7、
考點(diǎn)一 [36] 功的正負(fù)判斷方法
一、根據(jù)夾角判斷
力與位移的夾角
在推力F作用下，斜面與物塊一起水平運(yùn)動(dòng)
(1)G對(duì)m不做功
(2)FN對(duì)m做正功
(3)Ff對(duì)m做負(fù)功
力與瞬時(shí)速度的夾角
衛(wèi)星由位置1到2的過(guò)程中，F(xiàn)與v的夾角大于90做負(fù)功
二、從能的轉(zhuǎn)化角度來(lái)進(jìn)行判斷
圖5－1－2
此法常用于判斷相互聯(lián)系的兩個(gè)物體之間的相互作用力做功的情況．
例如車(chē)M靜止在光滑水平軌道上，球m用細(xì)線懸掛在車(chē)上，由圖5－1－2中的位置無(wú)初速地釋放，則可判斷在球下擺過(guò)程中繩的拉力對(duì)車(chē)做正功．因?yàn)槔K的拉力使車(chē)的動(dòng)能增加了．又因?yàn)镸和m構(gòu)成的系統(tǒng)的機(jī)械能是守恒的，M增加的機(jī)械
8、能等于m減少的機(jī)械能，所以繩的拉力一定對(duì)球m做負(fù)功．
——————[1個(gè)示范例]——————
圖5－1－3
(2014貴陽(yáng)一中檢測(cè))人造地球衛(wèi)星在橢圓軌道上運(yùn)行，由圖5－1－3中的a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過(guò)程中( )
A．萬(wàn)有引力對(duì)衛(wèi)星做正功
B．萬(wàn)有引力對(duì)衛(wèi)星做負(fù)功
C．萬(wàn)有引力對(duì)衛(wèi)星先做正功，再做負(fù)功
D．萬(wàn)有引力對(duì)衛(wèi)星一直不做功
【解析】 由于圖中萬(wàn)有引力與速度方向夾角始終小于90，故在此過(guò)程中萬(wàn)有引力對(duì)衛(wèi)星做正功，A正確．
【答案】 A
——————[1個(gè)預(yù)測(cè)例]——————
圖5－1－4
(多選)如圖5－1－4所示，重球m用一條不可伸長(zhǎng)的
9、輕質(zhì)細(xì)線拴住后懸于O點(diǎn)，重球置于一個(gè)斜面不光滑的斜劈M上，用水平力F向左推動(dòng)斜劈M在光滑水平桌面上由位置甲勻速向左移動(dòng)到位置乙，在此過(guò)程中，正確的說(shuō)法是( )
A．M、m間的摩擦力對(duì)m不做功
B．M、m間的摩擦力對(duì)m做負(fù)功
C．F對(duì)M所做的功與m對(duì)M所做的功的絕對(duì)值相等
D．M、m間的彈力對(duì)m做正功
【審題指導(dǎo)】 審題時(shí)注意該題中的幾個(gè)關(guān)鍵條件：
(1)斜面不光滑．
(2)光滑水平桌面．
(3)勻速．
【解析】 小球在向左擺動(dòng)過(guò)程中，M對(duì)m的摩擦力方向與小球m的位移方向間夾角小于90，故摩擦力對(duì)m做正功，A、B均錯(cuò)誤；因M勻速向左運(yùn)動(dòng)，地面對(duì)M的支持力和M的重力不做功，一定
10、有F對(duì)M所做的功與m對(duì)M所做的功合功為零，C正確；M對(duì)m的彈力方向與m位移方向夾角小于90，故對(duì)m做正功，D項(xiàng)正確．
【答案】 CD
(1)作用力和反作用力雖然等大反向，但由于其分別作用在兩個(gè)物體上，產(chǎn)生的位移效果無(wú)必然聯(lián)系，故作用力和反作用力的功不一定一正一負(fù)，大小也不一定相等．
(2)摩擦力并非只做負(fù)功，可以做正功、負(fù)功或不做功．
考點(diǎn)二 [37] 功的計(jì)算
一、恒力做的功：直接用W＝Flcos α計(jì)算．
二、合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功．
方法二：先求各個(gè)力做的功W1、W2、W2、……，再應(yīng)用W合＝W1＋W2＋W3＋
11、……求合外力做的功．
三、變力做的功
1．應(yīng)用動(dòng)能定理求解．
2．應(yīng)用W＝Pt求解，此法適用于變力的功率P不變．
3．將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功，此法適用于力的大小不變，方向與運(yùn)動(dòng)方向相同或相反，或力的方向不變，大小隨位移均勻變化的情況．
——————[1個(gè)示范例]——————
如圖5－1－5所示，建筑工人通過(guò)滑輪裝置將一質(zhì)量是100 kg的料車(chē)沿30角的斜面由底端勻速地拉到頂端，斜面長(zhǎng)L是4 m，若不計(jì)滑輪的質(zhì)量和各處的摩擦力，g
取10 N/kg，求這一過(guò)程中
圖5－1－5
(1)人拉繩子的力做的功；
(2)物體的重力做的功；
(3)物體受到的合力對(duì)物
12、體做的總功．
【解析】 (1)工人拉繩子的力：
F＝mgsin θ
工人將料車(chē)?yán)叫泵骓敹藭r(shí)，拉繩子的長(zhǎng)度：l＝2L，根據(jù)公式W＝Flcos α，得
W1＝mgsin θ2L＝2 000 J.
