高中數(shù)學(xué) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù)單元測(cè)試1 北師大版選修11

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1、6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3

2、3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 第三章第三章 變化率與導(dǎo)數(shù)變化率與導(dǎo)數(shù) (時(shí)間：100 分鐘，滿分：120 分) 一、選擇題(本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1已知函數(shù)f(x)13，則f(x)等于( ) A33 B0 C.33 D. 3 解析：選 B.因?yàn)閒(x)13，所以f(x)(13)0. 2已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為st23(s的單位：m，t的單位：s)，則該質(zhì)點(diǎn)在t3 s到t(3t)s

3、 這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為( ) A(6t)m/s B(6t9t)m/s C(3t)m/s D(9tt)m/s 解析：選 A.平均速度為st（3t）23（323）t(6t)m/s. 3設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足limx0 f（1）f（1x）2x1，則過(guò)曲線yf(x)上點(diǎn)(1，f(1)處的切線斜率為( ) A2 B1 C1 D2 解析：選 D.kf(1)limx0 f（1x）f（1）x 2limx0 f（1）f（1x）2x2. 4已知函數(shù)f(x)在x1 處的導(dǎo)數(shù)為 3，則f(x)的解析式可能是( ) Af(x)(x1)33(x1) Bf(x)2(x1) Cf(x)2(x1)2 Df(x)x1 解

4、析：選 A.利用排除法，分別對(duì)四個(gè)選項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)f(x)，再求f(1) 5已知曲線yx243ln x的一條切線的斜率為12，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為( ) A3 B2 C1 D.12 解析：選 B.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，且x00， 因?yàn)閥12x3x， 所以k12x03x012， 所以x02. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1

5、D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6已知y2x33xcos x，則y等于( ) A6x2x23sin x B6x2x23sin x C6x213x23sin x D6x213x2

6、3sin x 解析：選 D.y(2x3)(x13)(cos x) 6x213x23sin x. 7給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo)，即f(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f(x)在D上也可導(dǎo)， 則稱函數(shù)f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)， 記f(x)(f(x).若f(x)0 在D上恒成立，則稱函數(shù)f(x)在D上為凸函數(shù)，以下四個(gè)函數(shù)在0，2上不是凸函數(shù)的是( ) Af(x)sin xcos x Bf(x)ln x2x Cf(x)x32x1 Df(x)xex 解析：選 D.對(duì) A，f(x)cos xsin x，f(x)sin xcos x00 x2， 故f(x)在0，2上是凸函數(shù)； 對(duì) B，f(x)1x2，f(x

7、)1x200 x2，故f(x)在0，2上是凸函數(shù)； 對(duì) C，f(x)3x22，f(x)6x00 x2，故f(x)在0，2上是凸函數(shù)； 對(duì) D，f(x)exxex，f(x)exexxexex(2x)00 x2， 故f(x)在0，2上不是凸函數(shù)，選 D. 8已知曲線C：y2x2，點(diǎn)A(0，2)及點(diǎn)B(3，a)，從點(diǎn)A觀察點(diǎn)B，要實(shí)現(xiàn)不被曲線C擋住，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A(4，) B(，4) C(10，) D(，10) 解析：選 D.在曲線C：y2x2上取一點(diǎn)D(x0，2x20)(x00)，因?yàn)閥2x2， 所以y4x，所以y2x2在D點(diǎn)處切線的斜率為 4x0， 令2x202x04x0，解得x

8、01，此時(shí)D(1，2)，所以kAD2（2）104， 所以直線AD的方程為y4x2，要實(shí)現(xiàn)不被曲線C擋住，則實(shí)數(shù)a43210，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，10) 9設(shè)a0，f(x)ax2bxc，曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處切線的傾斜角的取值范圍為0，4，則P到曲線yf(x)對(duì)稱軸距離的取值范圍為( ) 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1

9、 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 A.0，1a B.0，12a C.0，b2a D.0，b12a 解析：選 B.因?yàn)檫^(guò)P(x0，f(x0)的切線的傾斜角的取

10、值范圍是0，4，且a0，P在對(duì)稱軸的右側(cè)，所以P到曲線yf(x)對(duì)稱軸xb2a的距離dx0b2ax0b2a. 又因?yàn)閒(x0)2ax0b0，1， 所以x0b2a，1b2a. 所以dx0b2a0，12a. 10 定義方程f(x)f(x)的實(shí)數(shù)根x0叫做函數(shù)f(x)的“新駐點(diǎn)”， 若函數(shù)g(x)2x，h(x)ln x，(x)x3(x0)的“新駐點(diǎn)”分別為a，b，c， 則a，b，c的大小關(guān)系為( ) Aabc Bcba Cacb Dbac 解析：選 B.g(x)2，h(x)1x，(x)3x2(x0)解方程g(x)g(x)，即2x2，得x1，即a1；解方程h(x)h(x)，即 ln x1x，在同一坐標(biāo)

11、系中畫(huà)出函數(shù)yln x，y1x的圖像(圖略)，可得 1xe，即 1be；解方程(x)(x)，即x33x2(x0)，得x3，即c3.所以cba. 二、填空題(本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分把答案填在題中的橫線上) 11已知a為實(shí)數(shù)，f(x)(x24)(xa)，且f(1)0，則a_ 解析：f(x)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4， f(1)32a40，所以a12. 答案：12 12設(shè)f(x)exx，若f(x0)2，則在點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程為_(kāi) 解析：f(x)ex1，f(x0)2，所以 ex012，所以x00，y0e001，所以切線方程為y12(x0)，即 2xy

