金版教程高考數(shù)學文二輪復(fù)習講義：第二編 專題整合突破 專題三 三角函數(shù)與解三角形 第二講 三角恒等變換與解三角形 Word版含解析

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1、高考數(shù)學精品復(fù)習資料 2019.5第二講三角恒等變換與解三角形 必記公式1同角三角函數(shù)之間的關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2cos21；(2)商數(shù)關(guān)系：tan.2誘導(dǎo)公式(1)公式：S2k；S；S；S；(2)巧記口訣：奇變偶不變，符號看象限，當銳角看3兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sincoscossin；(2)cos()coscossinsin；(3)tan()；(4)輔助角公式：asinbcossin()cos()4二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin22sincos；(2)cos2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan2.5降冪公式(1)sin2；(2)

2、cos2.6正弦定理2R(2R為ABC外接圓的直徑)變形：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.sinA，sinB，sinC.abcsinAsinBsinC.7余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.推論：cosA，cosB，cosC.變形：b2c2a22bccosA，a2c2b22accosB，a2b2c22abcosC.8面積公式SABCbcsinAacsinBabsinC.重要結(jié)論1判斷三角形形狀的常用結(jié)論(1)sinAsinB且AB等腰三角形；(2)sin2Asin2BAB或AB等腰或直角三角形；(3)cosAcosBAB等

3、腰三角形；(4)cos2Acos2BAB等腰三角形；(5)sin(AB)0AB等腰三角形；(6)A60且bc等邊三角形；(7)A，B，C成等差數(shù)列B60；(8)a2b2c2(A為三角形中的最大角)三角形為銳角三角形(A為銳角)；(9)a2b2c2三角形為直角三角形(A為直角)；(10)a2b2c2三角形為鈍角三角形(A為鈍角)2射影定理abcosCccosB.bacosCccosA.cacosBbcosA.失分警示1同角關(guān)系應(yīng)用錯誤：利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系開方時，忽略判斷角所在的象限或判斷出錯，導(dǎo)致三角函數(shù)符號錯誤2誘導(dǎo)公式的應(yīng)用錯誤：利用誘導(dǎo)公式時，三角函數(shù)名變換出錯或三角函數(shù)值的符號出

4、錯3忽視解的多種情況如已知a，b和A，應(yīng)先用正弦定理求B，由ABC，求C，再由正弦定理或余弦定理求邊c，但解可能有多種情況4忽略角的范圍應(yīng)用正、余弦定理求解邊、角等量的最值(范圍)時，要注意角的范圍5忽視解的實際意義求解實際問題，要注意解得的結(jié)果要與實際相吻合 考點三角恒等變換典例示法題型1求角典例120xx中山模擬已知cos(2)，sin(2)，0，則_.解析由0易得2，2，0)，則A_，b_.答案1解析由于2cos2xsin2x1cos2xsin2xsin1，所以A，b1.520xx廣東高考設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a，sinB，C，則b_.答案1解析由sinB得B

5、或，因為C，所以B，所以B，于是A.由正弦定理，得，所以b1.620xx山東高考設(shè)f(x)sinxcosxcos2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若f0，a1，求ABC面積的最大值解(1)由題意知f(x)sin2x.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)；單調(diào)遞減區(qū)間是(kZ)(2)由fsinA0，得sinA，由題意知A為銳角，所以cosA.由余弦定理a2b2c22bccosA，可得1bcb2c22bc，即bc2，且當bc時等號成立因此bcsinA.所以ABC面

6、積的最大值為. 一、選擇題120xx合肥質(zhì)檢sin18sin78cos162cos78()A BC. D.答案D解析sin18sin78cos162cos78sin18sin78cos18cos78cos(7818)cos60，故選D.220xx廣西質(zhì)檢已知，3sin22cos，則cos()等于()A. B.C. D.答案C解析由3sin22cos得sin.因為0)，由余弦定理得，cosA.因為A是ABC的內(nèi)角，所以sinA，因為ABC的面積為45，所以bcsinA45，即5k3k45，解得k2.由正弦定理2R(R為ABC外接圓的半徑)，即2R，解得R14，所以ABC外接圓半徑為14.三、解答