(2)重力做功：
W2＝－mgh＝－mgLsin θ＝－2 000 J.
(3)由于料車(chē)在斜面上勻速運(yùn)動(dòng)，則料車(chē)所受的合力為0，故W合＝0.
【答案】 (1)2 000 J (2)－2 000 J (3)0
——————[1個(gè)預(yù)測(cè)例]——————
圖5－1－6
人在A點(diǎn)拉著繩通過(guò)一定滑輪吊起質(zhì)量m＝50 kg的物體，如圖5－1－6所示，開(kāi)始時(shí)繩與水平方向的夾角為60.當(dāng)人勻速
13、提起重物由A點(diǎn)沿水平方向運(yùn)動(dòng)l＝2 m而到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，繩與水平方向成30角．則人對(duì)繩的拉力做了多少功？
【審題指導(dǎo)】 解答該題應(yīng)注意：
(1)人對(duì)繩的拉力方向時(shí)刻變化，該力一定是變力．
(2)求變力的功要注意應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想，求人拉繩的功可轉(zhuǎn)化為繩對(duì)物體拉力的功．
【解析】 人對(duì)繩的拉力的功與繩對(duì)物體的拉力的功是相同的，而由于勻速提升物體，故物體處于平衡狀態(tài)，可知繩上拉力F＝mg.而重物上升的高度h等于右側(cè)繩子的伸長(zhǎng)量Δl，由幾何關(guān)系易得：h(cot 30－cot 60)＝l，Δl＝－，解得Δl＝1.46 m．人對(duì)繩子做的功W＝mgΔl＝5001.46 J＝730 J.
【答案】 730
14、 J
公式W＝Flcos α中位移“l(fā)”的意義：
(1)力對(duì)平動(dòng)的物體(可看作質(zhì)點(diǎn))做功，“l(fā)”為物體上每一點(diǎn)的位移(即受力質(zhì)點(diǎn)對(duì)地的位移)．
(2)若受力物體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)或形變，“l(fā)”應(yīng)取作用點(diǎn)的位移．
(3)“l(fā)”的取值一般以大地為參考系．
考點(diǎn)三 [38] 功率的計(jì)算
一、平均功率的計(jì)算方法
1．利用＝.
2．利用＝Fcos θ，其中為物體運(yùn)動(dòng)的平均速度，F(xiàn)為恒力．
二、瞬時(shí)功率的計(jì)算方法
1．利用公式P＝Fvcos θ，其中v為t時(shí)刻的瞬時(shí)速度．
2．利用公式P＝FvF，其中vF為物體的速度v在力F方向上的分速度．
3．利用公式P＝Fv
15、v，其中Fv為物體受的外力F在速度v方向上的分力．
——————[1個(gè)示范例]——————
(2012江蘇高考)如圖5－1－7所示，細(xì)線的一端固定于O點(diǎn)，另一端系一小球．在水平拉力作用下，小球以恒定速率在豎直平面內(nèi)由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)．在此過(guò)程中拉力的瞬時(shí)功率變化情況是( )
圖5－1－7
A．逐漸增大 B．逐漸減小
C．先增大，后減小 D．先減小，后增大
【解析】 小球速率恒定，由動(dòng)能定理知：拉力做的功與克服重力做的功始終相等，將小球的速度分解，可發(fā)現(xiàn)小球在豎直方向分速度逐漸增大，重力的瞬時(shí)功率也逐漸增大，則拉力的瞬時(shí)功率也逐漸增大，A項(xiàng)正確．
【答案】 A
16、
——————[1個(gè)預(yù)測(cè)例]——————
甲 乙
圖5－1－8
如圖5－1－8甲所示，滑輪質(zhì)量、摩擦均不計(jì)，質(zhì)量為2 kg的物體在F作用下由靜止開(kāi)始向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，其速度隨時(shí)間的變化關(guān)系如圖乙所示，g取10 m/s2.
