處的水平光滑固的均勻細(xì)桿可繞過(guò)其中點(diǎn)處的水平光滑固定軸定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，如果一質(zhì)量為轉(zhuǎn)動(dòng)，如果一質(zhì)量為m的小球以速度

34、的小球以速度 豎直落到豎直落到棒的一端，發(fā)生彈性碰撞（忽略軸處摩擦）。棒的一端，發(fā)生彈性碰撞（忽略軸處摩擦）。求：碰后求：碰后小球的速度及桿的角速度。小球的速度及桿的角速度。u 以小球以小球+ +細(xì)桿組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，細(xì)桿組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，M外外=0 ，系統(tǒng)系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒 軸處的力無(wú)力矩；小球的重力矩與碰撞的內(nèi)力矩軸處的力無(wú)力矩；小球的重力矩與碰撞的內(nèi)力矩相比可以忽略，相比可以忽略，v ) 1 (2)121(22lvmmllum38因?yàn)閺椥耘鲎惨驗(yàn)閺椥耘鲎? , 機(jī)械能能守恒機(jī)械能能守恒)2(21)121(21212222vmmlum聯(lián)立解得：聯(lián)立解得：,33mmummv

35、lmmum)3(6討論：討論：當(dāng)當(dāng) m 3m時(shí)時(shí),v 0（向上）（向上）當(dāng)當(dāng) m =3m時(shí)時(shí), v = 0（瞬時(shí)靜止）（瞬時(shí)靜止）當(dāng)當(dāng) m 3m 時(shí)時(shí),v 0（向下）（向下）) 1 (2)121(22lvmmllumlmumov 39例例 如圖所示，將單擺和一等長(zhǎng)的勻質(zhì)直桿懸掛在同如圖所示，將單擺和一等長(zhǎng)的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點(diǎn)，桿的質(zhì)量一點(diǎn)，桿的質(zhì)量m與單擺的擺錘相等。開始時(shí)直桿自與單擺的擺錘相等。開始時(shí)直桿自然下垂，將單擺的擺錘拉到高度然下垂，將單擺的擺錘拉到高度h0，令它自靜止?fàn)顟B(tài)，令它自靜止?fàn)顟B(tài)下下落落, ,于鉛垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿于鉛垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿

36、下端達(dá)到的高度下端達(dá)到的高度h。mlhol解解: :碰撞前單擺擺錘的速度為碰撞前單擺擺錘的速度為002ghv 令碰撞后直桿的角速度為令碰撞后直桿的角速度為 ，擺錘，擺錘的速度為的速度為v。2031)(mlJvvml由角動(dòng)量守恒，有：由角動(dòng)量守恒，有：40在彈性碰撞過(guò)程中機(jī)械能也是守恒的在彈性碰撞過(guò)程中機(jī)械能也是守恒的: :lvvv23,200二式聯(lián)立解得：二式聯(lián)立解得：222021)(21Jvvm按機(jī)械能守恒，碰撞后擺錘達(dá)到的高度顯然為按機(jī)械能守恒，碰撞后擺錘達(dá)到的高度顯然為40hh 而桿的質(zhì)心達(dá)到的高度滿足而桿的質(zhì)心達(dá)到的高度滿足cmghJ2212320hhhc由此可解得由此可解得2031)(mlJvvmlchchh