331幾何概型學(xué)案（人教A版必修3）

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1、金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng) 3.3幾何概型 人教新課標(biāo)A版 必修三 學(xué)案一 ——幾何概型 學(xué)習(xí)要求 1．了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法（包括計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來進(jìn)行模擬）估計(jì)概率，初步體會(huì)幾何概型的意義； 2．通過閱讀材料，了解人類認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象的過程 學(xué)習(xí)注意 本講內(nèi)容在高考中所占比較輕，縱貫近幾年的高考對(duì)概率要求降低，但本講內(nèi)容使新加內(nèi)容，考試涉及的可能性較大 考試形式： （1）題目類型多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，； （2）本建考試的重點(diǎn)內(nèi)容幾何概型的求值問題，我們要善于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為概率模型處理。 精講要點(diǎn) 1．隨機(jī)數(shù)的概念 隨機(jī)數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，

2、并且得到這個(gè)范圍內(nèi)任何一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)是均等的。 2．隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法 （1）利用函數(shù)計(jì)算器可以得到0~1之間的隨機(jī)數(shù)； （2）在Scilab語言中，應(yīng)用不同的函數(shù)可產(chǎn)生0~1或a~b之間的隨機(jī)數(shù)。 3．幾何概型的概念 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型； 4．幾何概型的概率公式： P（A）=。 5．幾種常見的幾何概型 （1）設(shè)線段l是線段L的一部分,向線段L上任投一點(diǎn).若落在線段l上的點(diǎn)數(shù)與線段L的長度成正比,而與線段l在線段l上的相對(duì)位置無關(guān),則點(diǎn)落在線段l上的概率為： P=l的長度/L的長度 （2）設(shè)平面

3、區(qū)域g是平面區(qū)域G的一部分,向區(qū)域G上任投一點(diǎn),若落在區(qū)域g上的點(diǎn)數(shù)與區(qū)域g的面積成正比,而與區(qū)域g在區(qū)域G上的相對(duì)位置無關(guān),則點(diǎn)落在區(qū)域g上概率為： P=g的面積/G的面積 （3）設(shè)空間區(qū)域上v是空間區(qū)域V的一部分,向區(qū)域V上任投一點(diǎn).若落在區(qū)域v上的點(diǎn)數(shù)與區(qū)域v的體積成正比,而與區(qū)域v在區(qū)域v上的相對(duì)位置無關(guān),則點(diǎn)落在區(qū)域V上的概率為： P=v的體積/V的體積 幾何概型的應(yīng)用例說 　　幾何概型，以其形象直觀的特點(diǎn)，倍受人們青睞．下面舉例說明幾何概型在幾方面的應(yīng)用，以使同學(xué)們感受數(shù)學(xué)美的思維之花． 　　一、與數(shù)有關(guān)的幾何概型 　　例１　在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，求關(guān)于的一元二次

4、方程有實(shí)根的概率． 　　解析：在平面直角坐標(biāo)系中，以軸和軸分別表示的值，因?yàn)槭桥c圖1中正方形內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，即正方形內(nèi)的所有點(diǎn)構(gòu)成全部試驗(yàn)結(jié)果的區(qū)域．設(shè)事件表示方程有實(shí)根，則事件，所對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)閳D1中的陰影部分，且陰影部分的面積為．故由幾何概型公式得，即關(guān)于的一元二次方程有實(shí)根的概率為． 　　二、與形有關(guān)的幾何概型 　　例2　在等腰中，在斜邊上任取一點(diǎn)，求的長小于的長的概率． 　　解析：點(diǎn)隨機(jī)地落在線段上，故線段為試驗(yàn)所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域．在上截取，則當(dāng)點(diǎn)位于圖2中線段上時(shí)，，故線段即為構(gòu)成事件的區(qū)域． 　　于是，即的長小于的長的概率為． 例3 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，射

