2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 12.6離散型隨機變量的均值與方差教案 理 新人教A版 .DOC

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 12.6離散型隨機變量的均值與方差教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.考查離散型隨機變量的均值的概念；2.利用均值解決一些實際問題． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　理解隨機變量的均值、的意義、作用，能解決一些簡單的實際問題． 1． 離散型隨機變量的均值 若離散型隨機變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平． 2． 兩點分布與二項分布的均值、方差 (1)若X服從兩點分布，則E(X)＝__p__． (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝__np_． [難點正本　疑點清源] 對均值(或數(shù)學(xué)期望)的理解 (1)期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均． (2)E(X)是一個實數(shù)，由X的分布列唯一確定，即X作為隨機變量是可變的，而E(X)是不變的，它描述X值取值的平均狀態(tài)． (3)公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接給出了E(X)的求法，即隨機變量取值與相應(yīng)概率值分別相乘后相加．由此可知，求出隨機變量的數(shù)學(xué)期望關(guān)鍵在于寫出它的分布列． 1． 若隨機變量ξ的分布列如下表，則E(ξ)的值為________. ξ 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x 答案　 解析　根據(jù)概率之和為1，求出x＝， 則E(ξ)＝02x＋13x＋…＋5x＝40x＝. 2． (xx浙江)某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的，記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)．若P(X＝0)＝，則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________. 答案　 解析　由題意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，∴p＝. 隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)＝0＋1＋2＋3＝. 3． 某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，則y的值為 (　　) A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.9 答案　A 解析　由 可得y＝0.4. 4． 已知X的分布列為 X －1 0 1 P 設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為 (　　) A. B．4 C．－1 D．1 答案　A 解析　E(X)＝(－1)＋0＋1＝－. ∴E(Y)＝2E(X)＋3＝2＋3＝. 5． 口袋中有5只球，編號分別為1,2,3,4,5，從中任意取3只球，以X表示取出的球的最大號碼，則X的期望E(X)的值是 (　　) A．4 B．4.5 C．4.75 D．5 答案　B 解析　X的所有可能取值是3,4,5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝＝， ∴E(X)＝3＋4＋5＝4.5. 題型一　離散型隨機變量的均值 例1　(xx湖北)根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表： 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延誤天數(shù)Y 0 2 6 10 歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求： (1)工期延誤天數(shù)Y的均值； (2)在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率． 思維啟迪：先求出降水量在各范圍內(nèi)的概率，再求對應(yīng)工期延誤天數(shù)的概率，列出Y的分布列． 解　(1)由已知條件和概率的加法公式有 P(X<300)＝0.3， P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300) ＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700) ＝0.9－0.7＝0.2， P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y的分布列為 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是，E(Y)＝00.3＋20.4＋60.2＋100.1＝3； 故工期延誤天數(shù)Y的均值為3. (2)由概率的加法公式， 得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7， 又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300) ＝0.9－0.3＝0.6. 由條件概率， 得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300) ＝＝＝. 故在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率是. 探究提高　(1)求離散型隨機變量的均值關(guān)鍵是確定隨機變量的所有可能值，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值公式進行計算． (2)概率與統(tǒng)計的結(jié)合是高考的熱點，熟練掌握基礎(chǔ)知識，理解二者的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵． 　某中學(xué)在高三開設(shè)了4門選修課，每個學(xué)生必須且只需選修1門選修課．對于該年級的甲、乙、丙3名學(xué)生，回答下面的問題： (1)求這3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率； (2)某一選修課被這3名學(xué)生選修的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望． 解　(1)3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率：p1＝＝； (2)設(shè)某一選修課被這3名學(xué)生選擇的人數(shù)為ξ， 則ξ＝0,1,2,3.P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列為 Ξ 0 1 2 3 P 數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝. 題型二　二項分布的均值 例2　某人投彈命中目標的概率p＝0.8. (1)求投彈一次，命中次數(shù)X的均值； (2)求重復(fù)10次投彈時命中次數(shù)Y的均值． 思維啟迪：投彈一次，X服從兩點分布；重復(fù)10次，Y服從二項分布． 解　(1)隨機變量X的分布列為 X 0 1 P 0.2 0.8 因為X服從兩點分布，故E(X)＝p＝0.8. (2)由題意知，命中次數(shù)Y服從二項分布， 即Y～B(10，0.8)， ∴E(Y)＝np＝100.8＝8. 探究提高　若X～B(n，p)，則E(X)＝np，可直接利用方式． 　