【志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】（山東專用）2014屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章解析幾何9.2點(diǎn)與直線、直線與直線的位置關(guān)系教學(xué)案 理 新人教A版

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1、 9.2　點(diǎn)與直線、直線與直線的位置關(guān)系 考綱要求 1．能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直． 2．能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)． 3．掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離． 1．兩直線的位置關(guān)系 平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系包括平行、相交、重合三種情況． (1)兩直線平行 對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， l1∥l2?________________. 對于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1∥l2?________________________

2、__. (2)兩直線垂直 對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， l1⊥l2?k1k2＝____. 對于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1⊥l2?____________. 2．兩直線的交點(diǎn) 設(shè)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，將這兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則l1與l2____，此解就是兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無解，則l1與l2____；若方程組有無數(shù)個解，則l1與l2____. 3．有關(guān)距離 (1)兩點(diǎn)間的距離 平面上兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y

3、2)間的距離|P1P2|＝________________________. (2)點(diǎn)到直線的距離 平面上一點(diǎn)P(x0，y0)到一條直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝____________. (3)兩平行線間的距離 已知l1，l2是平行線，求l1，l2間距離的方法： ①求一條直線上一點(diǎn)到另一條直線的距離； ②設(shè)l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則l1與l2之間的距離d＝________. 4．對稱問題 (1)中點(diǎn)坐標(biāo)公式 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為____________． (2)中心對稱 若點(diǎn)M(x1，y1)及

4、N(x，y)關(guān)于P(a，b)對稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得________________． (3)軸對稱 若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，則線段P1P2的中點(diǎn)在對稱軸l上，而且連接P1，P2的直線垂直于對稱軸l.由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2)． 1．過點(diǎn)(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是(　　)． A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 2．已知點(diǎn)P在直線x＋2y＝5上，且點(diǎn)Q(1,1)，則|PQ|的最

5、小值為(　　)． A． B． C． D． 3．若直線ax＋y＋5＝0與x－2y＋7＝0垂直，則a的值為(　　)． A．2 B． C．－2 D．－ 4．若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一點(diǎn)，則b＝(　　)． A．－1 B．－ C．2 D． 5．與直線7x＋24y－5＝0平行，并且到它的距離為4的直線方程是__________． 一、兩直線的平行 【例1】直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行，則m的值為(　　)． A．2

6、B．－3 C．2或－3 D．－2或－3 方法提煉 1．判定兩直線平行的方法： (1)判定兩直線的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1＝k2，且b1≠b2，則兩直線平行；若斜率都不存在，還要判定是否重合． (2)直接用以下方法，可避免對斜率是否存在進(jìn)行討論： 設(shè)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0. 2．與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋m＝0(m≠C)，這也是經(jīng)常采用的解題技巧． 請做演練鞏固提升2 二、兩直線的垂直 【例2】若直線x－2y＋5＝0

7、與直線2x＋my－6＝0互相垂直，則實(shí)數(shù)m＝__________. 方法提煉 1．判定兩直線垂直的方法： (1)判定兩直線的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1k2＝－1，則兩直線垂直；若一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0，兩直線也垂直． (2)直接用以下方法，可避免對斜率是否存在進(jìn)行討論：設(shè)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0. 2．與Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋m＝0，這也是經(jīng)常采用的解題技巧． 請做演練鞏固提升1 三、距離公式的應(yīng)用 【例3】已知點(diǎn)A(2，－1)， (

8、1)求過點(diǎn)A且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程； (2)求過點(diǎn)A且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？ (3)是否存在過點(diǎn)A且與原點(diǎn)距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在．請說明理由． 方法提煉 運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式時，需把直線方程化為一般式；運(yùn)用兩平行線的距離公式時，需先把兩平行線方程中x，y的系數(shù)化為相同的形式． 請做演練鞏固提升4 四、對稱問題 【例4】已知直線l1：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求： (1)點(diǎn)A關(guān)于直線l1的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)； (2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l1的對稱直線l2的方程； (3)直線l1關(guān)于點(diǎn)A對稱的直線l

9、3的方程． 方法提煉 1．在對稱問題中，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱是最基本也是最重要的對稱．處理這種問題關(guān)鍵是抓住垂直與平分兩個幾何條件，轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系列方程求解；線關(guān)于線的對稱問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題來解決；直線關(guān)于點(diǎn)的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱來處理，結(jié)合“代入法”求軌跡方程的思想方法解題也是這類問題的一個通法． 2．求與距離有關(guān)的最值問題，一般是通過作圖，轉(zhuǎn)化為對稱問題加以解決． 請做演練鞏固提升3 直線中的新概念問題 【典例】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，定義[OP]＝|x|＋|y|，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)． 對于以下結(jié)論：①符合[OP]＝1的點(diǎn)P的軌跡圍成的圖形