求：(1)4 s末力F的瞬時(shí)功率；
(2)4 s內(nèi)F做功的平均功率．
【審題指導(dǎo)】 根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)情況求出物體的加速度，由牛頓第二定律求出拉力F的大小，再由功和功率的公式進(jìn)行計(jì)算．
【解析】 (1)由圖象可得，物體的加速度
a＝ m/s2＝0.5 m/s2
由牛頓第二定律2F－mg＝ma，
解得F＝10.5 N
4 s末F的瞬時(shí)功率為
17、：
P＝Fv＝10.522 W＝42 W.
(2)4 s內(nèi)的平均功率
＝F ＝10.52 W＝21 W.
【答案】 (1)42 W (2)21 W
求力做功的功率時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題
(1)首先要明確所求功率是平均功率還是瞬時(shí)功率，對(duì)應(yīng)于某一過(guò)程的功率為平均功率，對(duì)應(yīng)于某一時(shí)刻的功率為瞬時(shí)功率．
(2)求功率大小時(shí)要注意F與v方向間的夾角α對(duì)結(jié)果的影響．
(3)用P＝Fcos α求平均功率時(shí)，應(yīng)容易求得，如求勻變速直線運(yùn)動(dòng)中某力的平均功率．
機(jī)車(chē)的兩種啟動(dòng)模型的分析
一、模型綜述
物體在牽引力(受功率和速度制約)作用下，從靜止開(kāi)始克服一定的阻力，
18、加速度不變或變化，最終加速度等于零，速度達(dá)到最大值．
二、兩種模型的比較
1．兩種啟動(dòng)方式的比較
兩種模型
以恒定功率啟動(dòng)
以恒定加速度啟動(dòng)
P－t圖和v－t圖
OA段
過(guò)程分析
v↑?F＝↓?a＝↓
a＝不變?F不變P＝Fv↑直到P額＝Fv1
運(yùn)動(dòng)性質(zhì)
加速度減小的加速直線運(yùn)動(dòng)
勻加速直線運(yùn)動(dòng)，維持時(shí)間t0＝
AB
段
過(guò)程分析
F＝f?a＝0
?f＝
v↑?F＝↓
?a＝↓
運(yùn)動(dòng)性質(zhì)
以vm做勻速直線運(yùn)動(dòng)
加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)
BC段
無(wú)
F＝f?a?0?
以vm＝勻速運(yùn)動(dòng)
2.三個(gè)重要關(guān)系式
(1)無(wú)論哪種啟動(dòng)過(guò)程，機(jī)車(chē)的
19、最大速度都等于其勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，即vm＝＝(式中Fmin為最小牽引力，其值等于阻力f)．
(2)機(jī)車(chē)以恒定加速度啟動(dòng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，勻加速過(guò)程結(jié)束時(shí)，功率最大，速度不是最大，即v＝
20、
(2)要保持汽車(chē)和車(chē)廂相對(duì)靜止，就應(yīng)使車(chē)廂在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離地面．考慮臨界情況為車(chē)廂剛好未脫離地面，此時(shí)車(chē)廂受到的力為車(chē)廂重力和繩索對(duì)車(chē)廂的拉力FT，設(shè)此時(shí)車(chē)廂的最大加速度為a，則有：
水平方向：FTcos θ＝ma(2分)
豎直方向：FTsin θ＝mg(2分)
由上述兩式得：a＝gcot θ(1分)
(3)因?yàn)槠?chē)做勻加速運(yùn)動(dòng)，所以F′－Ff＝(M＋m)a(2分)
因Ff＝μ(m＋M)g(用隔離法同樣可得)(1分)
則F′＝(μ＋cot θ)(M＋m)g(1分)
因?yàn)槠?chē)達(dá)到勻加速運(yùn)動(dòng)的最大速度時(shí)，汽車(chē)的功率恰好達(dá)到額定功率，則有P額＝F′va(1分)
由題意知，汽
21、車(chē)一開(kāi)始就做加速度最大的勻加速運(yùn)動(dòng)，勻加速運(yùn)動(dòng)的最大速度為va＝at(1分)
則汽車(chē)以最大加速度行駛的時(shí)間為：