5、線落在角的 終邊上，任作一條射線，求射線落在內(nèi)的概率． 　　解析：以為起點(diǎn)作射線是隨機(jī)的，因而射線落在任何位置都是等可能的．落在內(nèi)的概率只與的大小有關(guān)，符合幾何概型的條件． 　　記． 　　， 　　，即射線落在內(nèi)的概率為． 　　三、與時(shí)間有關(guān)的幾何概型 　　例4　從甲地到乙地有一班車在到到達(dá)，若某人從甲地坐該班車到乙地轉(zhuǎn)乘到出發(fā)的汽車到丙地去，問他能趕上車的概率是多少？ 　　解析：到達(dá)乙地的時(shí)間是到之間的任一時(shí)刻，某人從乙地轉(zhuǎn)乘的時(shí)間是到之間的任一時(shí)刻，如果在平面直角坐標(biāo)系中用軸表示班車到達(dá)乙地的時(shí)間，軸表示從乙地出發(fā)的時(shí)間，因?yàn)榈竭_(dá)乙地時(shí)間和從乙地出發(fā)的時(shí)間是隨機(jī)的，則試驗(yàn)

6、的全部結(jié)果可看作是邊長為0．5的正方形．設(shè)“他能趕上車”為事件，則事件的條件是，構(gòu)成事件的區(qū)域?yàn)閳D4的陰影部分． 　　由幾何概型公式，得，即他能趕上車的概率為0．875． 　　例5　國家安全機(jī)關(guān)監(jiān)聽錄音機(jī)記錄了兩個(gè)間諜的談話，發(fā)現(xiàn)30min長的磁帶上，從開始30s處起，有10s長的一段內(nèi)容包含間諜犯罪的信息．后來發(fā)現(xiàn)，這段談話的一部分被某工作人員擦掉了，該工作人員聲稱他完全是無意中按錯(cuò)了鍵，使從此處起往后的所有內(nèi)容都被擦掉了．那么由于按錯(cuò)了鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？ 　　解析：包含兩個(gè)間諜談話錄音的部分在30s到40s之間，當(dāng)按錯(cuò)鍵的時(shí)刻在這段時(shí)間之內(nèi)時(shí)，部分被

7、擦掉，當(dāng)按錯(cuò)鍵的時(shí)刻在０到30s之間時(shí)全部被擦掉，即在0到40s之間的時(shí)間段內(nèi)容按錯(cuò)鍵時(shí)，含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉，而0到30min之間的時(shí)間段內(nèi)任一時(shí)刻按錯(cuò)鍵的可能性是相等的，所以按錯(cuò)鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率只與從開始到談話內(nèi)容結(jié)束的時(shí)間段長度有關(guān)． 　　記Ａ＝｛按錯(cuò)鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉了｝，Ａ發(fā)生就是在0到min時(shí)間段內(nèi)按錯(cuò)鍵． 　?。? 　　四、體育運(yùn)動(dòng)中的古典概率 　　例6　在一個(gè)健身房里，用拉力器進(jìn)行鍛煉時(shí)，需要選取2個(gè)質(zhì)量盤裝在拉力器上．有2個(gè)裝質(zhì)量盤的箱子，每個(gè)箱子中都裝有4個(gè)不同的質(zhì)量盤：2．5kg，5kg，10kg和20k

8、g，每次都隨機(jī)的從2個(gè)箱子中各取1個(gè)質(zhì)量盤裝在拉力器上后，再拉動(dòng)這個(gè)拉力器． 　?。?）隨機(jī)的從2個(gè)箱子中各取1個(gè)質(zhì)量盤，共有多少種可能的結(jié)果？用表格列出所有可能的結(jié)果． 　?。?）計(jì)算選取的兩個(gè)質(zhì)量盤的總質(zhì)量分別是下列質(zhì)量的概率：①20kg；②30kg；③不超過10kg；④超過10kg． 　?。?）如果一個(gè)人不能拉動(dòng)超過22kg的質(zhì)量，那么他不能拉開拉力器的概率是多少？ 　　解：（1）第一個(gè)箱子的質(zhì)量盤和第二個(gè)箱子的質(zhì)量盤都可以從4種不同的質(zhì)量盤中任意選取．我們可以用一個(gè)“有序?qū)崝?shù)對(duì)”來表示隨機(jī)選取的結(jié)果．例如，我們用（10，20）來表示：在一次隨機(jī)的選取中，從第一個(gè)箱子中取的質(zhì)量盤

