博弈-由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識

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1、由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識一一透析一類搏弈游戲的解答過程 張一飛 由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識 ――透析一類搏弈游戲的解答過程 一、 游戲 2. 二、 從簡單入手 2. 三、 類比與聯(lián)想 6. 四、 證明 8. 五、 推廣 1.1 六、 精華 12 七、 結(jié)論 16 八、 總結(jié) 17 -1 - 由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識一一透析一類搏弈游戲的解答過程 張一飛 -2 - 由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識一一透析一類搏弈游戲的解答過程 張一飛 一、游戲 游戲A: 甲乙兩人面對若干堆石子，其中每一堆石子的數(shù)目可以任意確定。例如圖 1 所示的初始局面：共n=3堆，其中第一

2、堆的石子數(shù)ai=3,第二堆石子數(shù)=3, 第三堆石子數(shù)3=1。兩人輪流按下列規(guī)則取走一些石子，游戲的規(guī)則如下： 每一步應(yīng)取走至少一枚石子； 每一步只能從某一堆中取走部分或全部石子； 如果誰無法按規(guī)則取子，誰就是輸家。 第一堆：a1 =3 OO O 第二堆：a2=3 O OO 第三堆：3=1 O 圖1游戲的一個初始局面 游戲B： 甲乙雙方事先約定一個數(shù) m,并且每次取石子的數(shù)目不能超過 m個; 其余規(guī)則同游戲A。 我們關(guān)心的是，對于一個初始局面，究竟是先行者(甲)有必勝策略，還是 后行者(乙)有必勝策略。 下面，我們從簡單入手，先來研究研究這個游戲的一些性質(zhì)。 、

3、從簡單入手 用一個n元組(ai, a2,…,an)，來描述游戲過程中的一個局面 可以用3元組(3, 3, 1)來描述圖1所示的局面 改變這個n元組中數(shù)的順序，仍然代表同一個局面。 (3, 3, 1)和(1,3, 3),可以看作是同一個局面。 如果初始局面只有一堆石子，則甲有必勝策略。 甲可以一次把這一堆石子全部取完，這樣乙就無石子可取了。 如果初始局面有兩堆石子，而且這兩堆石子的數(shù)目相等，則乙有必勝策略。 因為有兩堆石子，所以甲無法一次取完； 如果甲在一堆中取若干石子，乙便在另一堆中取同樣數(shù)目的石子； 根據(jù)對稱性，在甲取了石子之后，乙總有石子可??； 石子總數(shù)一直在減少

4、，最后必定是甲無石子可取。 對于初始局面(1)，甲有必勝策略，而初始局面(3, 3)，乙有必勝策略。 局面的加法：(ai, a2,…,n) + (bi, b2,…,b = (ai, a2,…,a bi, b2,…,b)。 ⑶ + ⑶ + (1) = (3, 3) + (1) = (3, 3, 1)。 對于局面A, B, S，若S=A+B，貝U稱局面S可以分解為“子局面” A和Be 局面(3, 3, 1)可以分解為(3, 3)和(1)e 如果初始局面可以分成兩個相同的“子局面”，則乙有必勝策略。 設(shè)初始局面S=A+A，想象有兩個桌子，每個桌子上放一個 A局面； 若甲在一個桌子中取石

5、子，則乙在另一個桌子中對稱的取石子； 根據(jù)對稱性，在甲取了石子之后，乙總有石子可?。? 石子總數(shù)一直在減少，最后必定是甲無石子可取。 初始局面(2, 2, 5, 5, 5, 5, 7, 7),可以分成兩個(2, 5, 5, 7),故乙有必勝策略。 對于局面S,若先行者有必勝策略，則稱“ S勝”。 對于局面S,若后行者有必勝策略，則稱“ S負(fù)”。 若 A=(1)，B=(3, 3)，C=(2, 2, 5, 5, 5, 5, 7, 7),則 A 勝，B 負(fù)，C 負(fù)。 我們所關(guān)心的，就是如何判斷局面的勝負(fù)。 如果局面S勝，則必存在取子的方法 S-T ,且T負(fù)。 如果局面S負(fù)，則對于任意

