數(shù)學(xué)分析試題
第二章 函數(shù)
1 函數(shù)概念
1． 證明下列不等式：
(1) ；
(2) ；
(3) .
2．求證 .
3．求證
；
.
4．已知三角形的兩條邊分別為和，它們之間的夾角為，試求此三角形的面，并求其定義域.
5．在半徑為的球內(nèi)嵌入一內(nèi)接圓柱，試將圓柱的體積表為其高的函數(shù)，并求此函數(shù)的定義域.
6．某公共汽車路線全長(zhǎng)為 20km，票價(jià)規(guī)定如下：乘坐 5km以下（包括5km）者收費(fèi) 1 元；超過(guò) 5km 但在15km 以下（包括 15km）者收費(fèi) 2 元；其余收費(fèi) 2 元 5 角. 試將票價(jià)表為路程的函數(shù)，并作出函數(shù)的圖形.
7．一脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)三角波. 若記它隨時(shí)間的變化規(guī)律為，且三個(gè)角分別有對(duì)應(yīng)關(guān)系，，，求，并作出函數(shù)的圖形.
8．判別下列函數(shù)的奇偶性：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
9．判別下列函數(shù)是否是周期函數(shù)，若是，試求其周期：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
10．證明 在 有界.
11．用肯定語(yǔ)氣敘述函數(shù)無(wú)界，并證明在無(wú)界.
12．試證兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的乘積是奇函數(shù).
13．設(shè)為定義在內(nèi)的任何函數(shù)，證明可分解成奇函數(shù)和偶函數(shù)之和.
14．用肯定語(yǔ)氣敘述：在上
(1) 不是奇函數(shù)；
(2) 不是單調(diào)上升函數(shù)；
(3) 無(wú)零點(diǎn)；
(4) 無(wú)上界.
2 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)
1． 設(shè)，求證 .
2． 求下列函數(shù)的反函數(shù)及其定義域：
(1) ；
(2) ；
(3)
3．設(shè)，為實(shí)軸上單調(diào)函數(shù)，求證也是實(shí)軸上的單調(diào)函數(shù).
4．設(shè)
求復(fù)合函數(shù)，.
5．設(shè) ，求.
6．設(shè) ，試求.
7．設(shè) ，求，，.
3 初等函數(shù)
1．對(duì)下列函數(shù)分別討論函數(shù)的定義域和值域，奇偶性，周期性，有界性，并作出函數(shù)的圖形：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ； (6) .
2．若已知函數(shù)的圖形，作函數(shù)
，，
的圖形，并說(shuō)明的圖形與的圖形的關(guān)系.
3．若已知函數(shù)的圖形，試作函數(shù)
的圖形，并說(shuō)明的圖形與、圖形的關(guān)系.
4． 作出下列函數(shù)的圖形：
(1) ； (2) .
5．符號(hào)函數(shù)
試分別作出，，的圖形.
6．作出下列函數(shù)的圖形：
(1) ； (2) .
第三章 極限與函數(shù)的連續(xù)性
1 極限問(wèn)題的提出
2 數(shù)列的極限
1． 用定義證明下列數(shù)列的極限為零：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9) ；
(10) .
2．用定義證明：
(1) ；
(2) ；
(3) ，其中
(4) ，其中
3．用定義證明：
(1) 若，則對(duì)任一正整數(shù)，有；
(2) 若，則.反之是否成立？
(3) 若，且，則存在，當(dāng)時(shí)，有；
(4) 若，且，則.
4．極限的定義改成下面形式是否可以？（其中“”是邏輯符號(hào)，表示“存在”.）
(1) ，，當(dāng)時(shí),有；
(2) ，，當(dāng)時(shí),有；
(2) ，，當(dāng)時(shí),有（為常數(shù)）.
5．若 收斂，能否斷定、也收斂？
6．設(shè) ，且，求證：
，.
