初中數(shù)學(xué)：《精彩拼圖》教案

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1、 精彩拼圖——一節(jié)凸顯“類比、轉(zhuǎn)化”等數(shù)學(xué)思想方法的活動課。 1 教學(xué)目標(biāo)：（1）掌握處理拼圖的必要策略，通過利用面積不變獲取必要信息。 （2）經(jīng)歷拼圖過程，感受類比、從特殊到一般、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，提升分析、解決綜合性問題的能力。 教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷拼圖過程，提升分析、解決綜合性問題的能力。 教學(xué)難點(diǎn)：挑戰(zhàn)題和合作學(xué)習(xí)具有一定的難度，是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)。 2 課堂實(shí)錄 2.1 課堂引入 同學(xué)們，見過這個圖形嗎？它是由21個小正方形拼成的正方形，稱為“完美正方形”！你知道它是怎么拼出來的嗎？老師今天就想和同學(xué)們一

2、起來探索拼圖問題。（出示課題）首先，讓我們來看這樣一個簡單的問題： 2.2 出示問題1 如圖，把兩個11的小正方形剪拼成一個大正方形.(要求剪拼時不留空隙又不重疊) 師：請問如何分割？ 生：沿對角線分割。 師：請問你為什么沿對角線分割？ 生：這樣能分成4個等腰直角三角形，而四個等腰直角三角形可以拼成一個正方形。 師：很好，這位同學(xué)通過直觀觀察發(fā)現(xiàn)四個等腰直角三角形可以拼成一個正方形。在此過程中，形狀發(fā)生了改變，同學(xué)們有沒有發(fā)現(xiàn)不變的量。 生：面積 師：太棒了！面積不變。那面積多少呢? 生：2 師：知道了面積，那正方形的邊長多少呢？ 生： 師

3、：邊長，那小正方形對角線長度多少？ 生： 師：很好，所以在拼圖前，先別急著畫圖，而是可以利用面積不變，先計(jì)算出邊長為，再在原圖中找到的線段。這樣我們就可以有目的的沿對角線進(jìn)行分割。 板書：方法：1.求邊長（面積不變）；2.找邊長。 師：現(xiàn)在，我們已經(jīng)知道兩個大小相等的正方形能拼成一個正方形，那如果兩個正方形的邊長不一樣時，它們還能拼成正方形嗎？請看： 變式1 如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，且邊長分別為 5 和 12 .把這圖形剪拼成一個正方形. A D F E C G B A B C D F G E

4、 請學(xué)生在黑板上畫圖。 教師：請問你是怎么想的？ 生：面積先計(jì)算出來是25+144=169，所以新正方形的邊長應(yīng)該是13，而CD=5,CG=12,所以DG=13. 師:很好，聯(lián)想剛才的拼圖，先計(jì)算邊長，再找出邊長，進(jìn)行了很好的類比,這就是類比的數(shù)學(xué)思想。（板書：類比思想）老師在看大家畫圖的過程中發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)和以下圖形其中的一個相同。 A B D E G C F A D F E G C B H A D F E B G C K A B C D G E F A B C D E F

5、G 現(xiàn)在我們來研究一下是通過怎樣的變換拼成正方形。我們發(fā)現(xiàn)四個圖都可以看成先把小正方形平移到虛線的位置，然后延長較大正方形其中一邊，然后再平移兩個直角邊為5和12的直角三角形就能拼成需要的正方形。由此，我們也可以直接在原圖中延長CE至H，使得EH=5，連結(jié)AH,HF,在CG上截取點(diǎn)K，使得KG=5，連結(jié)AK，可以證明△ADH≌△HEF≌△KGF≌△ABK,也可以證明四邊形AKFH是正方形。那么，任意兩個正方形都能拼成一個正方形嗎？ 學(xué)生4：只需要設(shè)兩個正方形的邊長分別為、，后面拼圖的過程和前面一樣。 教師：非常好，又一次進(jìn)行類比！看來，只要給定兩個正方形，就一定能拼成

6、一個正方形！那么，如果給你一個正方形，一個矩形，它們能拼成一個正方形嗎？請看： 變式2 C D E M H K B A N F G 如圖，正方形ABCD的邊CD在矩形ECGF的邊CE上，B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，且AB=5,CE=6，CG=24，把這圖形剪拼成一個正方形。 E F D G A C B 生：我只能算出拼成的正方形的邊長為13，怎么操作還不知道。 師：請繼續(xù)思考。 生：先沿著矩形中間切一刀，把它拼成一個正方形，這樣就跟剛才情況一樣了。 師：（激動地）噢，可以轉(zhuǎn)化成兩個正方形！好主意！把不會的轉(zhuǎn)化為會的，把陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉

