2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 12.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差教案 理 新人教A版 .DOC

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 12.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差教案 理 新人教A版xx高考會這樣考1.考查離散型隨機(jī)變量的均值的概念；2.利用均值解決一些實際問題復(fù)習(xí)備考要這樣做理解隨機(jī)變量的均值、的意義、作用，能解決一些簡單的實際問題1 離散型隨機(jī)變量的均值若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平2 兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若X服從兩點分布，則E(X)_p_(2)若XB(n，p)，則E(X)_np_難點正本疑點清源 對均值(或數(shù)學(xué)期望)的理解(1)期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均(2)E(X)是一個實數(shù)，由X的分布列唯一確定，即X作為隨機(jī)變量是可變的，而E(X)是不變的，它描述X值取值的平均狀態(tài)(3)公式E(X)x1p1x2p2xnpn直接給出了E(X)的求法，即隨機(jī)變量取值與相應(yīng)概率值分別相乘后相加由此可知，求出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望關(guān)鍵在于寫出它的分布列1 若隨機(jī)變量的分布列如下表，則E()的值為_.012345P2x3x7x2x3xx答案解析根據(jù)概率之和為1，求出x，則E()02x13x5x40x.2 (xx浙江)某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的，記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)若P(X0)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)_.答案解析由題意知P(X0)(1p)2，p.隨機(jī)變量X的分布列為X0123PE(X)0123.3 某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E()8.9，則y的值為()A0.4 B0.6 C0.7 D0.9答案A解析由可得y0.4.4 已知X的分布列為X101P設(shè)Y2X3，則E(Y)的值為()A. B4 C1 D1答案A解析E(X)(1)01.E(Y)2E(X)323.5 口袋中有5只球，編號分別為1,2,3,4,5，從中任意取3只球，以X表示取出的球的最大號碼，則X的期望E(X)的值是()A4 B4.5 C4.75 D5答案B解析X的所有可能取值是3,4,5，且P(X3)，P(X4)，P(X5)，E(X)3454.5.題型一離散型隨機(jī)變量的均值例1(xx湖北)根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表：降水量XX300300X700700X900X900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延誤天數(shù)Y的均值；(2)在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率思維啟迪：先求出降水量在各范圍內(nèi)的概率，再求對應(yīng)工期延誤天數(shù)的概率，列出Y的分布列解(1)由已知條件和概率的加法公式有P(X300)0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2，P(X900)1P(X900)10.90.1.所以Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)00.320.460.2100.13；故工期延誤天數(shù)Y的均值為3.(2)由概率的加法公式，得P(X300)1P(X300)0.7，又P(300X900)P(X900)P(X300)0.90.30.6.由條件概率，得P(Y6|X300)P(X900|X300).故在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率是.探究提高(1)求離散型隨機(jī)變量的均值關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運用均值公式進(jìn)行計算(2)概率與統(tǒng)計的結(jié)合是高考的熱點，熟練掌握基礎(chǔ)知識，理解二者的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵某中學(xué)在高三開設(shè)了4門選修課，每個學(xué)生必須且只需選修1門選修課對于該年級的甲、乙、丙3名學(xué)生，回答下面的問題：(1)求這3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率；(2)某一選修課被這3名學(xué)生選修的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望解(1)3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率：p1；(2)設(shè)某一選修課被這3名學(xué)生選擇的人數(shù)為，則0,1,2,3.P(0)，P(1)，P(2)，P(3).所以的分布列為0123P數(shù)學(xué)期望E()0123.