10、的面積為2； ②設(shè)P為直線x＋2y－2＝0上任意一點(diǎn)，則[OP]的最小值為1； 其中正確的結(jié)論有__________(填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號)． 解析：①根據(jù)新定義，討論x的取值，得到y(tǒng)與x的分段函數(shù)關(guān)系式，畫出分段函數(shù)的圖象，即可求出該圖形的面積；②認(rèn)真觀察直線方程，可舉一個反例，得到[OP]的最小值為1是假命題． ①由[OP]＝1，根據(jù)新定義得：|x|＋|y|＝1，上式可化為：y＝－x＋1(0≤x≤1)，y＝－x－1(－1≤x≤0)，y＝x＋1(－1≤x≤0)，y＝x－1(0≤x≤1)，畫出圖象如圖所示： 根據(jù)圖形得到：四邊形ABCD為邊長是的正方形，所以面積等于2，

11、故①正確； ②當(dāng)點(diǎn)P為時，[OP]＝|x|＋|y|＝＋0＜1，所以[OP]的最小值不為1，故②錯誤；所以正確的結(jié)論有：①. 答案：① 答題指導(dǎo)：1．本題有以下兩處創(chuàng)新點(diǎn) (1)考查內(nèi)容的創(chuàng)新，使解析幾何問題與函數(shù)知識巧妙結(jié)合進(jìn)行考查． (2)考查對新定義、新概念的理解與運(yùn)用，同時考查思維的創(chuàng)新，本題考查了學(xué)生的發(fā)散思維，思維方向與習(xí)慣思維不同． 2．解決新概念、新定義的創(chuàng)新問題時，要注意以下幾點(diǎn)： (1)充分理解概念、定理的內(nèi)涵與外延； (2)對于新概念、新結(jié)論要具體化，舉幾個具體的例子，代入幾個特殊值； (3)注意新概念、新結(jié)論正用怎樣，逆用又將如何，變形將會如何．

12、1．與直線3x＋4y＋1＝0垂直且過點(diǎn)(2,1)的直線l的方程為__________． 2．直線x＋ay＋3＝0與直線ax＋4y＋6＝0平行的充要條件是a＝__________. 3．如圖，已知A(4,0)，B(0,4)，從點(diǎn)P(2,0)射出的光線被直線AB反射后，再射到直線OB上，最后經(jīng)OB反射回到P點(diǎn)，則光線經(jīng)過的路程是__________． 4．若P(a，b)在直線x＋y＋1＝0上，求的最小值． 5．(1)在直線l：3x－y－1＝0上求一點(diǎn)P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大； (2)在直線l：3x－y－1＝0上求一點(diǎn)Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的

13、距離之和最?。? 參考答案 基礎(chǔ)梳理自測 知識梳理 1．(1)k1＝k2且b1≠b2　A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0　(2)－1　A1A2＋B1B2＝0 2．相交　平行　重合 3．(1) (2)　(3)② 4．(1) (2) 基礎(chǔ)自測 1．A　解析：∵所求直線與直線x－2y－2＝0平行， ∴所求直線的斜率為，方程為y－0＝(x－1)，即x－2y－1＝0. 2．D　解析：根據(jù)題意知，|PQ|的最小值為點(diǎn)Q到直線x＋2y＝5的距離． 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得＝＝. 3．A　解析：∵兩直線垂直， ∴a1＋1(－2)＝a－2＝0. ∴a＝2. 4．

14、B　解析：解方程組得 ∴三條直線交于點(diǎn)(－1，－2)． ∴－1－2b＝0，即b＝－. 5．7x＋24y＋95＝0或7x＋24y－105＝0 解析：設(shè)所求直線方程為7x＋24y＋c＝0， 則d＝＝4， ∴c＝95或c＝－105. ∴所求直線方程為7x＋24y＋95＝0或7x＋24y－105＝0. 考點(diǎn)探究突破 【例1】C　解析：(方法一)當(dāng)m＝－1時，l1：2x＋4＝0，l2：－x＋3y－2＝0，顯然l1與l2不平行； 當(dāng)m≠－1時，因?yàn)閘1∥l2，所以應(yīng)滿足－＝－且－≠，解得m＝2或m＝－3. (方法二)若l1∥l2，需23－m(m＋1)＝0，解得m＝－3或m＝2. 當(dāng)