7．利用極限的四則運(yùn)算法則求極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
8．求下列極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ，；
(9) ；
(10) ；
(11) ；
(12) .
9．證明：若，中一個(gè)是收斂數(shù)列，另一個(gè)是發(fā)散數(shù)列，則是發(fā)散數(shù)列；又問(wèn)和是否也是發(fā)散數(shù)列？為什么？
10．設(shè)，證明發(fā)散.
11．若為個(gè)正數(shù)，證明：
.
12．設(shè)，證明：
(1) ；
(2) 若，則.
13．利用單調(diào)有界原理，證明存在，并求出它：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
14．若
證明：.
15．證明：若，且，.
16．設(shè)，證明：
(1) ；（又問(wèn)，它的逆命題成立否？）
(2) 若，則.
17．應(yīng)用上題的結(jié)果證明下列各題：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) 若，則.
18．用定義證明下列數(shù)列為無(wú)窮大量：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
19．證明：若為無(wú)窮大量，為有界變量，則為無(wú)窮大量.
20．(1) 兩個(gè)無(wú)窮大量的和的極限如何？試討論各種可能性？
(2)討論無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的和、差、商的極限的情形；
(3)討論無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的乘積可能發(fā)生的各種情形.
21．利用，求下列極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
3 函數(shù)的極限
1．用極限定義證明下列極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9) ；
(10) .
2．用極限的四則運(yùn)算法則求下列極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) （為正整數(shù)）；
(8) .
3．設(shè)，證明：若，則，其中正整數(shù).
4．證明：若，則，但反之不真.
5．求下列函數(shù)字所示點(diǎn)的左右極限：
(1) 在；
(2) 在；
(3) 在；
(4) 在，是正整數(shù)；
(5) 在.
6．求下列極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) .
7．用變量替換求下列極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
8．設(shè)在上單調(diào)上升，，若，求證：
（可以為無(wú)窮）.
9．設(shè)在集合上定義，則在上無(wú)界的充要條件是：存在
，使.
10．利用重要極限求極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9) ；
(10) ；
(11) ；
(12) ；
(13) ；
(14) ；
(15) ；
(16) ；
(17) ；
(18) ；
(19) ；
(20) ；
(21) ；
(22) ；
(23) ；
(24) .
11．證明不存在 .
12．證明不存在，其中
13．求極限
.
14．用定義證明：
(1) 若，，則；
(2) 若，，則.
15．若，，證明：.
16．證明的充要條件是：對(duì)任何數(shù)列，有
.
17．證明的充要條件是：對(duì)任何數(shù)列，有
.
18．設(shè)函數(shù)在上滿足方程，且，證明：
.
4 函數(shù)的連續(xù)性
1． 用定義證明下列函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
2．指出下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并說(shuō)明其類型：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9)
(10)
(11)
(12)
3．當(dāng)時(shí)下列函數(shù)無(wú)定義，試定義的值，使在連續(xù)：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
4．設(shè)是連續(xù)函數(shù)，證明對(duì)任何，函數(shù)
是連續(xù)的.
5．若在點(diǎn)連續(xù)，那么和是否也在點(diǎn)連續(xù)？反之如何？
6．若函數(shù)字點(diǎn)連續(xù)，而在點(diǎn)不連續(xù)，問(wèn)此二函數(shù)的和、積在點(diǎn)是否連續(xù)？又若和在點(diǎn)都不連續(xù)，問(wèn)此二函數(shù)的和、積在點(diǎn)是否必不連續(xù)？
7．證明若連續(xù)函數(shù)在有理點(diǎn)的函數(shù)值為0，則此函數(shù)恒為0.
8．若在連續(xù)，恒正，按定義證明在連續(xù).
9．若和都在連續(xù)，試證明和都在連續(xù).
10．證明：設(shè)為區(qū)間上單調(diào)函數(shù)，若為的間斷點(diǎn)，則必是的第一類間斷點(diǎn).
11．若在,，則在中必有，使得
.