7、題1020xx重慶測試在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos2sin2A1.(1)求A；(2)設(shè)a22，ABC的面積為2，求bc的值解(1)由2cos2sin2A1可得，22sinAcosA1，所以1cos(A)2sinAcosA1，故2sinAcosAcosA0.因為ABC為銳角三角形，所以cosA0，故sinA，從而A.(2)因為ABC的面積為bcsinAbc2，所以bc8.因為A，故cosA，由余弦定理可知，b2c2a22bccosAbc.又a22，所以(bc)2b2c22bc(2)bca28(2)(22)232.故bc4.1120xx武漢調(diào)研在ABC中，內(nèi)角A

8、，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2BcosB1cosAcosC.(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；(2)若b2，求ABC的面積的最大值解(1)證明：在ABC中，cosBcos(AC)由已知，得(1sin2B)cos(AC)1cosAcosC，sin2B(cosAcosCsinAsinC)cosAcosC，化簡，得sin2BsinAsinC.由正弦定理，得b2ac，a，b，c成等比數(shù)列(2)由(1)及題設(shè)條件，得ac4.則cosB，當且僅當ac時，等號成立0B，sinB .SABCacsinB4.ABC的面積的最大值為.1220xx濟寧模擬已知向量m，n，記f(x)mn.(1)若f(

9、x)1，求cos的值；(2)在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足(2ac)cosBbcosC，求f(2A)的取值范圍解(1)f(x)mnsincoscos2sincossin，因為f(x)1，所以sin，所以cos12sin2.(2)因為(2ac)cosBbcosC，由正弦定理得(2sinAsinC)cosBsinBcosC，所以2sinAcosBsinCcosBsinBcosC，所以2sinAcosBsin(BC)因為ABC，所以sin(BC)sinA，且sinA0，所以cosB，又0B，所以B.則AC，AC，又0C，則A，得A，所以0且q1或a10且0q0且0q1或a

10、11，則數(shù)列為遞減數(shù)列3等差數(shù)列an中，Sn為前n項和Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等差數(shù)列；等比數(shù)列bn 中，Tn為前n項和Tn，T2nTn，T3nT2n，一般仍成等比數(shù)列失分警示1忽視等比數(shù)列的條件：判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，忽視各項都不為零的條件2漏掉等比中項：正數(shù)a，b的等比中項是，容易漏掉.3忽略對等比數(shù)列的公比的討論：應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時應(yīng)首先討論公式q是否等于1.4anan1d或q中注意n的范圍限制5易忽略公式anSnSn1成立的條件是n2.6證明一個數(shù)列是等差或等比數(shù)列時，由數(shù)列的前n項和想當然得到數(shù)列的通項公式，易出錯，必須用定義證明7等差數(shù)列的單調(diào)性只取決于公差

11、d的正負，而等比數(shù)列的單調(diào)性既要考慮公比q，又要考慮首項a1的正負 考點數(shù)列的概念、表示方法及遞推公式典例示法題型1利用遞推關(guān)系求通項公式典例1(1)已知正項數(shù)列an滿足a11，(n2)a(n1)aanan10，則它的通項公式為()Aan BanCan Dann解析由(n2)a(n1)aanan10，得(n2)an1(n1)an(an1an)0，又an0，所以(n2)an1(n1)an，即，an1an，所以ana1a1(n2)，所以an(n1適合)，于是所求通項公式為an.答案B(2)20xx江蘇高考設(shè)數(shù)列an滿足a11，且an1ann1(nN*)，則數(shù)列前10項的和為_解析由a11，且an1

12、ann1(nN*)得，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)123n，則2，故數(shù)列前10項的和S1022.答案題型2利用an與Sn的關(guān)系求an典例220xx全國卷Sn為數(shù)列an的前n項和，已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通項公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn.設(shè)數(shù)列bn

13、的前n項和為Tn，則Tnb1b2bn.求數(shù)列通項公式的常見類型及方法(1)歸納猜想法：已知數(shù)列的前幾項，求數(shù)列的通項公式，可采用歸納猜想法(2)已知Sn與an的關(guān)系，利用an求an.(3)累加法：數(shù)列遞推關(guān)系形如an1anf(n)，其中數(shù)列f(n)前n項和可求，這種類型的數(shù)列求通項公式時，常用累加法(疊加法)(4)累乘法：數(shù)列遞推關(guān)系形如an1g(n)an，其中數(shù)列g(shù)(n)前n項可求積，此數(shù)列求通項公式一般采用累乘法(疊乘法)(5)構(gòu)造法：遞推關(guān)系形如an1panq(p，q為常數(shù))可化為an1p(p1)的形式，利用是以p為公比的等比數(shù)列求解；遞推關(guān)系形如an1(p為非零常數(shù))可化為的形式考點等