6、取子方法 S—T，有T勝。 設(shè)初始局面S可以分解成兩個子局面 A和B (分解理論)。 若A和B 一勝一負(fù)，則S勝。 不妨設(shè)A勝B負(fù)； 想象有兩個桌子A和B，桌子上分別放著A局面和B局面； 因為A勝，所以甲可以保證取桌子 A上的最后一個石子； 與此同時，甲還可以保證在桌子 B中走第一步的是乙； 因為B負(fù)，所以甲還可以保證取桌子 B中的最后一個石子； 綜上所述，甲可以保證兩個桌子上的最后一個石子都由自己取得。 若A負(fù)B負(fù)，貝U S負(fù)。 無論甲先從A中取，還是先從B中取，都會變成一勝一負(fù)的局面； 因此，乙面臨的局面總是“勝”局面，故甲面臨的 S是“負(fù)”局面 若B負(fù)，貝U S的勝

7、負(fù)情況與A的勝負(fù)情況相同。 若A勝B勝，則有時S勝，有時S負(fù)。 如果S=A+C+C，則S的勝負(fù)情況與A相同。 令B=C+C，則S=A+B且B負(fù)，故S的勝負(fù)情況與A相同。 圖1所示的初始局面(3, 3, 1)=⑶+⑶+ (1)，與局面⑴的勝負(fù)情況相同。 圖1中所示的初始局面(3, 3, 1)是“勝”局面，甲有必勝策略。 稱一個石子也沒有的局面為“空局面”。 空局面是“負(fù)”局面。 如果局面S中，存在兩堆石子，它們的數(shù)目相等。用T表示從S中把這兩堆 石子拿掉之后的局面，則稱“ S可以簡化為T”。 局面(2, 2, 2, 7, 9, 9可以簡化為(2, 2, 2, 7),還可以進(jìn)一步

8、簡化為(2, 7)。 一個局面的勝負(fù)情況，與其簡化后的局面相同。 三個局面(2, 2, 2, 7, 9, 9) (2, 2, 2, 7)和(2, 7)，勝負(fù)情況都相同。 不能簡化的局面稱為“最簡局面”。 局面(2, 7)是最簡局面。 最簡局面中不會有兩堆相同的石子，故可以用一個集合來表示最簡局面。 最簡局面(2, 7)可以用集合｛2, 7｝來表示。 如果只關(guān)心局面的勝負(fù)，則一個局面可以用一個集合來描述。 圖1所示的局面(3, 3, 1)，可以用集合｛1｝來描述。 如果用搜索（搏弈樹）的方法來解這個游戲，則采用集合來表示一個局面, 比采用多元組來表示一個局面，搜索量將有所減少，

9、但時間復(fù)雜度仍然很高。 能不能進(jìn)一步簡化一個局面的表示呢？ 三、類比與聯(lián)想 二進(jìn)制加法 1 + 0 = 1； 0 + 1 = 1； 0 + 0 = 0； 1 + 1 = 0。 二進(jìn)制的加法VS局面的加法 大寫字母AB表示局面，小寫字母ab表示二進(jìn)制 若A和B相同，貝U A+B負(fù)；若a和b相等，貝U a+b=0 若A勝B負(fù)，貝U A+B勝；若a=1且b=0，則a+b=1 若B勝A負(fù)，貝U A+B勝；若b=1且a=0,則a+b=1 若A負(fù)B負(fù)，則A+B負(fù)；若a=0且b=0，則a+b=0 如果用二進(jìn)制1和0，分別表示一個局面的勝或負(fù) 局面的加法，與二進(jìn)制的加法有很多類似之處。

10、 若A勝B勝，貝U A+B有時勝，有時負(fù)；若a=1且b=1，則a+b=0。 本文的“二進(jìn)制加法”，是指不進(jìn)位的二進(jìn)制加法，也可以理解為邏輯里的“異或”操作 二進(jìn)制數(shù)的加法：對二進(jìn)制數(shù)的每一位，都采用二進(jìn)制的加法。 0011 1010 + 1010 + 1010 1001 0000 ， 0 二進(jìn)制數(shù)的加法VS局面的加法 大寫字母AB表示局面，小寫字母ab表示二進(jìn)制數(shù) 若A和B相同，貝U A+B負(fù)；若a和b相等，則a+b為0 若A勝B負(fù)，貝U A+B勝；若a^0且b=0，則a+b^0 若B勝A負(fù)，貝U A+B勝；若0且a=0，則a+b^0 若A負(fù)B負(fù)，則A+B負(fù)；若a=0