12．研究復(fù)合函數(shù)和的連續(xù)性. 設(shè)
(1) ；
(2) .
13．證明：若在連續(xù)，且不存在，使，則在恒正或恒負(fù).
14．設(shè)為上的遞增函數(shù)，值域?yàn)?，證明在上連續(xù).
15．設(shè)在上連續(xù)，且，若，.求證：
(1) 存在；
(2) 設(shè)，則；
(3) 如果將條件改為，則.
16．求下列極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
17．證明方程有且只有一個(gè)實(shí)根.
5 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的比較
1． 當(dāng)時(shí)，以為標(biāo)準(zhǔn)求下列無(wú)窮小量的階：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ;
(5) ；
(6) ；
(7) ;
(8) .
2．當(dāng)時(shí)，以為標(biāo)準(zhǔn)求下列無(wú)窮大量的階：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) .
3．當(dāng)時(shí)，下列等式成立嗎？
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) .
4．試證下列各題：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) .
5．證明下列各式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) .
6．運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量求極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
7．設(shè)，證明：
或.
8．設(shè)時(shí)，與維等價(jià)無(wú)窮小，與是等價(jià)無(wú)窮大，且
存在，求證
.
第四章 微商與微分
1 微商概念及其計(jì)算
1．求拋物線在點(diǎn)和點(diǎn)的切線方程和法線方程．
2．若，求
（1）在之間的平均速度（設(shè)）；
（2）在的瞬時(shí)速度．
3．試確定曲線在哪些點(diǎn)的切線平行于下列直線：
（1）；
（2）．
4．設(shè)
試確定的值，使在處可導(dǎo)．
5．求下列曲線在指定點(diǎn)P的切線方程和法線方程：
（1）；
（2）．
6．求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).
（1）；
（2）
7．設(shè)函數(shù)（m為正整數(shù)）．
試問(wèn)：（1）m等于何值時(shí)，在連續(xù)；
（2）m等于何值時(shí)，在可導(dǎo)；
（3）m等于何值時(shí)，在連續(xù)．
8．設(shè)，
求．
9．證明：若存在，則
．
10．設(shè)是定義在上的函數(shù)，且對(duì)任意，有
.
若，證明任意，有．
11．設(shè)是偶函數(shù)，且存在，證明：．
12．設(shè)是奇函數(shù)，且，求.
13．用定義證明：可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)．
14．求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）；
（13）；
（14）；
（15）；
（16）；
（17）；
（18）；
（19）；
（20）．
15．求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）；
（13）；
（14）；
（15）；
（16）；
（17）；
（18）；
（19）；
（20）．
16．用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
17．設(shè)是對(duì)可導(dǎo)的函數(shù)，求：
（1）；
（2）；
（3）．
18．設(shè)和是對(duì)可求導(dǎo)的函數(shù)，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）．
2 微分概念及其計(jì)算
1．求下列函數(shù)在指定點(diǎn)的微分：
（1） ，求；
（2），求和；
（3），求；
（4），求．
2．求下列函數(shù)的微分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
3．設(shè)是的可微函數(shù)，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
4．求下列函數(shù)的微分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
3 隱函數(shù)與參數(shù)方程微分法
1.求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）．
2．求下列參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
3．求函數(shù)在指定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
4．一個(gè)圓錐型容器，深度為10m，上面的頂圓半徑為4m.