14、差、等比數(shù)列的運算典例示法題型1等差、等比數(shù)列的基本運算典例320xx全國卷已知等比數(shù)列an滿足a1，a3a54(a41)，則a2()A2 B1C. D.解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，a1，a3a54(a41)，由題可知q1，則a1q2a1q44(a1q31)，q64，q616q3640，(q38)20，q38，q2，a2，故選C.答案C題型2等差、等比數(shù)列性質(zhì)的運算典例420xx全國卷設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為_解析設(shè)an的公比為q，由a1a310，a2a45得a18，q，則a24，a32，a41，a5，所以a1a2ana1a2a3a464.答案64

15、1等差(比)數(shù)列基本運算中的關(guān)注點(1)基本量在等差(比)數(shù)列中，首項a1和公差d(公比q)是兩個基本量(2)解題思路求公差d(公比q)：常用公式anam(nm)d(anamqnm)；列方程組：若條件與結(jié)論的聯(lián)系不明顯時，常把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元及整體計算，以減少計算量2等差(比)數(shù)列的性質(zhì)盤點考點等差、等比數(shù)列的判斷與證明典例示法典例520xx全國卷已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由解(1)證明：由題設(shè)，anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相

16、減得an1(an2an)an1.因為an10，所以an2an.(2)由題設(shè)，a11，a1a2S11，可得a21，由(1)知，a31.若an為等差數(shù)列，則2a2a1a3，解得4，故an2an4.由此可得a2n1是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；a2n是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列在本例題(2)中是否存在，使得an為等比數(shù)列？并說明理由解由題設(shè)可知a11，a1a2S11，得a21，由(1)知a31，若an為等比數(shù)列，則aa1a3，即(1)21，解得0或3.當0時，anan11，又a11，所以a21，a31

17、，an(1)n1，所以數(shù)列an為首項為1，公比為1的等比數(shù)列；當3時，a11，a22，a34，故可令an2n1，則anan122n1.Sn132n4，易得anan1與Sn1不恒相等，與已知條件矛盾綜上可知，存在0，使得an為等比數(shù)列1等差數(shù)列的判定方法(1)證明一個數(shù)列an為等差數(shù)列的基本方法有兩種利用等差數(shù)列的定義證明，即證明an1and(nN*)；利用等差中項證明，即證明an2an2an1(nN*)(2)解選擇、填空題時，亦可用通項或前n項和直接判斷通項法：若數(shù)列an的通項公式為n的一次函數(shù)，即anAnB，則an是等差數(shù)列前n項和法：若數(shù)列an的前n項和Sn是SnAn2Bn的形式(A，B是

18、常數(shù))，則an是等差數(shù)列2等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：若q(q為非零常數(shù))或q(q為非零常數(shù)且n2)，則an是等比數(shù)列(2)中項公式法：若數(shù)列an中，an0且aanan2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成ancqn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列(4)前n項和公式法：若數(shù)列an的前n項和Snkqnk(k為常數(shù)且k0，q0,1)，則an是等比數(shù)列提醒：若判斷一個數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列，則只需說明前三項不是等差(等比)數(shù)列即可針對訓(xùn)練20xx云南統(tǒng)測在數(shù)列an中，a1，an12，設(shè)bn，數(shù)列bn的前n項和是Sn.(1)證明數(shù)列bn是等差

19、數(shù)列，并求Sn；(2)比較an與Sn7的大小解(1)證明：bn，an12，bn11bn1，bn1bn1，數(shù)列bn是公差為1的等差數(shù)列由a1，bn得b1，Sn3n.(2)由(1)知：bnn1n.由bn得an11.anSn73n6.當n4時，y3n6是減函數(shù)，y也是減函數(shù)，當n4時，anSn7a4S470.又a1S170，a2S270，a3S371，a3a520，a2a664，則S5()A31 B36C42 D48答案A解析由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a3a5a2a664，于是由且公比q1，得a34，a516，所以解得所以S531，故選A.320xx唐山統(tǒng)考設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項和，若3，則()A2