t＝(1分)
【答案】 (1) (2)gcot θ
(3)
圖5－1－10
一輛汽車(chē)在平直的公路上以某一初速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持恒定的牽引功率，其加速度a和速度的倒數(shù)(1/v)圖象如圖5－1－10所示．若已知汽車(chē)的質(zhì)量，則根據(jù)圖象所給的信息，不能求出的物理量是( )
A．汽車(chē)的功率
B．汽車(chē)行駛的最大速度
C．汽車(chē)所受到的阻力
D．汽車(chē)運(yùn)動(dòng)到最大速度所需的時(shí)間
【解析】 由P＝Fv和F－Ff＝ma得出：a＝－，由圖象可求出圖線斜率k，則
22、k＝，可求出汽車(chē)的功率P，由＝0時(shí)，a＝－2 m/s2，得：－2＝－可求出汽車(chē)所受阻力Ff，再由P＝Ffvm可求出汽車(chē)運(yùn)動(dòng)的最大速度vm，但汽車(chē)做變加速直線運(yùn)動(dòng)，無(wú)法求出汽車(chē)運(yùn)動(dòng)到最大速度的時(shí)間，故選D.
【答案】 D
分析機(jī)車(chē)啟動(dòng)問(wèn)題時(shí)的注意事項(xiàng)
(1)機(jī)車(chē)啟動(dòng)的方式不同，機(jī)車(chē)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律就不同，因此機(jī)車(chē)啟動(dòng)時(shí)，其功率、速度、加速度、牽引力等物理量的變化規(guī)律也不相同，分析圖象時(shí)應(yīng)注意坐標(biāo)軸的意義及圖象變化所描述的規(guī)律．
(2)恒定功率下的加速一定不是勻加速，這種加速過(guò)程發(fā)動(dòng)機(jī)做的功可用W＝Pt計(jì)算，不能用W＝Fl計(jì)算(因?yàn)镕是變力)．
(3)以恒定牽引力加速時(shí)的功率
23、一定不恒定，這種加速過(guò)程發(fā)動(dòng)機(jī)做的功常用W＝Fl計(jì)算，不能用W＝Pt計(jì)算(因?yàn)楣β蔖是變化的).
⊙功、功率的分析
1．物體在水平拉力F作用下，沿x軸方向由坐標(biāo)原點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，設(shè)拉力F隨x的變化分別如圖5－1－11甲、乙、丙所示，其中圖甲為一半圓圖形，對(duì)應(yīng)拉力做功分別為W甲、W乙、W丙，則以下說(shuō)法正確的是( )
甲 丙 乙
圖5－1－11
A．W甲>W乙>W丙 B．W甲>W乙＝W丙
C．W甲＝W乙＝W丙 D．無(wú)法比較它們的大小
【解析】 拉力F為變力，其對(duì)物體做的功一定等于F－x圖線與x軸所圍的面積，由圖可以看出，W甲＝Fmx0，W
24、乙＝Fmx0，W丙＝Fmx0，所以W甲>W乙＝W丙，B正確．
【答案】 B
2.
圖5－1－12
兩個(gè)完全相同的小球A、B，在某一高度處以相同大小的初速度v0分別沿水平方向和豎直方向拋出，如圖5－1－12，下列說(shuō)法正確的是( )
A．兩小球落地時(shí)速度相同
B．兩小球落地時(shí)，重力的瞬時(shí)功率相同
C．從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至落地，重力對(duì)兩小球做功相同
D．從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至落地，重力對(duì)兩小球做功的平均功率相同
【解析】 因A、B兩小球完全相同，其重力相同，從拋出到落地過(guò)程中高度相同，故重力對(duì)兩小球做功相同，C正確；由動(dòng)能定理可知，兩球落地時(shí)動(dòng)能相同，速度大小相同，但方向不同，故速度并
25、不相同，A錯(cuò)；因落地時(shí)速度大小相同但方向與重力方向夾角不同，故落地時(shí)重力的瞬時(shí)功率不同，B錯(cuò)；由于A做平拋運(yùn)動(dòng)，B做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間不同，故重力的平均功率不同，D錯(cuò)．故選C.
【答案】 C
⊙功、功率的計(jì)算
3.