11、且b=0，則a+b=0 若A勝B勝，則A+B有時勝，有時負(fù) 若a^0且0,則有時a+bM 0，有時a+b=0 如果用二進(jìn)制數(shù)s來表示一個局面S的勝或負(fù)，S勝則sm0，S負(fù)則s=0 局面的加法，與二進(jìn)制數(shù)的加法，性質(zhì)完全相同。 能否用一個二進(jìn)制數(shù)，來表示一個局面呢？ 用符號#S，表示局面S所對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)。 如果局面S只有一堆石子，則用這一堆石子數(shù)目所對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)來表示 S #( 5)=5=101 o 若局面 S=A+B，貝U #S=#A+#B。 局面(3, 3)=(3)+(3)，所以 #(3, 3)=#(3)+#(3)=11+11=0。 局面(3, 3, 1)=(3,

12、3)+(1),所以#(3, 3, 1)=#(3, 3)+#(1)=0+1=1。 函數(shù)f：若局面S只有一堆石子，設(shè) S={ai},則f(ai)=#S，即f(ai)=#(ai)。 對于游戲A來說，#(5)=101，所以f(5)=101。 對于游戲A來說，f(x)就是x所對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)。換句話說，f(x)=x。 設(shè)局面 S=(ai, a2,…,an)，即 S=(ai)+(a2)+ …+(an)，則#S=f(ai)+f(a2)+ …+f(an)。 #(3, 3, 1)=#( (3)+(3)+(1))=# (3)+# (3)+#(1)=f(3)+f(3)+f(1)=11+11+1=1。 對于

13、局面S,若#S=0,則S負(fù)；若#Sm0,則S勝。 四、證明 二進(jìn)制數(shù)a, b,若a + b = 0,當(dāng)且僅當(dāng)a = b。 1011 1011 1011 + 1001 -8 - 由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識一一透析一類搏弈游戲的解答過程 張一飛 -# - 由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識一一透析一類搏弈游戲的解答過程 張一飛 0000 0010 二進(jìn)制數(shù) a, b, s,若 a + b = s,貝U a = b + s + 1001 0011 —進(jìn)制數(shù)ai+a2+…+3n=pH0,則必存在k，使得ak+p

14、 設(shè)p的最高位是第q位； 至少存在一個k，使得ak的第q位也是1; ak+p的第q位為0,所以ak+p

15、n)，則 T=(a1 — a2,…,an)； #S=f@1)+#(a2,…內(nèi))=0，故 伽)=#@,…ad; #T=f(a1 -()+#(a2,…an)=f(a 1 -()+f(a 1)； x>0—f(a1)工 f(a1 —) — (a1)+f(a1 ―)工 0—#T m 0。 00101 a1 00101 a1 x工a1 10011 a2 10111 a3 00101 a2+a3+a4=a1 a1 + 00001 a4 + + 00000 p=0 00000 p=0 pM 0 若#SM 0,則先行者必然存在一種取子方法 S-T

16、，且#T=0。 設(shè) S=(ai, a2,…,ai), p=#S=f(ai)+f(a2)+…+f(an)； 因為pH 0,所以必然存在k,使得f(ak)+p

17、0111 34 + + 00110 pH 0 00110 p p=0 若S是空局面，則#s=o。 個人推導(dǎo)過程： p+f(ak)

18、對于游戲A來說，任意的一個初始局面 S=(a1, a2,…,an),我們把這里的a 都看成是二進(jìn)制數(shù)。令#S=ai+a2+…+an。若#Sh0,則先行者(甲)有必勝策略； 否則#S=0,這時后行者(乙)有必勝策略。 下面把這個結(jié)論推廣到游戲B。 函數(shù)f： f(x)=x mod (m+1);把函數(shù)f的值看作是二進(jìn)制數(shù)。 對于任意初始局面 S=(ai, a2,…,an),令#S=f(ai)+f(a2)+…+f(an)。 若#Sm 0,則先行者(甲)有必勝策略；否則后行者(乙)有必勝策略。 類似游戲A的證明。 游戲B的解法與游戲A十分類似。這是因為兩個游戲的規(guī)則相當(dāng)類似 五、推廣 游戲

