金版教程高考數(shù)學 文二輪復習講義：第二編 專題整合突破 專題一集合、常用邏輯用語 第二講 向量、復數(shù)、算法、合情推理 Word版含解析

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1、 第二講　向量、復數(shù)、算法、合情推理 必記公式] 1．兩個非零向量平行、垂直的充要條件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 ①a∥b?a＝λb(b≠0，λ∈R)?x1y2－x2y1＝0. ②a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. 2．復數(shù)的四則運算法則 (a＋bi)(c＋di)＝(ac)＋(bd)i(a，b，c，d∈R)． (a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i. (a＋bi)(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)． 重要結論] 1．若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0. 2．已知＝λ＋μ(λ

2、，μ為常數(shù))，則A，B，C三點共線的充要條件是 λ＋μ＝1. 3．平面向量的三個性質 (1)若a＝(x，y)，則|a|＝＝. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ||＝. (3)設θ為a與b(a≠0，b≠0)的夾角，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 cosθ＝＝ . 4．復數(shù)運算中常用的結論 ①(1i)2＝2i；②＝i；③＝－i；④－b＋ai＝i(a＋bi)；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*. 5．歸納推理的思維過程 ―→―→ 6．類比推理的思維過程 ―→―→ 失分警示] 1．遇到i2，忘記應化為

3、－1，要注意i的周期性． 2．虛數(shù)與純虛數(shù)的條件不要弄混，當b≠0時，復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)叫做虛數(shù)；當a＝0且b≠0時，復數(shù)z＝a＋bi叫做純虛數(shù)． 3．讀不懂程序框圖的邏輯順序，不能準確把握判斷框中的條件． 4．分不清當型循環(huán)與直到型循環(huán)，不注意控制循環(huán)的變量是什么，不清楚何時退出循環(huán)、循環(huán)體內(nèi)的程序是什么． 考點　平面向量的運算及應用　　 典例示法 題型1　向量的概念及線性運算 典例1　　20xx北京高考]在△ABC中，點M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝______，y＝________. 解析]　由＝2知M為AC上靠近C的三等分點，由＝知N為BC的中

4、點，作出草圖如下： 則有＝(＋)，所以＝－＝(＋)－＝－， 又因為＝x＋y，所以x＝，y＝－. 答案]　?。? 題型2　向量的數(shù)量積 典例2　　20xx廣東高考]在平面直角坐標系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈. (1)若m⊥n，求tanx的值； (2)若m與n的夾角為，求x的值． 解]　(1)∵m⊥n，∴mn＝0. 故sinx－cosx＝0，∴tanx＝1. (2)∵m與n的夾角為， ∴cos〈m，n〉＝＝＝， 故sin＝. 又x∈，∴x－∈，x－＝，即x＝，故x的值為. 題型3　平面向量的綜合應用 典例3　　20xx江蘇高考]如圖，在

5、△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，＝4，＝－1，則的值是________． 解析]　解法一：以D為坐標原點，BC所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，設B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，則E，F(xiàn)，＝(b＋a，c)，＝(b－a，c)，＝，＝，＝，＝，由＝b2－a2＋c2＝4，＝－a2＋＝－1，解得b2＋c2＝，a2＝，則＝(b2＋c2)－a2＝. 解法二：設＝a，＝b，則＝(a＋3b)(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，＝(a＋b)(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2＝，|b|2＝，則＝(a＋2b)(－a＋2b)

6、＝4|b|2－|a|2＝. 答案]　 1．解決平面向量及線性運算問題應注意的幾點 (1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判定兩個向量共線的重要依據(jù)． (2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線． (3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0. (4)＝λ＋μ(λ，μ為實數(shù))，若A、B、C三點共線，則λ＋μ＝1. (5)平面向量的線性運算包括向量的加法、向量的減法及實數(shù)與向量的積，在解決這類問題時，經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤有：忽視向量的起點與終點，導致加法與減法混淆；錯用數(shù)乘公式．對此，要注意三角形法則和平

7、行四邊形法則適用的條件． 2．數(shù)量積、模和夾角的問題 (1)涉及數(shù)量積和模的計算問題，通常有兩種求解思路： ①直接利用數(shù)量積的定義； ②建立坐標系，通過坐標運算求解. (2)在利用數(shù)量積的定義計算時，要善于將相關向量分解為圖形中模和夾角已知的向量進行計算.,求平面向量的模時，常把模的平方轉化為向量的平方. (3)兩個向量夾角的范圍是0，π]，在使用平面向量解決問題時要特別注意兩個向量夾角可能是0或π的情況，如已知兩個向量的夾角為鈍角時，不單純就是其數(shù)量積小于零，還要求不能反向共線. 3．解向量與其他知識的綜合問題應注意 向量、不等式、解三角形的結合是現(xiàn)在高考的主流趨勢，對于向量