9、是10kg，從第二個(gè)箱子中取的質(zhì)量盤是20kg．表1列出了所有可能結(jié)果． 　　 從表1中可以看出，隨機(jī)的從2個(gè)箱子中各取1個(gè)質(zhì)量盤的所有可能結(jié)果共有16種．由于選取質(zhì)量盤是隨機(jī)的，因此這16種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的，這個(gè)試驗(yàn)屬于古典概型． 　　（2） 　?、儆肁表示事件“選取的兩個(gè)質(zhì)量盤的總質(zhì)量是20kg”，從表2中可以看出，總質(zhì)量為20kg的所有可能結(jié)果只有1種，因此，事件A的概率． 　?、谟肂表示事件“選取的兩個(gè)質(zhì)量盤的總質(zhì)量是30kg”，從表2中可以看出，總質(zhì)量為30kg的所有可能結(jié)果共有2種，因此，事件B的

10、概率． 　?、塾肅表示事件“選取的兩個(gè)質(zhì)量盤的總質(zhì)量不超過10kg”．總質(zhì)量不超過10kg，即總質(zhì)量為5kg，7．5kg，10kg之一，從表2中容易看出，所有可能結(jié)果共有4種，因此，事件C的概率． 　　④用D表示事件“選取的兩個(gè)質(zhì)量盤的總質(zhì)量超過10kg”．總質(zhì)量超過10kg，即總質(zhì)量為12．5kg，15kg，20kg，22．5kg，25kg，30kg，40kg之一，從表2中可以看出，所有可能結(jié)果共有12種，因此，事件D的概率． 　?。?）用E表示事件“不能拉開拉力器”，即總質(zhì)量超過22kg．總質(zhì)量超過22kg是指總質(zhì)量為22．5kg，25kg，30kg，40kg之一．從表2中可以看出，

11、這樣的可能結(jié)果共有7種，因此，不能拉開拉力器的概率． 思維總結(jié) 1．幾何概率是考研大綱上要求的基本內(nèi)容，也是近年來新增考察內(nèi)容之一； 2．有關(guān)幾何概率的題目難度不大，但需要準(zhǔn)確理解題意，利用圖形分析問題。本講將著重介紹如何利用圖形解決幾何概率的相關(guān)問題； 3．學(xué)好幾何概率對(duì)于解決后續(xù)均勻分布的問題有很大幫助。 4．關(guān)于幾何概型： （1）我們是就平面的情形給出幾何概型的，同樣的方法顯然也適用于直線或空間的情形，只需將“面積”相應(yīng)地改變?yōu)椤伴L度”、“體積”； （2）幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點(diǎn)的試驗(yàn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無限多個(gè)等可能的基本結(jié)果，每個(gè)基本結(jié)果可以用平面(或

12、直線、空間)中的一點(diǎn)來表示，而所有基本結(jié)果對(duì)應(yīng)于一個(gè)區(qū)域Ω，這時(shí)，與試驗(yàn)有關(guān)的問題即可利用幾何概型來解決 當(dāng)堂練習(xí)： 1．從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個(gè)，其質(zhì)量小于4.8g的概率為0.3，質(zhì)量小于4.85g的概率為0.32，那么質(zhì)量在[4.8，4.85]（g）范圍內(nèi)的概率是（ ） A．0.62 　　　B．0.38 　　 C．0.02 　　 D．0.68 2．在長為10 cm的線段AB上任取一點(diǎn)P，并以線段AP為邊作正方形，這個(gè)正方形的面積介于25 cm2與49 cm2之間的概率為（ ） A． B． 　C． D．

13、 3．同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤甲得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤乙得到的數(shù)為y，構(gòu)成數(shù)對(duì)（x，y），則所有數(shù)對(duì)（x，y）中滿足xy＝4的概率為（ ） A． 　　　 B． 　　 C． 　　 D． 甲 乙 1 2 3 4 1 2 3 4 4．如圖，是由一個(gè)圓、一個(gè)三角形和一個(gè)長方形構(gòu)成的組合體，現(xiàn)用紅、藍(lán)兩種顏色為其涂色，每個(gè)圖形只能涂一種顏色，則三個(gè)形狀顏色不全相同的概率為（ ） A． 　　　 B． 　　　 C． 　　　 D． 5．兩人相約7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一人20分鐘，過時(shí)離去．則 求兩人會(huì)面的概率為（ ） A． 　　　　　B． 　　　　 　C． 　　　　　　D． 答案：1.B; 2.B; 3.C; 4.A; 5.C; 第 7 頁 共 7 頁 金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)