12、10. 答案：2xy10 13已知函數(shù)f(x)sin xxcos x，若存在x(0，)，使得f(x)x成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 解析：f(x)(sin xxcos x)(sin x)(xcos x)cos x(cos xxsin x)xsin xx，因?yàn)閤(0，)，所以 sin x，因?yàn)?sin x(0，1，所以1. 答案：(，1) 14拋物線yx2上到直線x2y40 距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi) 解析：y2x，設(shè)P(x0，x20)處的切線平行直線x2y40，則點(diǎn)P到直線x2y40 的距離最短，由拋物線yx2在點(diǎn)P(x0，x20)處的切線斜率為 2x0，則 2x012，解得x014，y0116，故

13、所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(14，116) 答案：(14，116) 15對(duì)正整數(shù)n，設(shè)曲線yxn(1x)在x2 處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an，則數(shù)6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F

14、 F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 列ann1的前n項(xiàng)和為_(kāi) 解析：由yxn(1x)得ynxn1(1x)xn(1)， 所以f(2)n2n12n. 又因?yàn)榍悬c(diǎn)為(2，2n) 所以切線方程為： y2n(n2n12n)(x2) 令x0，得an(n1)2n. 則數(shù)列ann1的通項(xiàng)公式為an2n，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求得其和為 2n12

15、. 答案：2n12 三、解答題(本大題共 5 小題，共 55 分解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 16(本小題滿分 10 分)將石塊投入平靜的水面，使它產(chǎn)生同心圓波紋，若最外一圈波紋半徑R以 4 m/s 的波速增加，求在 3 s 末被擾動(dòng)的水面面積的增長(zhǎng)率 解：設(shè)被擾動(dòng)水面面積為S，時(shí)間為t(t0)， 所以SR2(4t)216t2， 所以S(16t2)32t， 所以當(dāng)t3 時(shí)，水面面積的增長(zhǎng)率為 96. 17(本小題滿分 10 分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)f(x)ln(8x)； (2)yx3sin x2cos x2； (3)yx5xsin xx2. 解：(1)f(x)3ln 2l

16、n x， f(x)(3ln 2)(ln x)1x. (2)yx3sin x2cos x212x3sin x， y12(x3sin x)12(3x2sin xx3cos x) 32x2sin x12x3cos x. (3)yx5xsin xx2x3x32x2sin x， 所以y(x3)(x32)(x2sin x) 3x232x522x3sin xx2cos x. 18(本小題滿分 10 分)已知曲線C：y3x42x39x24. (1)求曲線C在點(diǎn)(1，4)處的切線方程； (2)對(duì)于(1)中的切線與曲線C是否還有其他公共點(diǎn)？若有，求出公共點(diǎn)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由 解：(1)y12x36x218x，所

17、以當(dāng)x1 時(shí)，y12，所以在點(diǎn)(1，4)處的切線的斜率為12.所以所求的切線方程為y412(x1)， 即y12x8. (2)由y3x42x39x24，y12x8，得 3x42x39x212x40， 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C

18、 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 即(x2)(3x2)(x1)20，所以x12，x223，x31. 所以除切點(diǎn)外，曲線和切線還有交點(diǎn)(2，32)和23，0 . 19(本小題滿分 12 分)已知函數(shù)f(x)ax2(a2)xln x. (1)當(dāng)a1 時(shí)，求曲線yf(x)在

19、點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程； (2)當(dāng)a1 時(shí)，求證：當(dāng)x1，e時(shí)，f(x)0，其中 e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) 解：(1)當(dāng)a1 時(shí)，f(x)x23xln x，f(x)2x31x，因?yàn)閒(1)0，f(1)2. 所以切線方程是y2. (2)證明：函數(shù)f(x)ax2(a2)xln x的定義域是(0，)，f(x)2ax(a2)1x， 即f(x)2ax2（a2）x1x（2x1）（ax1）x， 當(dāng)a1 時(shí)，在x1，e上，2x10，ax10， 可得f(x)0. 20(本小題滿分 13 分)設(shè)函數(shù)f(x)13x3a2x2bxc，其中a0.曲線yf(x)在點(diǎn)P(0，f(0)處的切線方程為y1. (1)確定b，c

20、的值； (2)設(shè)曲線yf(x)在點(diǎn)(x1，f(x1)及(x2，f(x2)處的切線都過(guò)點(diǎn)(0，2)，證明：當(dāng)x1x2時(shí)，f(x1)f(x2) 解：(1)由f(x)13x3a2x2bxc，得f(0)c，f(x)x2axb，f(0)b. 又由曲線yf(x)在點(diǎn)P(0，f(0)處的切線方程為y1，得f(0)1，f(0)0. 故b0，c1. (2)證明：f(x)13x3a2x21，f(x)x2ax， 由于點(diǎn)(t，f(t)處的切線方程為yf(t)f(t)(xt)，而點(diǎn)(0，2)在切線上，所以 2f(t)f(t)(t)，化簡(jiǎn)得23t3a2t210，即t滿足的方程為23t3a2t210. 下面用反證法證明： 假設(shè)f(x1)f(x2)，由于曲線yf(x)在點(diǎn)(x1，f(x1)及(x2，f(x2)處的切線都過(guò)點(diǎn)(0，2)，則下列等式成立： 23x31a2x2110，23x32a2x2210，x21ax1x22ax2. 由，得x1x2a. 由，得x21x1x2x2234a2. 又x21x1x2x22(x1x2)2x1x2a2x1(ax1)x21ax1a2(x1a2)234a234a2， 故由得x1a2，此時(shí)x2a2與x1x2矛盾， 所以f(x1)f(x2)