15、m＝－3或2時，－2(m＋1)－12≠0. ∴m＝－3或2為所求． 【例2】1　解析：(方法一)當(dāng)m＝0時，l1：x－2y＋5＝0，l2：2x－6＝0不垂直；當(dāng)m≠0時，因?yàn)閘1⊥l2，則＝－1，則m＝1. (方法二)若l1⊥l2， 則12＋(－2)m＝0. ∴m＝1. 【例3】解：(1)由過點(diǎn)A的直線l與原點(diǎn)距離為2，而點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，－1)，可知當(dāng)斜率不存在時，直線l的方程為x＝2，此時，原點(diǎn)到直線l的距離為2，符合題意； 當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0， 由已知得＝2，解得k＝， 此時直線l的方程為3x－4y－10＝0，

16、 綜上可知：直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0. (2)過點(diǎn)A與原點(diǎn)O距離最大的直線是過點(diǎn)A與AO垂直的直線， 由l⊥AO，得klkOA＝－1， 所以kl＝－＝2. 由直線的點(diǎn)斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，即直線2x－y－5＝0是過點(diǎn)A且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，最大距離是＝. (3)由(2)可知，過點(diǎn)A不存在到原點(diǎn)距離超過的直線，因此不存在過點(diǎn)A且與原點(diǎn)距離為6的直線． 【例4】解：(1)設(shè)A′(x，y)， 由已知得 解得 故A′. (2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M關(guān)于l1的對稱點(diǎn)必在l2上． 設(shè)對稱點(diǎn)為M′(a，b)， 則由

17、 得M′. 設(shè)m與l1的交點(diǎn)為N， 由得N(4,3)． 又l2過N點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得直線l2的方程為9x－46y＋102＝0. (3)(方法一)在l1：2x－3y＋1＝0上任取兩點(diǎn)，如M(1,1)，N(4,3)． 則M，N關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)M′，N′均在直線l3上． 易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由兩點(diǎn)式可得l3的方程為2x－3y－9＝0. (方法二)∵l1∥l3，∴可設(shè)l3的方程為2x－3y＋c＝0(c≠1)． ∵點(diǎn)A到兩直線的距離相等，∴由點(diǎn)到直線的距離公式得＝，得c＝－9， ∴l(xiāng)3的方程為2x－3y－9＝0. (方法三)設(shè)P(x，y)是l3上任一點(diǎn)，則P(x

18、，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對稱點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y)． ∵P′在直線l1上， ∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0. 整理得2x－3y－9＝0. 演練鞏固提升 1．4x－3y－5＝0　解析：(方法一)易知直線l的斜率存在， 設(shè)直線l的斜率為k， ∵l與直線3x＋4y＋1＝0垂直， ∴k＝. 又直線l過點(diǎn)(2,1)， 所以直線l的方程為y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0. (方法二)設(shè)直線l的方程為4x－3y＋c＝0， 由l過點(diǎn)(2,1)， ∴42－31＋c＝0， ∴c＝－5. ∴直線l的方程為4x－3y－5＝0. 2．－2　解析：直線x＋a

19、y＋3＝0與直線ax＋4y＋6＝0平行?a2＝4且≠?a＝－2. 3．2　解析：P關(guān)于直線AB：x＋y＝4的對稱點(diǎn)P1(4,2)，P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P2(－2,0)， 則|P1P2|＝＝2為所求． 4．解：∵＝，可看成是點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)(1,1)之間的距離． 又∵點(diǎn)P是直線x＋y＋1＝0上任一點(diǎn)， ∴即是點(diǎn)(1,1)與直線x＋y＋1＝0上任一點(diǎn)之間的距離． 因此，點(diǎn)(1,1)到直線x＋y＋1＝0的距離即是的最小值． 由于點(diǎn)(1,1)到直線x＋y＋1＝0的距離為d＝＝， 故的最小值為. 5．解：(1)如圖甲所示，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)為B′，連接AB′并延長交l于P，此時的

20、P滿足|PA|－|PB|的值最大． 圖甲 設(shè)B′的坐標(biāo)為(a，b)， 則kBB′kl＝－1， 即3＝－1. ∴a＋3b－12＝0.① 又由于線段BB′的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且在直線l上， ∴3－－1＝0，即3a－b－6＝0.② ①②聯(lián)立，解得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)． 于是AB′的方程為＝， 即2x＋y－9＝0. 解方程組得 即l與AB′的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(2,5)． (2)如圖乙所示，設(shè)C關(guān)于l的對稱點(diǎn)為C′，連接AC′交l于點(diǎn)Q，此時的Q滿足|QA|＋|QC|的值最?。? 圖乙 設(shè)C′的坐標(biāo)為(x′，y′)， ∴ 解得∴C′. 由兩點(diǎn)式得直線AC′的方程為＝，即19x＋17y－93＝0. 解方程組得 ∴所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)為. 8