8、而言，要掌握相關的夾角、模、垂直、平行等重要公式．而在三角形中有關最值的求解通常借助于正弦型或余弦型函數(shù)的范圍，或歸結為二次函數(shù)的最值、或利用基本不等式等進行，無論采用哪種形式，都要強調變量的范圍．處理三角形中的問題也要注意靈活地邊角轉化，并且注意一些隱含條件，如內(nèi)角和為180、大角對大邊等內(nèi)在屬性． 考點　復數(shù)的概念及運算　　 典例示法 典例4　　(1)20xx全國卷Ⅰ]設(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數(shù)，則|x＋yi|＝(　　) A．1 B. C. D．2 解析]　因為(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y(tǒng)＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，選B.

9、答案]　B (2)20xx鄭州質檢二]設i是虛數(shù)單位，復數(shù)z＝，則|z|＝(　　) A．1 B. C. D．2 解析]　|z|＝＝＝. 答案]　B 本例條件不變求？ 答案　1－i 解析　由z＝＝＝1＋i，所以＝1－i. 復數(shù)的基本概念與運算問題的解題思路 (1)與復數(shù)的相關概念和復數(shù)的幾何意義有關的問題，一般是先變形分離出實部和虛部，把復數(shù)的非代數(shù)形式化為代數(shù)形式，然后再根據(jù)條件，列方程(組)求解． (2)與復數(shù)z的模|z|和共軛復數(shù)有關的問題，一般都要先設出復數(shù)z的代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b，∈R)，代入條件，用待定系數(shù)法解決． 針對訓練 1．20

10、xx安徽高考]設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析?。剑剑?＋i，其在復平面內(nèi)所對應的點位于第二象限． 2．20xx天津高考]已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位．若(1＋i)(1－bi)＝a，則的值為________． 答案　2 解析　(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，所以b＝1，a＝2，＝2. 考點　程序框圖　　 典例示法 題型1　求輸入或輸出的值 典例5　　20xx全國卷Ⅰ]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的x＝0，y＝1，n＝1，則輸出x，y的值滿足(　　)

11、 A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x 解析]　輸入x＝0，y＝1，n＝1，得x＝0，y＝1，x2＋y2＝1<36，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)：n＝2，x＝，y＝2，x2＋y2＝＋4<36，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)：n＝3，x＝＋1＝，y＝6，x2＋y2＝＋36>36，滿足條件，結束循環(huán)，所以輸出的x＝，y＝6，滿足y＝4x，故選C. 答案]　C 題型2　完善程序框圖 典例6　　20xx重慶高考]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出k的值為8，則判斷框內(nèi)可填入的條件是(　　) A．s≤ B．s≤ C．s≤ D．s≤ 解析]　第一次循環(huán)，得k＝2，s＝；

12、第二次循環(huán)，得k＝4，s＝＋＝；第三次循環(huán)，得k＝6，s＝＋＝； 第四次循環(huán)，得k＝8，s＝＋＝，此時退出循環(huán)，輸出k＝8，所以判斷框內(nèi)可填入的條件是s≤，故選C. 答案]　C 解答程序框圖(流程圖)問題的關注點 (1)首先要讀懂程序框圖，要熟練掌握程序框圖的三種基本結構，特別是循環(huán)結構，在如累加求和、累乘求積、多次輸入等有規(guī)律的科學計算中，都有循環(huán)結構． (2)準確把握控制循環(huán)的變量，變量的初值和循環(huán)條件，弄清在哪一步結束循環(huán)；弄清循環(huán)體和輸入條件、輸出結果． (3)對于循環(huán)次數(shù)比較少的可逐步寫出，對于循環(huán)次數(shù)較多的可先依次列出前幾次循環(huán)結果，找出規(guī)律． 提醒：解答循環(huán)結構

13、的程序框圖(流程圖)問題要注意輸出循環(huán)次數(shù)的情況，防止多一次或少一次的錯誤． 考點　合情推理　　 典例示法 題型1　利用歸納推理求解相關問題 典例7　　20xx河南鄭州聯(lián)考]觀察下列等式： 按此規(guī)律，第12個等號的等號右邊等于________． 解析]　從題中可找出規(guī)律，第n行等號左邊的式子是首項為2n－1的連續(xù)n個奇數(shù)之和，所以第12個等式的等號右邊＝左邊＝23＋25＋…＋45＝＝408. 答案]　408 題型2　利用類比推理求解相關問題 典例8　　20xx衡水中學調研]橢圓中有如下結論：橢圓＋＝1(a>b>0)上斜率為1的弦的中點在直線＋＝0上，類比上述結論：雙曲

