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1、
山東省泰安市肥城市第三中學(xué)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 函數(shù)與方程教案
學(xué)習(xí)內(nèi)容
學(xué)習(xí)指導(dǎo)
即時感悟
學(xué)習(xí)目標(biāo):
1、結(jié)合二次函數(shù)的圖像,了解函數(shù)的零點與方程的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性和根的個數(shù)。
2、根據(jù)函數(shù)的圖像,能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解。
3、體會數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論的數(shù)學(xué)思想。
學(xué)習(xí)重點:函數(shù)的零點與方程的聯(lián)系,用二分法求相應(yīng)方程的近似解。
學(xué)習(xí)難點:理解函數(shù)的零點與方程的聯(lián)系,用二分法求相應(yīng)方程的近似解。
回顧﹒預(yù)習(xí)
1.函數(shù)的零點
(1)函數(shù)零點的定義
對于函數(shù)y=f(x)(x∈D),把使 成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x
2、)(x∈D)的零點.
(2)幾個等價關(guān)系
方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與 有交點?函數(shù)y=f(x)有 .
(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有 ,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,即存在c∈(a,b),使得 ,這個c也就是f(x)=0的根.
2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點的關(guān)系
⊿>0
⊿=0
⊿<0
y=ax2+bx+c(a>0)的圖像
與x軸的
3、交點
零點個數(shù)
3.二分法
(1)二分法的定義
對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且 的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間 ,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近 ,進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法.
(2)用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟:
課前自測
1.若函數(shù)f(x)=ax-b(b≠0)有一個零點3,那么函數(shù)g(x)=bx2+3ax的零點是 ( C )
A.0 B.-1 C.0,-1
4、 D.0,1
2.函數(shù)圖象與x軸均有交點,但不宜用二分法求交點橫坐標(biāo)的是( B )
3、方程的解所在區(qū)間( B )
A (0,1) B (1,2) C (2,3) D(3,4)
4、函數(shù)的零點個數(shù) ( C )
A 0 B 1 C 2 D無零點
5、用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根,取區(qū)間的中點=2.5,則下一個有根區(qū)間是 (2,2.5)。
6、函數(shù)f(x)=lgx-的零點所在的區(qū)間是( B )
A.(0,1] B.(1,10) C.(10,
5、100) D.(100,+∞)
7、若函數(shù)f(x)=ax2-x-1僅有一個零點,則實數(shù)a的取值是_0或_0.25_
自主﹒合作﹒探究
函數(shù)、方程間有著密不可分的聯(lián)系,對函數(shù)是否存在的零點,有多少個零點的判斷自然會涉及到函數(shù)及其圖像、性質(zhì),這是學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的;函數(shù)的零點,二分法是新課標(biāo)新增的內(nèi)容,高考證會有一定的體現(xiàn);這部分內(nèi)容多以客觀題形式出現(xiàn),屬于低檔題。
例1、求方程的一個近似解,(精確度0.1)
解析:用二分法:
當(dāng)x=0時,2x^3+3x-3=-3<0
當(dāng)x=1時,2x^3+3x-3=2>0
所以取x=(0+1)/2=0.5,代入得:
2x^3+3x-
6、3=-1.25<0
取x=(0.5+1)/2=0.75代入得:
2x^3+3x-3=0.09375>0
取x=(0.5+0.75)/2=0.625代入得:
2x^3+3x-3=0.6367---<0
顯然,精確度
要求為0.1時可取x=0.7作為方程的一個近似解
例2.判斷方程在內(nèi)實數(shù)解的存在性,以及解得個數(shù),并說明理由.
解析:利用導(dǎo)數(shù)判斷出f(x)是增函數(shù),
又f(1)=-10<0
f(2)=19>0
所以x0(1,2)
即函數(shù)只有一個解。
例3、對函數(shù),若存在使得成立,則稱為的不動點。已知函數(shù)= (a≠0)
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的不
7、動點。
(2)若對任意實數(shù)b,函數(shù)恒有兩個相異的不動點,求a的范圍。
解析:設(shè)y=f(x)
不動點F(x0)=x0實際上就是函數(shù)y=f(x)圖像與y=x的交點。
1. 當(dāng)a=1,b=2時,
y=F(X)=aX^2 +(b+1)X+(b-1)=x^2+3x+1
y=x
解得x=-1,y=-1
2. f(x)=ax^2 +(b+1)x+(b-1)=x
ax^2 +bx+(b-1)=0
由題,此方程有2個不同實數(shù)解,即Δ>0
b^2-4*a*(b-1)>0
b^2-4ab+4a>0
若使得上式恒成立,即關(guān)于b的二次函數(shù)b^2-4ab+4a最小值大于0
即 (4*4a-
8、4a*4a)/4=4a-4a^2>0
解不等式a<0或a>4
例4、已知函數(shù)的一個零點比1大,一個零點比1小.求實數(shù)
的取值范圍.
解析:f(1)<0
解得: a
當(dāng)堂達(dá)標(biāo)
1.函數(shù)f(x)=的零點有( B )
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
2.偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,a](a>0)上是單調(diào)函數(shù),且f(0)f(a)<0,則方程f(x)=0在區(qū)間[-a,a]內(nèi)根的個數(shù)是( B )
A.3 B.2 C.1 D.0
3.函數(shù)f(x)=ln x+2x-1零點的
9、個數(shù)為( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.方程的解的個數(shù) 1個 。
5.若已知f(a)<0,f(b)>0,則下列說法中正確的是( B )
A.f(x)在(a,b)上必有且只有一個零點
B.f(x)在(a,b)上必有正奇數(shù)個零點
C.f(x)在(a,b)上必有正偶數(shù)個零點
D.f(x)在(a,b)上可能有正偶數(shù)個零點,也可能有正奇數(shù)個零點,還可能沒有零點
6.若函數(shù)f(x)=x2+ax+b的兩個零點是-2和3,則不等式af(-2x)>0的解集是________
反思﹒提升
拓展、延伸
1.已知函數(shù)
10、 ①m為何值時,函數(shù)與x軸有兩個交點?
②若函數(shù)的一個零點比1大,一個零點比1小,求m的范圍。
解析:若2(m+1)=0 則函數(shù)為一次函數(shù),圖象與x軸至多有1個交點,所以2(m+1)不等于0
當(dāng)2(m+1)不等于0時,函數(shù)為二次,當(dāng)△=(4m)^2-8(m+1)(2m-1)>0時,與x軸有兩個交點, 即-m+1>0 m<1
m的范圍是m<1且m不等于-
2、若二次函數(shù)的圖象與兩端點為,的線段有兩個不同的交點,求的取值范圍.
令f(x)=x2-(m+1)x+4,則二次函數(shù)f(x)在x∈[0,3]上有兩個實根,
故有:
解得:3<m≤,
故m的取值范圍是(3,].
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