題型二二項分布的均值例2某人投彈命中目標(biāo)的概率p0.8.(1)求投彈一次，命中次數(shù)X的均值；(2)求重復(fù)10次投彈時命中次數(shù)Y的均值思維啟迪：投彈一次，X服從兩點分布；重復(fù)10次，Y服從二項分布解(1)隨機(jī)變量X的分布列為X01P0.20.8因為X服從兩點分布，故E(X)p0.8.(2)由題意知，命中次數(shù)Y服從二項分布，即YB(10，0.8)，E(Y)np100.88.探究提高若XB(n，p)，則E(X)np，可直接利用方式有一種舞臺燈，外形是正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1，在其每一個側(cè)面上(不在棱上)安裝5只顏色各異的彩燈，假若每只燈正常發(fā)光的概率是，若一個面上至少有3只燈發(fā)光，則不需要維修，否則需要更換這個面假定更換一個面需100元，用表示維修一次的費用(1)求面ABB1A1需要維修的概率；(2)寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望解(1)P1C5C5C5.(2)B，P6(0)，P6(1)，P6(2)，P6(3)，P6(4)，P6(5)，P6(6)，的分布列為0100200300400500600PE()1006300(元)題型三均值與方差的應(yīng)用例3現(xiàn)有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資10萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、；已知乙項目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中，價格下降的概率都是p(0p1)，設(shè)乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)進(jìn)行兩次獨立的調(diào)整記乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為X，對乙項目每投資10萬元，X取0、1、2時，一年后相應(yīng)利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元隨機(jī)變量X1、X2分別表示對甲、乙兩項目各投資10萬元一年后的利潤(1)求X1，X2的概率分布列和均值E(X1)，E(X2)；(2)當(dāng)E(X1)E(X2)時，求p的取值范圍思維啟迪：(1)求分布列，應(yīng)先確定X的取值，再求X的取值對應(yīng)的概率；(2)由E(X1)E(X2)，找出關(guān)于p的不等式，即可求出p的范圍解(1)X1的概率分布列為X11.21.181.17PE(X1)1.21.181.171.18.由題設(shè)得XB(2，p)，即X的概率分布列為X012P(1p)22p(1p)p2故X2的概率分布列為X21.31.250.2P(1p)22p(1p)p2所以E(X2)1.3(1p)21.252p(1p)0.2p21.3(12pp2)2.5(pp2)0.2p2p20.1p1.3.(2)由E(X1)1.18，整理得(p0.4)(p0.3)0，解得0.4p0.3.因為0p1，所以當(dāng)E(X1)E(X2)時，p的取值范圍是0p1.75，則p的取值范圍是()A. B.C. D.答案C解析由已知條件可得P(X1)p，P(X2)(1p)p，P(X3)(1p)2p(1p)3(1p)2，則E(X)P(X1)2P(X2)3P(X3)p2(1p)p3(1p)2p23p31.75，解得p或p，又由p(0,1)，可得p.二、填空題(每小題5分，共15分)5 在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分如果某運動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是_答案0.7解析E(X)10.700.30.7.6 有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件數(shù)，則D(X)_.答案解析由題意知取到次品的概率為，XB，D(X)3.7 (xx上海)馬老師從課本上抄錄一個隨機(jī)變量的概率分布列如下表：x123P(x)？??？請小牛同學(xué)計算的數(shù)學(xué)期望盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同據(jù)此，小牛給出了正確答案E()_.答案2解析設(shè)“？”處的數(shù)值為x，則“！”處的數(shù)值為12x，則E()1x2(12x)3xx24x3x2.三、解答題(共22分)8 (10分)為了某項大型活動能夠安全進(jìn)行，警方從武警訓(xùn)練基地挑選防爆警察，從體能、射擊、反應(yīng)三項指標(biāo)進(jìn)行檢測，如果這三項中至少有兩項通過即可入選假定某基地有4名武警戰(zhàn)士(分別記為A、B、C、D)擬參加挑選，且每人能通過體能、射擊、反應(yīng)的概率分別為，.這三項測試能否通過相互之間沒有影響(1)求A能夠入選的概率；(2)規(guī)定：按入選人數(shù)得訓(xùn)練經(jīng)費(每入選1人，則相應(yīng)的訓(xùn)練基地得到3 000元的訓(xùn)練經(jīng)費)，求該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費的分布列與數(shù)學(xué)期望解(1)設(shè)A通過體能、射擊、反應(yīng)分別記為事件M、N、P，則A能夠入選包含以下幾個互斥事件：MN，MP，NP，MNP.P(A)P(MN)P(MP)P(NP)P(MNP).所以，A能夠入選的概率為.