有一種舞臺燈，外形是正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1，在其每一個側(cè)面上(不在棱上)安裝5只顏色各異的彩燈，假若每只燈正常發(fā)光的概率是，若一個面上至少有3只燈發(fā)光，則不需要維修，否則需要更換這個面．假定更換一個面需100元，用ξ表示維修一次的費用． (1)求面ABB1A1需要維修的概率； (2)寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望． 解　(1)P1＝C5＋C5＋C5＝. (2)∵ξ～B， P6(0)＝，P6(1)＝， P6(2)＝，P6(3)＝，P6(4)＝， P6(5)＝，P6(6)＝， ∴ξ的分布列為 ξ 0 100 200 300 400 500 600 P E(ξ)＝1006＝300(元)． 題型三　均值與方差的應(yīng)用 例3　現(xiàn)有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資10萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、；已知乙項目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中，價格下降的概率都是p(01.18， 整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0，解得－0.41.75，則p的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由已知條件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2， 則E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，又由p∈(0,1)，可得p∈. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分．如果某運動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是________． 答案　0.7 解析　E(X)＝10.7＋00.3＝0.7. 6． 有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件數(shù)，則D(X)＝________. 答案　 解析　由題意知取到次品的概率為， ∴X～B， ∴D(X)＝3＝. 7． (xx上海)馬老師從課本上抄錄一個隨機變量ξ的概率分布列如下表： x 1 2 3 P(ξ＝x) ？ ！ ？ 請小牛同學(xué)計算ξ的數(shù)學(xué)期望．盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案E(ξ)＝________. 答案　2 解析　設(shè)“？”處的數(shù)值為x，則“！”處的數(shù)值為1－2x，則 E(ξ)＝1x＋2(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2. 三、解答題(共22分) 8． (10分)為了某項大型活動能夠安全進行，警方從武警訓(xùn)練基地挑選防爆警察，從體能、射擊、反應(yīng)三項指標進行檢測，如果這三項中至少有兩項通過即可入選．假定某基地有4名武警戰(zhàn)士(分別記為A、B、C、D)擬參加挑選，且每人能通過體能、射擊、反應(yīng)的概率分別為，，.這三項測試能否通過相互之間沒有影響． (1)求A能夠入選的概率； (2)規(guī)定：按入選人數(shù)得訓(xùn)練經(jīng)費(每入選1人，則相應(yīng)的訓(xùn)練基地得到3 000元的訓(xùn)練經(jīng)費)，求該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費的分布列與數(shù)學(xué)期望． 解　(1)設(shè)A通過體能、射擊、反應(yīng)分別記為事件M、N、P，則A能夠入選包含以下幾個互斥事件：MN，MP，NP，MNP. ∴P(A)＝P(MN)＋P(MP)＋P(NP)＋P(MNP) ＝＋＋＋＝＝. 所以，A能夠入選的概率為. (2)P(沒有入選任何人)＝4＝， P(入選了一人)＝C3＝， P(入選了兩人)＝C22＝， P(入選了三人)＝C3＝， P(入選了四人)＝C4＝， 記ξ表示該訓(xùn)練基地得到的訓(xùn)練經(jīng)費，該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費的分布列為 ξ 0 3 000 6 000 9 000 12 000 P E(ξ)＝3 000＋6 000＋9 000＋12 000 ＝8 000(元) 所以，該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費的數(shù)學(xué)期望為8 000元． 9． (12分)(xx重慶)某市公租房的房源位于A、B、C三個片區(qū)．設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的，求該市的任4位申請人中： (1)恰有2人申請A片區(qū)房源的概率； (2)申請的房源所在片區(qū)的個數(shù)ξ的分布列與期望． 解　(1)方法一　所有可能的申請方式有34種，恰有2人申請A片區(qū)房源的申請方式有C22種，從而恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為＝. 方法二　設(shè)對每位申請人的觀察為一次試驗，這是4次獨立重復(fù)試驗． 記“申請A片區(qū)房源”為事件A，則P(A)＝. 從而，由獨立重復(fù)試驗中事件A恰發(fā)生k次的概率計算公式知，恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為 P4(2)＝C22＝. (2)ξ的所有可能值為1,2,3.又P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝ ， P(ξ＝3)＝＝. 綜上知，ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P 從而有E(ξ)＝1＋2＋3＝. B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 隨機變量ξ的分布列如下表，則E(5ξ＋4)等于 (　　) ξ 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 A.16 B．11 C．2.2 D．2.3 答案　A 解析　根據(jù)題意，由已知表格可求得 E(ξ)＝00.3＋20.2＋40.5＝2.4， 故E(5ξ＋4)＝5E(ξ)＋4＝52.4＋4＝16. 2． 已知拋物線y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的對稱軸在y軸的左側(cè)，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在這些拋物線中，記隨機變量ξ＝|a－b|的取值，則ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)為 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)， ∴－<0，即>0，也就是a，b必須同號， ∴ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P ∴E(ξ)＝0＋1＋2＝. 3． 一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c∈(0,1))，已知他投籃一次得分的均值為2，則＋的最小值為 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由已知得，3a＋2b＋0c＝2， 即3a＋2b＝2，其中0

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