14、線－＝1(a>0，b>0)上斜率為1的弦的中點在直線________上． 解析]　將橢圓方程＋＝1中的x2變?yōu)閤，y2變?yōu)閥，右邊變?yōu)?，得到橢圓＋＝1上斜率為1的弦的中點在直線＋＝0上．類比上述結論，將雙曲線的方程作上述變換可知，雙曲線－＝1上斜率為1的弦的中點在直線－＝0上．不妨設弦的兩個端點為(x1，y1)，(x2，y2)，則＝1，弦中點設為(x0，y0)，則x0＝，y0＝.將上述兩端點代入雙曲線方程， 得兩式相減，得－＝0， 即－＝0， 所以－＝0， 化簡，得－＝0，－＝0， 所以－＝0，于是(x0，y0)在直線－＝0上． 答案]　－＝0 合情推理的解題思路 (1

15、)在進行歸納推理時，要先根據(jù)已知的部分個體，把它們適當變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結論． (2)在進行類比推理時，要充分考慮已知對象性質的推理過程，然后通過類比，推導出類比對象的性質． (3)歸納推理關鍵是找規(guī)律，類比推理關鍵是看共性． 全國卷高考真題調研] 1．20xx全國卷Ⅰ]設復數(shù)z滿足＝i，則|z|＝(　　) A．1 B. C. D．2 答案　A 解析　由題意知1＋z＝i－zi，所以z＝＝＝i，所以|z|＝1. 2．20xx全國卷Ⅰ]設D為△ABC所在平面內(nèi)一點，＝3，則(　　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 答案　

16、A 解析　由題意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋，故選A. 3．20xx全國卷Ⅰ]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t＝0.01，則輸出的n＝(　　) A．5　　 B．6 C．7 D．8 答案　C 解析　由程序框圖可知， S＝1－＝，m＝，n＝1，>0.01； S＝－＝，m＝，n＝2，>0.01； S＝－＝，m＝，n＝3，>0.01； S＝－＝，m＝，n＝4，>0.01； S＝－＝，m＝，n＝5，>0.01； S＝－＝，m＝，n＝6，>0.01； S＝－＝，m＝，n＝7，<0.01.故選C. 4．20xx全國卷Ⅰ]設向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|

17、2＝|a|2＋|b|2，則m＝________. 答案?。? 解析　由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2得a⊥b，則m＋2＝0，所以m＝－2. 其它省市高考題借鑒] 5．20xx天津高考]閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，則輸出S的值為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　B 解析　第一次循環(huán)，S＝8，n＝2；第二次循環(huán)，S＝2，n＝3；第三次循環(huán)，S＝4，n＝4，故輸出S的值為4. 6．20xx陜西高考]觀察下列不等式： 1－＝， 1－＋－＝＋， 1－＋－＋－＝＋＋， … 據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為____________________．

18、 答案　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ 解析　等式左邊的特征：第1個等式有2項，第2個有4項，第3個有6項，且正負交錯，故第n個等式左邊有2n項且正負交錯，應為1－＋－＋…＋－；等式右邊的特征：第1個有1項，第2個有2項，第3個有3項，故第n個有n項，且由前幾個的規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)第n個等式右邊應為＋＋…＋. 一、選擇題 1．20xx沈陽質檢]已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　本題主要考查復數(shù)的計算和復平面的概念.＝1＋i，其在復平面內(nèi)對應的點為(1,1)，故選A. 2．20xx太

19、原一模]已知復數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為(　　) A．－1 B．0 C．1 D．i 答案　C 解析　z＝＝＝i，所以z的虛部是1. 3．20xx唐山統(tǒng)考]在等腰梯形ABCD中，＝－2，M為BC的中點，則(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　B 解析　本題主要考查平面向量的加減運算．因為＝－2，所以＝2.又M是BC的中點，所以＝(＋)＝(＋＋)＝ ＝＋，故選B. 4．20xx沈陽質檢]已知兩個非零向量a，b滿足a(a－b)＝0，且2|a|＝|b|，則〈a，b〉＝(　　) A．30 B．60 C．120 D．150 答案　B