20、 B.C. D1或2答案B解析設(shè)S2k，S43k，由數(shù)列an為等比數(shù)列，得S2，S4S2，S6S4為等比數(shù)列，S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，S43k，故選B.420xx浙江高考已知an是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項和是Sn.若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則()Aa1d0，dS4 0 Ba1d0，dS40，dS40 Da1d0答案B解析由aa3a8，得(a12d)(a17d)(a13d)2，整理得d(5d3a1)0，又d0，a1d，則a1dd20，又S44a16dd，dS4d20，a1，如果an1是1與的等比中項，那么a1的值是_答案解析由題意可得，a(2an1anan11)(

21、2an1anan11)0，又an0，2an1anan110，又2an0，an1an11，又可知an1，1，是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，(n1)n1an，a11.三、解答題1020xx蚌埠質(zhì)檢已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，且a33，S39.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnlog2，且bn為遞增數(shù)列，若cn，求證：c1c2c3cn1.解(1)設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，則根據(jù)題意有39，從而2q2q10，解得q1或q.當q1時，an3；當q時，an3n3.(2)證明：若an3，則bn0，與題意不符，故an3n3，此時a2n332n，bn2n，符合題意cn，從而c1c2c

22、3cn10，bn的公比為q，則an1(n1)d，bnqn1.依題意有解得或(舍去)故ann，bn2n1.(2)由(1)知Sn12nn(n1)，2，22.第二講數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 重要公式及結(jié)論1分組求和法：分組求和法是解決通項公式可以寫成cnanbn形式的數(shù)列求和問題的方法，其中an與bn是等差(比)數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列2裂項相消法：將數(shù)列的通項分成兩個代數(shù)式子的差，即anf(n1)f(n)的形式，然后通過累加抵消中間若干項的求和方法形如(其中an是各項均不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列等3錯位相減法：形如anbn(其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列)的數(shù)列求和，一般分三步：巧拆分；

23、構(gòu)差式；求和4倒序求和法：距首尾兩端等距離的兩項和相等，可以用此法，一般步驟：求通項公式；定和值；倒序相加；求和；回顧反思附：(1)常見的拆項公式(其中nN*).若等差數(shù)列an的公差為d，則；.()(2)公式法求和：要熟練掌握一些常見數(shù)列的前n項和公式，如123n；135(2n1)n2；122232n2n(n1)(2n1)失分警示1公比為字母的等比數(shù)列求和時，注意公比是否為1的分類討論2錯位相減法求和時易漏掉減數(shù)式的最后一項3裂項相消法求和時易認為只剩下首尾兩項4裂項相消法求和時注意所裂式與原式的等價性 考點數(shù)列求和問題典例示法題型1分組轉(zhuǎn)化求和典例1設(shè)數(shù)列an滿足a12，a2a48，且對任意

24、nN*，函數(shù)f(x)(anan1an2)xan1cosxan2sinx滿足f0.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn2，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解(1)由題設(shè)可得f(x)anan1an2an1sinxan2cosx.對任意nN*，fanan1an2an10，即an1anan2an1，故an為等差數(shù)列由a12，a2a48，解得an的公差d1，所以an21(n1)n1.(2)因為bn222n2，所以Snb1b2bn(222)2(12n)2n2n23n1.題型2錯位相減法求和典例220xx湖北高考設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q.已知b1a1，b22，qd，S1

25、0100.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)當d1時，記cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解(1)由題意有，即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn，可得Tn23，故Tn6.題型3裂項相消法求和典例320xx洛陽統(tǒng)考設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，對任意正整數(shù)n都有6Sn12an.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnlogan，求Tn.解(1)由6Sn12an，得6Sn112an1(n2)兩式相減得6an2an12an，即anan1(n2)，由6S16a112a1，得a1，數(shù)列an是等比數(shù)列，公比q，所以ann12n1.(2)an2n1，bn2n1，從而.Tn.1分組求和的常見方法(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組(2)根據(jù)正號、負號分組，此時數(shù)列的通項式中常會有(1)n等特征2裂項相消的規(guī)律(1)裂項系數(shù)取決于前后兩項分母的差(2)裂項相消后前、后保