19、C: 甲乙兩人面對若干排石子，其中每一排石子的數(shù)目可以任意確定。例如圖 2 所示的初始局面：共n=3排，其中第一排的石子數(shù)ai=7,第二排石子數(shù)a2=3, 第三排石子數(shù)3=3。兩人輪流按下列規(guī)則取走一些石子，游戲的規(guī)則如下： 每一步必須從某一排中取走兩枚石子； 這兩枚石子必須是緊緊挨著的; 如果誰無法按規(guī)則取子，誰就是輸家。 1 2 3 4 5 6 7 第一排，a1=7 OOOOOOO 第二排，a2=3 OOO 第三排，as=3 OOO 圖2游戲的一個初始局面 如果甲第一步選擇取第一排 34這兩枚石子，之后無論是甲還是乙，都不能 一次取走25這兩枚石子。換句話說，如果取了

20、 34這兩枚石子，等價于將第 一排分成了兩排，這兩排分別有 2個和3個石子。 我們只關(guān)心，對于一個初始局面，究竟是先行者(甲)有必勝策略，還是后 行者(乙)有必勝策略。 游戲C的規(guī)則和游戲A并不那么相似。但是，前面所列出的，游戲 A的關(guān) 鍵性質(zhì)，游戲C卻都具有。比如說，圖2所示的初始局面可以用三元組(7, 3, 3) 來表示，它的勝負(fù)情況與初始局面(7)相同。 游戲A的解答是由它的性質(zhì)得出來的。因此，我們猜想游戲 C是否也能用 類似的方法來解。 六、精華 回憶游戲A的結(jié)論，以及它在游戲B上的推廣，對于游戲C，我們的想法是 設(shè)計一個函數(shù)f，把函數(shù)f的值看作是二進(jìn)制數(shù)。對于任意一個初始

21、局面 S， 設(shè) S=(ai,電 …,a，令#S=f(a”+f(a2)+…+f(an)。若#S^0,則先行者(甲)有 必勝策略；否則#S=0,這時后行者(乙)有必勝策略。 游戲A中，f(x) = x。 游戲 B 中，f(x) = x mod (m + 1)。 游戲C中，f(x) = ?。 關(guān)鍵就在于如何構(gòu)造一個滿足要求的函數(shù) f 回憶關(guān)于游戲A、B的結(jié)論的證明過程 函數(shù)f是否滿足要求，關(guān)鍵在于#S是否滿足下面的條件。 若#S=0,則無論先行者如何取子 S-T，都有#T工0。 若#Sm0,則先行者必然存在一種取子方法 S-T，且#T=0。 用符號$(x)，表示局面(X)的下一

22、步所有可能出現(xiàn)的局面的集合。 在游戲 A 中，$(3)={(2), (1), (0)}。 在游戲 B 中，若 m=4,則 $(9)={(8), (7), (6), (5)}，$(2)={(1), (0)}。 在游戲 C 中，$(7)={(5), (1,4), (2, 3)}。 定義集合 g(x):設(shè)$(x)={Si, S2,…,S，則 g(x)={#Si, #S2,…,#身。 在游戲 A 中，$(3)={(2), (1), (0)}，故 g(3)={#(2), #(1), #(0)}={10, 01,00} 在游戲 B 中，若 m=4，則 g(9)={#(8), #(7), #(6)

23、, #(5)}，g(2)={#(1), #(0)} 在游戲 C 中，g(7)={#(5), #(1,4), #(2, 3)}。 J 0 0 0 0 0 (5) 匚匚匚匚匚匚匚 (1,4) (7) 0 0 ::0 0 0 (2, 3) $(7)={(5), (1,4), (2, 3)} g(7)={#(5), #(1,4), #(2, 3)} 若#S=0，則無論先行者如何取子 S-T，都有#T工0。 設(shè)S=(a1,也 …,初，由于先行者只能選擇一堆石子，不妨設(shè)選擇了 a1； 因為#S=f(a1)+#@,…,0=0,所以 f(a1)=#(a2,…,a; 先行者可能將局面 佝)變?yōu)?/p>

24、局面(卜，…,b)，#(》，???, b)屬于集合g(a”； 設(shè)這時的局面為T,我們有T=(b1,…,b)+(a2,…,n)； #T=#(b1,…,m)+#(a2,…,n)=#(b1,…,m)+f(a1)； 如果要求#T工0,則必然有#(b1,…,b)工f(a1); 因此，函數(shù)f(ai)的值，不屬于集合g(ai)。(充要) -14 - 由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識一一透析一類搏弈游戲的解答過程 張一飛 OOiOi f(ai) 00101 f(a1) #(bi, b2,…,bm) € g(ai) iOOii f(a2) iOiii f(a3) 00101