7、的，這就是轉(zhuǎn)化思想（ 板書：轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。）請繼續(xù)挑戰(zhàn)： 變式3 C D E F G B N A H M E F B A D C 如圖，正方形ABCD的邊長為12，等腰Rt△AFE的斜邊AE=10，且邊AD和AE在同一直線上．把這圖形剪拼成一個正方形。 生：作AE邊上的高FG，把等腰直角三角形拼成正方形，后面拼圖的過程和前面一樣。 師：又是轉(zhuǎn)化！一路走來：兩個正方形可拼成一個正方形；一個矩形、一個正方形也可以拼成一個正方形！一個正方形、一個等腰直角三角形也能拼成一個正方形。那么，你還能找到兩個圖形，它們也能拼成正方形嗎？請你畫一畫。 生8

8、：兩個等腰直角三角形。（也許學(xué)生可能會提出兩個矩形） 我找的圖形 E M G C B H F N A 如圖，等腰Rt△AFE的斜邊AE=10 ，等腰Rt△ABC的斜邊AC=24，且邊AE和AC在同一直線上．把這圖形剪拼成一個正方形. C E F B A 師：怎么拼？ 生：把兩個等腰直角三角形先轉(zhuǎn)化成正方形，再類比前面的方法，可以拼成一個正方形。 師：非常好！類比、轉(zhuǎn)化，我們就能解決了！ 師：通過一些圖形的剪拼，我們學(xué)到了解決此類問題的方法是什么？ 生：先利用面積求出邊長，再找到這樣的邊長。 師：好，哪些數(shù)學(xué)思想給了我們很大的幫助？

9、 生：類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。 師：好，帶著這些方法和數(shù)學(xué)思想，我們繼續(xù)挑戰(zhàn)： 2.2 問題2 A B C D E 如圖,把這張由三個邊長為1的小正三角形組成的等腰梯形紙片裁2刀拼成一個等邊三角形. 生：我只能算出拼成的等邊三角形的邊長為，怎么拼還在想。 師：請問你是如何得到等邊三角形的邊長為。 生：利用面積不變，先計(jì)算出等腰梯形的面積為，從而得到等邊三角形的邊長為 師：很好，在這里我們還是利用面積不變，先計(jì)算出等邊三角形的邊長為。那么在這圖中，哪兩個點(diǎn)的距離是？ 生：A、C兩點(diǎn)的距離是。 師：OK，那么請你繼續(xù)思考該如何分割？ 生：小等邊三角形的高為

10、，所以可以先沿著等腰梯形的對角線分割，再沿著等腰梯形的一條高分割，操作如圖： 師：非常好，那如下3個等腰梯形，你們認(rèn)為可以拼成一個等邊三角形嗎？ A B C D E 1 1 1 2 A B C D F 1 1 E 2 1 A B C D 1 1 1 2 生：可以，仍然可以把這圖形轉(zhuǎn)化為剛才的等腰梯形。 師：非常好，“殊圖同歸”！可見，學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵是思想和方法！那我們繼續(xù)挑戰(zhàn)。 2.3 問題3（合作學(xué)習(xí)） 圖1 如圖1是被減去了四分之一圓弧的一部分圓， （1）把圖1剪拼成一個正方形。 （2

11、）若這樣的圖形有兩塊，把這兩個圖形剪拼成一個正方形. （3）若只裁2刀，把這兩個圖形剪拼成一個正方形。 圖1 生：第（1）題學(xué)生黑板操作如下： 生：第（2）題學(xué)生描述操作如下： 再把這兩個正方形按照前面的操作剪拼成一個正方形。 師：非常好，通過轉(zhuǎn)化思想，先拼出兩個正方形，再把這兩個正方形拼成一個大的正方形。 那假如圓的直徑為2，你能得出圖1的面積嗎？為什么？ 生：面積為2，因?yàn)樵瓐D的面積和正方形的面積一樣。而正方形面積算出來是2。 師：你很棒，我們同樣給點(diǎn)掌聲。在這里我們發(fā)現(xiàn)，計(jì)算一個不規(guī)則圖形的面積時，也可以先通過拼成一個規(guī)則圖形再計(jì)算面積，當(dāng)然，有個前提，是比

12、較直觀的能拼出規(guī)則圖形。那第3個問題顯然不是那么容易一下子拼出來，那么你們應(yīng)該怎么思考呢？ 生：第（3）題描述操作如下： 師：你們這組為什么想到沿著直徑進(jìn)行分割？ 生：假如圓的直徑為2，我們先算出兩個圖形的面積和為4，所以拼成的正方形的邊長應(yīng)該為2，所以應(yīng)該沿著直徑分割。 師：你們非常棒，又是通過面積不變，求邊長，找邊長。別的組還有不同的分割方法嗎？ 生：老師，我們的分割如下： 生：老師，我們的分割如下： 生：老師，我們的分割如下： 2.4 課堂小結(jié)： 方法：（1）求邊長（面積不變）（2）找邊長 數(shù)學(xué)思想：類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。 教師：今天，我們拼出了很多圖形，但離完美正方形還有很大的距離，需要我們繼續(xù)努力學(xué) 習(xí)數(shù)學(xué)，才能成就完美的未來！ 同學(xué)們，再見！