20、 解析　本題主要考查平面向量數(shù)量積的運用．由題知a2＝ab，而cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60，故選B. 5．20xx鄭州質檢]按如下程序框圖，若輸出結果為273，則判斷框內(nèi)應補充的條件為(　　) A．i>7 B．i≥7 C．i>9 D．i≥9 答案　B 解析　本題主要考查程序框圖的應用．由程序框圖可知：第一步，S＝0＋31＝3，i＝3；第二步，S＝3＋33＝30，i＝5；第三步，S＝30＋35＝273，i＝7.故判斷框內(nèi)可填i≥7，選B. 6．20xx貴陽質檢]閱讀如圖所示的程序框圖，為使輸出的數(shù)據(jù)為31，則①處應填的表達式為(　　) A．i≤3

21、 B．i≤4 C．i≤5 D．i≤6 答案　B 解析　本題主要考查程序框圖．第一次循環(huán)，得S＝3，i＝2；第二次循環(huán)，得S＝7，i＝3；第三次循環(huán)，得S＝15，i＝4；第四次循環(huán)，得S＝31，此時滿足題意，輸出的S＝31，所以①處可填i≤4，故選B. 7．20xx重慶檢測]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出s的值為(　　) A．－7 B．－5 C．2 D．9 答案　A 解析　本題主要考查程序框圖．依題意，執(zhí)行題中的程序框圖，k＝－4<0，s＝－1(－4)＝4，k＝－4＋2＝－2；k＝－2<0，s＝4(－2)＝－8，k＝－2＋2＝0；k＝0≥0，s＝－8＋0＝－8，k

22、＝0＋1＝1；k＝1<2，s＝－8＋1＝－7，k＝1＋1＝2≥2，此時結束循環(huán)，輸出s的值為－7，選A. 8．在平面幾何中有如下結論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則＝.推廣到空間可以得到類似結論，已知正四面體P－ABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　從平面圖形類比空間圖形，從二維類比三維，如圖，設正四面體的棱長為a，E為等邊三角形ABC的中心，O為內(nèi)切球與外接球球心． 則AE＝a，DE＝a，設OA＝R，OE＝r， 則OA2＝AE2＋OE2， 即R2＝2＋2， ∴R＝a，r＝a，

23、 ∴正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比為3∶1，故正四面體P－ABC的內(nèi)切球體積V1與外接球體積V2之比等于. 9．已知a，b是兩個互相垂直的單位向量，且ca＝cb＝1，則對任意的正實數(shù)t，的最小值是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 答案　B 解析　設a＝(1,0)，b＝(0,1)，則c＝(1,1)， 代入得c＋ta＋b＝， 所以＝ ＝≥2. 10．20xx廣州模擬]已知△ABC的三個頂點A，B，C的坐標分別為(0,1)，(，0)，(0，－2)，O為坐標原點，動點P滿足||＝1，則|＋＋|的最小值是(　　) A.－1 B.－1 C.＋1 D.＋1

24、 答案　A 解析　本題主要考查向量的坐標運算，向量模的幾何意義及坐標運算公式，圓的參數(shù)方程，三角函數(shù)的恒等變換．設P(cosθ，－2＋sinθ)，則|＋＋|＝＝＝≥ ＝－1. 二、填空題 11．如果z＝為純虛數(shù)，則實數(shù)a等于________． 答案　1 解析　設z＝＝ti， 則1－ai＝－t＋ti，，a＝1. 12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S的值是________． 答案?。?－ 解析　由程序框圖可知，n＝1，S＝0；S＝cos，n＝2；S＝cos＋cos，n＝3；…；n＝20xx，S＝cos＋cos＋cos＋…＋cos＝251cos＋cos＋…＋cos＋cos＋c

25、os＋…＋cos＝2510＋＋0＋＋(－1)＋＋0＝－1－，n＝2105，輸出S. 13．20xx合肥質檢]已知等邊△ABC的邊長為2，若＝3，＝，則＝________. 答案?。? 解析　本題主要考查平面向量數(shù)量積的計算．如圖所示，＝(－)(＋)＝＝＝2－2＝4－4＝－2. 14. 如圖所示，在平面上，用一條直線截正方形的一個角，截下的是一個直角三角形，有勾股定理c2＝a2＋b2.空間中的正方體，用一平面去截正方體的一角，截下的是一個三條側棱兩兩垂直的三棱錐，若這三個兩兩垂直的側面的面積分別為S1，S2，S3，截面面積為S，類比平面中的結論有________． 答案　S2＝S＋S＋S 解析　建立從平面圖形到空間圖形的類比，在由平面幾何的性質類比推理空間立體幾何的性質時，注意平面幾何中點的性質可類比推理空間幾何中線的性質，平面幾何中線的性質可類比推理空間幾何中面的性質，平面幾何中面的性質可類比推理空間幾何中體的性質．所以三角形類比空間中的三棱錐，線段的長度類比圖形的面積，于是作出猜想：S2＝S＋S＋S.