25、 f(a1) f(a1) + OOOOi f(a4) + + OOOOO p=0 00000 p=0 pH 0 若#SM 0,則先行者必然存在一種取子方法 S-T，且#T=0。 設(shè) S=(ai, a2,…,&), p=#S=f(ai)+f(a2)+…+f(an); 因為pH 0,所以必然存在k,使得f(ak)+p

26、T,我們有T=(bi,…,b)+(a2,…,a #T=#(bi,…,m)+#(a2,…,a=#(bi,…,m)+x ； 如果要使#T=0,相當(dāng)于要找到(bi,…,m),使得#(bi, - , b)等于X； 如果可以保證x屬于集合g(ai),則肯定可以找到相應(yīng)的的(bi,…,m)； 因為xvf(ai)，所以,x屬于集合{0, i, …,f—}; 如果集合 g(ai)包含集合{0, 1, …,f—},則x 定屬于g(a1)。(充分) 00101 f(ai) 00101 f(ai) #(bi, b2,…,bm)=x 10011 f(a2) 00111 f

27、(a3) 00011 x=f(ai)+p

28、(n)中的最小數(shù)。 設(shè)局面S=(ai, a2,…,an), #S=f(ai)+f(a2)+…+f(an)，采用二進(jìn)制數(shù)的加法 若#S=0，則S負(fù)；若#Sm0,則S勝。 游戲C的f值： g(0)={}, G(0)={0, 1, ?，…f(0)=0; g(1)={}, G(1)={0, 1, ,}(1)=0; g(2)={#(0)}={f(0)}={0} ,G(2)={1,2, …f(2)=1 ; g(3)={#(1)}={f(1)}={0} ,G(2)={1,2, ,}3)=1 ; g(4)={#(2), #(1, 1)}={f(2), f(1)+f(1)

29、}={1,0} ，G(4)={2, 3, …}(4)=2 ; g(5)={#(3), #(1,2)}={f(3), f(1)+f(2)}={1, 1} ，G(5)={0, 2, 3,，…f})=0; g(6)={#(4), #(1,4), #(2, 2)}={2, 1,0}，G(6)={3, 4, …}6)=3; g(7)={#(4), #(1,4), #(2, 3)}={2, 2, 0}，G(7)={1,3, 4,，…f(7)=1 ; 圖 2 所示的局面 S=(7, 3, 3)，有#S=f(7)+f(3)+f(3)=1+1+1=1，故 S 勝。 游戲 C 的初始局面 S=(3, 4

30、, 6),有#S=1+2+3=01+10+11=0,故 S 負(fù)。 七、結(jié)論 此類搏弈游戲的一般性解法： 用一個n兀組(◎, a2,…,an),來描述游戲過程中的一個局面。 用符號#S,表示局面S所對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)。 用符號$(x)，表示局面(X)的下一步所有可能出現(xiàn)的局面的集合。 定義集合 g(x):設(shè)$(x)={S 1, S2,…,S，則 g(x)={#Si, #S2,…,#S。 令非負(fù)整數(shù)集為全集，集合 G(x)表示集合g(x)的補(bǔ)集。 定義函數(shù)f(n): f(n)=min{G(n)}，即f(n)等于集合G(n)中的最小數(shù)。 設(shè)局面S=(ai, az,…,an)，#S=f(a

31、i)+f(a2)+…+f(an)，采用二進(jìn)制數(shù)的加法 若#Sm 0,則先行者有必勝策略；若 #S=0,則后行者有必勝策略。 適用范圍和限制條件: 甲乙兩人取石子游戲及其類似的游戲; 每一步只能對某一堆石子進(jìn)行操作； 每一步操作的限制，只與這堆石子的數(shù)目或一些常數(shù)有關(guān); 操作在有限步內(nèi)終止，并不會出現(xiàn)循環(huán)； 誰無法繼續(xù)操作，誰就是輸家。 游戲 D (POI 200, Stripes): 一排石子有L個，甲乙兩人輪流從中取“緊緊挨著的” A或B或C枚石子。 誰不能取了，誰就是輸家。已知 A, B, C, L，問甲乙二人誰有必勝策略。 有了前面的結(jié)論，這個游戲就難不倒我們了 八

