2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué)（人教A版必修二）第1章 1.3.2 課時(shí)作業(yè)（含答案）

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1、 1.3.2　球的體積和表面積 【課時(shí)目標(biāo)】　1．了解球的體積和表面積公式．2．會(huì)用球的體積和表面積公式解決實(shí)際問(wèn)題．3．培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和思維能力． 1．球的表面積 設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S＝________，即球的表面積等于它的大圓面積的________倍． 2．球的體積 設(shè)球的半徑為R，則球的體積V＝________． 一、選擇題 1．一個(gè)正方體與一個(gè)球表面積相等，那么它們的體積比是(　　) A． B． C． D． 2．把球的表面積擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，那么體積擴(kuò)

2、大到原來(lái)的(　　) A．2倍 B．2倍 C．倍 D．倍 3．正方體的內(nèi)切球和外接球的體積之比為(　　) A．1∶ B．1∶3 C．1∶3 D．1∶9 4．若三個(gè)球的表面積之比為1∶2∶3，則它們的體積之比為(　　) A．1∶2∶3 B．1∶∶ C．1∶2∶3 D．1∶4∶7 5．長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為3,4,5，且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為(　　) A．25π

3、 B．50π C．125π D．以上都不對(duì) 6．一個(gè)圓錐與一個(gè)球的體積相等，圓錐的底面半徑是球半徑的3倍，圓錐的高與球半徑之比為(　　) A．4∶9 B．9∶4 C．4∶27 D．27∶4 二、填空題 7．毛澤東在《送瘟神》中寫(xiě)到：“坐地日行八萬(wàn)里”．又知地球的體積大約是火星的8倍，則火星的大圓周長(zhǎng)約________萬(wàn)里． 8．將一鋼球放入底面半徑為3 cm的圓柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，則鋼球的半徑是________． 9．(1)表面積相等的正方體和球中，體積較大的幾何體是___

4、_____； (2)體積相等的正方體和球中，表面積較小的幾何體是________． 三、解答題 10．如圖所示，一個(gè)圓錐形的空杯子上放著一個(gè)直徑為8 cm的半球形的冰淇淋，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種這樣的圓錐形杯子(杯口直徑等于半球形的冰淇淋的直徑，杯子壁厚忽略不計(jì))，使冰淇淋融化后不會(huì)溢出杯子 - 2 - / 6 ，怎樣設(shè)計(jì)最省材料？ 11．有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時(shí)容器中水的深度． 能力提升 12．

5、已知棱長(zhǎng)都相等的正三棱錐內(nèi)接于一個(gè)球，某學(xué)生畫(huà)出了四個(gè)過(guò)球心的平面截球與三棱錐所得的圖形，如圖所示，則(　　) A．以上四個(gè)圖形都是正確的 B．只有(2)(4)是正確的 C．只有(4)是錯(cuò)誤的 D．只有(1)(2)是正確的 13．有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱相切，第三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比． 1．利用球的半徑、球心到截面圓的距離、截面圓的半徑可構(gòu)成直角三角形，進(jìn)行相關(guān)計(jì)算． 2．解決球與其他幾何體的切接問(wèn)題，通常作截面，將球與幾何體的各量體現(xiàn)在

6、平面圖形中，再進(jìn)行相關(guān)計(jì)算． 3．解答組合體問(wèn)題要注意知識(shí)的橫向聯(lián)系，善于把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，運(yùn)用方程思想與函數(shù)思想解決，融計(jì)算、推理、想象于一體． 1．3．2　球的體積和表面積 答案 知識(shí)梳理 1．4πR2　4　2．πR3 作業(yè)設(shè)計(jì) 1．A　[先由面積相等得到棱長(zhǎng)a和半徑r的關(guān)系a＝r，再由體積公式求得體積比為．] 2．B　[由面積擴(kuò)大的倍數(shù)可知半徑擴(kuò)大為原來(lái)的倍，則體積擴(kuò)大到原來(lái)的2倍．] 3．C　[關(guān)鍵要清楚正方體內(nèi)切球的直徑等于棱長(zhǎng)a，外接球的直徑等于a．] 4．C　[由表面積之比得到半徑之比為r1∶r2∶r3＝1∶∶，從而得體積之比為V1

7、∶V2∶V3＝1∶2∶3．] 5．B　[外接球的直徑2R＝長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)＝(a、b、c分別是長(zhǎng)、寬、高)．] 6．A　[設(shè)球半徑為r，圓錐的高為h，則π(3r)2h＝πr3，可得h∶r＝4∶9．] 7．4 解析　地球和火星的體積比可知地球半徑為火星半徑的2倍，日行8萬(wàn)里指地球大圓的周長(zhǎng)，即2πR地球＝8，故R地球＝(萬(wàn)里)，所以火星的半徑為萬(wàn)里，其大圓的周長(zhǎng)為4萬(wàn)里． 8．3 cm 解析　設(shè)球的半徑為r，則36π＝πr3，可得r＝3 cm． 9．(1)球　(2)球 解析　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為r． (1)當(dāng)6a2＝4πr2時(shí)，V球＝πr3＝a3>a3＝V正方體；

8、(2)當(dāng)a3＝πr3時(shí)，S球＝4πr2＝6a2<6a2＝S正方體． 10．解　要使冰淇淋融化后不會(huì)溢出杯子，則必須 V圓錐≥V半球，V半球＝πr3＝π43， V圓錐＝Sh＝πr2h＝π42h． 依題意：π42h≥π43，解得h≥8． 即當(dāng)圓錐形杯子杯口直徑為8 cm，高大于或等于8 cm時(shí)，冰淇淋融化后不會(huì)溢出杯子． 又因?yàn)镾圓錐側(cè)＝πrl＝πr， 當(dāng)圓錐高取最小值8時(shí)，S圓錐側(cè)最小，所以高為8 cm時(shí)， 制造的杯子最省材料． 11．解　由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，如圖所示為圓錐的軸截面． 根據(jù)切線(xiàn)性質(zhì)知，當(dāng)球在容器內(nèi)時(shí)，水深為3r，水面的半徑為r，則容器

9、內(nèi)水的體積為V＝V圓錐－V球＝π(r)23r－πr3＝πr3，而將球取出后，設(shè)容器內(nèi)水的深度為h，則水面圓的半徑為h，從而容器內(nèi)水的體積是V′＝π(h)2h＝πh3，由V＝V′，得h＝r． 即容器中水的深度為r． 12．C　[正四面體的任何一個(gè)面都不能外接于球的大圓(過(guò)球心的截面圓)．] 13．解　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a．如圖所示． ①正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是正方體六個(gè)面的中心，經(jīng)過(guò)四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面，所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr＝πa2． ②球與正方體的各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn)，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面，2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2． ③正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面，所以有2r3＝a， r3＝a，所以S3＝4πr＝3πa2． 綜上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3． 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！