圖5－1－13
一個(gè)質(zhì)量為m的小球，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩懸掛于O點(diǎn)，小球在水平拉力F作用下，從平衡位置P點(diǎn)很緩慢地移動(dòng)到Q點(diǎn)，此時(shí)輕繩與豎直方向夾角為θ，如圖5－1－13所示，則拉力F所做的功為( )
A．mgLcos θ B．mgL(1－cos θ)
C．FLsin θ D．FLcos θ
【解析】 小球從P點(diǎn)到Q點(diǎn)時(shí)，受重力、繩子的拉力
26、及水平拉力F作用，因很緩慢地移動(dòng)，小球速度可視為零，由平衡條件可知：F＝mgtan θ，隨θ的增大，拉力F也增大，故F是變力，因此不能直接用公式W＝Flcos θ計(jì)算．根據(jù)動(dòng)能定理，有：WF－WG＝0.
所以WF＝WG＝mgL(1－cos θ)，選項(xiàng)B正確．
【答案】 B
⊙機(jī)車(chē)啟動(dòng)模型
4．(多選)(2014哈爾濱師大附中模擬)質(zhì)量為m的汽車(chē)在平直公路上加速行駛，受到的阻力恒為f.當(dāng)速度為v時(shí)，汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)輸出功率為P，則此時(shí)汽車(chē)的( )
A．牽引力為 B．牽引力大于
C．加速度為 D．加速度小于
【解析】 功率、牽引力、速度的關(guān)系為P＝Fv，A對(duì)，B錯(cuò)；由牛頓第二定律
27、有F－f＝ma，F(xiàn)＝，a<，C錯(cuò)，D對(duì)．
【答案】 AD
⊙功、功率在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用
5．(2012北京高考)摩天大樓中一部直通高層的客運(yùn)電梯，行程超過(guò)百米．電梯的簡(jiǎn)化模型如圖5－1－14所示．考慮安全、舒適、省時(shí)等因素，電梯的加速度a是隨時(shí)間t變化的．已知電梯在t＝0時(shí)由靜止開(kāi)始上升，a－t圖象如圖5－1－15所示．電梯總質(zhì)量m＝2.0103 kg.忽略一切阻力，重力加速度g取10 m/s2.
(1)求電梯在上升過(guò)程中受到的最大拉力F1和最小拉力F2；
圖5－1－14
(2)類(lèi)比是一種常用的研究方法．對(duì)于直線運(yùn)動(dòng)，教科書(shū)中講解了由v－t圖象求位移的方法．請(qǐng)你借鑒
28、此方法，對(duì)比加速度和速度的定義，根據(jù)圖5－1－15所示a－t圖象，求電梯在第1 s內(nèi)的速度改變量Δv1和第2 s末的速率v2；
(3)求電梯以最大速率上升時(shí)，拉力做功的功率P；再求在0～11 s時(shí)間內(nèi)，拉力和重力對(duì)電梯所做的總功W.
圖5－1－15
【解析】 (1)由牛頓第二定律，有F－mg＝ma
由a－t圖像可知，F(xiàn)1和F2對(duì)應(yīng)的加速度分別是
a1＝1.0 m/s2，a2＝－1.0 m/s2，則
F1＝m(g＋a1)＝2.0103(10＋1.0)N＝2.2104 N
F2＝m(g＋a2)＝2.0103(10－1.0)N＝1.8104 N.
(2)類(lèi)比可得，所求速度變化量等
29、于第1 s內(nèi)a－t圖線與t軸所圍圖形的面積，
可得Δv1＝0.5 m/s
同理可得Δv2＝v2－v0＝1.5 m/s
v0＝0，第2 s末的速率v2＝1.5 m/s.
(3)由a－t圖象可知，11 s～30 s內(nèi)速率最大，其值等于0～11 s內(nèi)a－t圖線與t軸所圍圖形的面積，此時(shí)電梯做勻速運(yùn)動(dòng)，拉力F等于重力mg，所求功率P＝Fvm＝mgvm＝2.01031010 W＝2.0105 W
由動(dòng)能定理，總功W＝Ek2－Ek1＝mv－0＝2.0103102 J＝1.0105 J.
【答案】 (1)2.2104 N 1.8104 N (2)0.5 m/s
1．5 m/s (3)2.0105 W 1.0105 J
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（新課標(biāo)）河南省2015高考物理總復(fù)習(xí)講義 第5章 第1講 功和功率