(2)P(沒有入選任何人)4，P(入選了一人)C3，P(入選了兩人)C22，P(入選了三人)C3，P(入選了四人)C4，記表示該訓(xùn)練基地得到的訓(xùn)練經(jīng)費，該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費的分布列為03 0006 0009 00012 000PE()3 0006 0009 00012 0008 000(元)所以，該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費的數(shù)學(xué)期望為8 000元9 (12分)(xx重慶)某市公租房的房源位于A、B、C三個片區(qū)設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的，求該市的任4位申請人中：(1)恰有2人申請A片區(qū)房源的概率；(2)申請的房源所在片區(qū)的個數(shù)的分布列與期望解(1)方法一所有可能的申請方式有34種，恰有2人申請A片區(qū)房源的申請方式有C22種，從而恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為.方法二設(shè)對每位申請人的觀察為一次試驗，這是4次獨立重復(fù)試驗記“申請A片區(qū)房源”為事件A，則P(A).從而，由獨立重復(fù)試驗中事件A恰發(fā)生k次的概率計算公式知，恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為P4(2)C22.(2)的所有可能值為1,2,3.又P(1)，P(2)，P(3).綜上知，的分布列為123P從而有E()123.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 隨機(jī)變量的分布列如下表，則E(54)等于()024P0.30.20.5A.16 B11 C2.2 D2.3答案A解析根據(jù)題意，由已知表格可求得E()00.320.240.52.4，故E(54)5E()452.4416.2 已知拋物線yax2bxc (a0)的對稱軸在y軸的左側(cè)，其中a，b，c3，2，1,0,1,2,3，在這些拋物線中，記隨機(jī)變量|ab|的取值，則的數(shù)學(xué)期望E()為()A. B. C. D.答案A解析拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)，0，也就是a，b必須同號，的分布列為012PE()012.3 一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c(0,1)，已知他投籃一次得分的均值為2，則的最小值為 ()A. B. C. D.答案D解析由已知得，3a2b0c2，即3a2b2，其中0a，0b1.又32，當(dāng)且僅當(dāng)，即a2b時取“等號”，又3a2b2，即當(dāng)a，b時，的最小值為，故選D.二、填空題(每小題5分，共15分)4 罐中有6個紅球，4個白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)為取得紅球的次數(shù)，則的期望E()_.答案解析因為是有放回地摸球，所以每次摸球(試驗)摸得紅球(成功)的概率均為，連續(xù)摸4次(做4次試驗)，為取得紅球(成功)的次數(shù)，則B，從而有E()np4.5 簽盒中有編號為1、2、3、4、5、6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則X的數(shù)學(xué)期望為_答案5.25解析由題意可知，X可以取3,4,5,6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)5.25.6 設(shè)l為平面上過點(0,1)的直線，l的斜率等可能地取2，0，2，用表示坐標(biāo)原點到l的距離，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E()_.答案解析當(dāng)l的斜率k為2時，直線l的方程為2xy10，此時坐標(biāo)原點到l的距離d；當(dāng)k為時，d；當(dāng)k為時，d；當(dāng)k為0時，d1，由古典概型的概率公式可得分布列如下：1P所以E()1.三、解答題7 (13分)(xx課標(biāo)全國)某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理(1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，nN)的函數(shù)解析式(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望若花店計劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請說明理由解(1)當(dāng)日需求量n16時，利潤y80.當(dāng)日需求量n16時，利潤y10n80.所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y(nN)(2)X可能的取值為60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列為X607080P0.10.20.7X的數(shù)學(xué)期望為E(X)600.1700.2800.776.花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花理由如下：若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的計算結(jié)果可以看出，E(X)E(Y)，即購進(jìn)17枝玫瑰花時的平均利潤大于購進(jìn)16枝時的平均利潤故花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花