32、、總結(jié) 1. 從算法優(yōu)化的角度 取石子游戲?qū)儆谝活惖湫偷牟挠螒?。窮舉所有的局面，理論上可以求得最 優(yōu)策略。但窮舉的時空復(fù)雜度太高，本文所提出的解法，有效的控制了算法的時 空復(fù)雜度，可以看作是對窮舉法的一個優(yōu)化。 優(yōu)化算法的過程，可以看作是在優(yōu)化局面的表示。首先，我們用一個 n元組 表示一個局面，這是很直觀很容易想到的。因為我們只關(guān)心局面的勝負(fù)，于是得 到了第一個性質(zhì)：這個n元組是無序的。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，n元組中如果出現(xiàn)兩 個相同的數(shù)字，則把它們消去，不影響局面的勝負(fù)。于是，我們改用集合來表示 一個局面。最后，通過與二進(jìn)制數(shù)的對比，又簡化到用一個數(shù)來表示一個局面。 優(yōu)化局面的表示，使

33、得搜索量大大減少。那么，減少的搜索量都到哪里去了 呢？舉個例子，對于游戲 A中的5個局面：(3, 3, 1), (1,3, 3), (5, 5, 1), (2, 3): a. 采用n元組：這5個局面互不相同； b. 采用無序n元組：局面(3, 3, 1)和(1,3, 3)相同； c. 采用集合：局面(3, 3, 1), (1,3, 3), (5, 5, 1都相同，可以用集合｛1｝表示； d. 采用二進(jìn)制數(shù)：4個局面所對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)都是1,故都相同。 算法的優(yōu)化，本質(zhì)上是 避免窮舉相同的局面，即避免重復(fù)搜索。而優(yōu)化的關(guān) 鍵，就在于“相同局面”的定義。 “相同局面”的定義，必須能夠反

34、映游戲的性質(zhì)。我們沒有簡單的按照局面 的勝負(fù)，來對局面歸類，就是這個原因。 2. 從算法構(gòu)造的角度 人們認(rèn)識事物的過程中，開始只是看到了各個事物的現(xiàn)象。這就是認(rèn)識的感 性階段。在這個階段中，還不能作出合乎邏輯的結(jié)論。 隨著研究的深入，這些 感覺和印象的東西反復(fù)了多次，于是在人們的腦子里生起了一個認(rèn)識過程中的突 變，最后產(chǎn)生出合乎邏輯的結(jié)論。這就是認(rèn)識的理性階段。 人們認(rèn)識事物的過程，就是由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識的過程。具體到解這 類游戲，就是要從簡單入手。當(dāng)我們遇到了一個復(fù)雜的問題，或許人人都知道從 簡單入手，但卻并不是每個人都能從中得到一般性的規(guī)律。 那么，我們究竟是如 何由淺入深

35、的呢？ 兩堆數(shù)目相等的石子一一這是個很簡單的局面。我們就由此入手，將一堆石 子與一個子局面相類比，并得出了兩個子局面相等時的結(jié)論。 在此基礎(chǔ)上，我們 研究了局面的勝負(fù)和其子局面的關(guān)系，并得出結(jié)論：可以用集合來描述一個局面。 但我們并沒有停留在這一步，而是將局面的分解與二進(jìn)制數(shù)的加法相類比， 從而 發(fā)現(xiàn)了局面與二進(jìn)制數(shù)之間的關(guān)系。我們稱這個過程為“ 由此及彼” 通過分析“用集合來表示一個局面”的結(jié)論，我發(fā)現(xiàn)這實質(zhì)上是簡化了局面 的表示，從而聯(lián)想到能否進(jìn)一步化簡，比如說用一個數(shù)來表示。在解游戲 C時， 我們并不在意它與游戲 A的規(guī)則有多大的區(qū)別，而是注意到它與游戲 A有著相 似的性質(zhì)，從而想到用類似的方法解游戲 C。我們稱這個過程為“由表及里” 在解游戲A和B的過程中，我們積累了很多經(jīng)驗。但在解游戲 C時，我們 卻僅僅提到了解游戲A和B的精華：構(gòu)造一個函數(shù)f。這就是“去粗取精” 將局面與二進(jìn)制數(shù)相類比，我們先試著把局面的勝負(fù)直接與二進(jìn)制的 1和0 相類比。發(fā)現(xiàn)不妥后，再將其改為與二進(jìn)制數(shù)來類比。這一步叫“ 去偽存真” “由此及彼、由表及里、去粗取精、去偽存真” ，這就是由感性認(rèn)識上升 到理性認(rèn)識的關(guān)鍵。 -19 -