（1）灌入水時(shí)，求水的體積V對(duì)水面高度的變化率；
（2）求體積V對(duì)容器截面圓半徑R的變化率．
5．設(shè)．
（1）求；
（2）證明曲線的切線被坐標(biāo)軸所截的長(zhǎng)度為一個(gè)常數(shù)．
6．證明：曲線上任一點(diǎn)的法線到原點(diǎn)的距離恒等于．
4 高階微商與高階微分
1.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)：
（1），求；
（2）求．
2．求下列函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)：
（1），求；
（2），求；
（3）求；
（4），求；
（5），求；
（6），求．
3．求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：
（1）；
（2）．
4．求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
5．設(shè)的各階導(dǎo)數(shù)存在，求及．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
6．若，證明．
7．求下列函數(shù)的二階微分：
（1）；
（2）；
（3）．
8．求下列函數(shù)的三階微分：
（1）設(shè)求；
（2）設(shè)，求．
9．求下列參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
10．求下列隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：
（1）；
（2）；
（3）．
11．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)二階可導(dǎo)，且，若存在反函數(shù)，試求．
12．設(shè)，證明y滿足方程．
13．設(shè)．
（1）證明y滿足方程；
（2）求．
14．設(shè)存在反函數(shù)，且滿足方程
．
證明：反函數(shù)滿足，并且由此求出一個(gè)．
第五章 微分中值定理及應(yīng)用
1 微分中值定理
1．證明：（1）方程（是常數(shù)）在區(qū)間內(nèi)不可能有兩個(gè)不同的實(shí)根；
（2）方程（為正整數(shù)，為實(shí)數(shù)）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)至多有兩個(gè)實(shí)根；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)至多有三個(gè)實(shí)根。
2．設(shè)為正整數(shù)，，則存在，使
3．應(yīng)用拉格朗日中值定理證明下列不等式：
（1）
（2）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)；
（3）
（4）
（5）
4．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，證明
5．設(shè)，求證：任意，有
6． 函數(shù)在可導(dǎo)，其中，證明：存在，使得
7．設(shè)在上可導(dǎo)，且。求證：存在，使。
8．設(shè)可導(dǎo)，求證：在兩零點(diǎn)之間一定有的零點(diǎn).
9．設(shè)函數(shù)在附近連續(xù)，除點(diǎn)外可導(dǎo)，且，求證：存在，且.
10．若在可導(dǎo)，且，為介于和之間的任一實(shí)數(shù)，則至少存在一點(diǎn)，使.
11．設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且單調(diào)，證明在連續(xù).
12．若函數(shù)，和在連續(xù)，在可導(dǎo)，證明存在，使得
.
13．設(shè)在連續(xù)，且，證明：在上取到它的最小值.
14．設(shè)在連續(xù)，.
（1）若存在，使，則在上達(dá)到最大值；
（2）如果存在，使，能否斷言在上達(dá)到最大值？
15．設(shè)在有界，存在，且.求證.
16．求證：.
2 微分中值定理及其應(yīng)用
1．求下列待定型的極限：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
（21）
（22）
2．對(duì)函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理有
試證對(duì)下列函數(shù)有：
（1）
（2）
3．設(shè)二階可導(dǎo)，求證：
4．下列函數(shù)不能用洛必達(dá)法則求極限：
（1）
（2）
（3）
（4）
3 函數(shù)的升降、凸性和函數(shù)作圖
1．應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明下列不等式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2．確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
3．求下列函數(shù)的極值：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
4．設(shè)
（1）證明：是函數(shù)的極小值點(diǎn)；
（2）說(shuō)明在的極小值點(diǎn)處是否滿足極值的第一充分條件或第二充分條件.
5．證明：若函數(shù)在點(diǎn)處有，則為的極大值點(diǎn).
6．設(shè)在處都取的極值，試定出和的值；并問(wèn)這時(shí)在和是取得極大值還是極小值；
(1) 求函數(shù)在上的極值；
(2) 求方程有兩個(gè)正實(shí)根的條件.
8.設(shè)，在實(shí)軸上連續(xù)可微，且
求證：的兩實(shí)根之間一定有的根.
9.確定下列函數(shù)的凸性區(qū)間與拐點(diǎn)：
（1）
（2）
（3）
（4）
10.證明曲線有位于同一直線上的三個(gè)拐點(diǎn).
11.問(wèn)，為何值時(shí)，點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)？
12.證明：
(1) 若為下凸函數(shù)，為非負(fù)實(shí)數(shù)，則為下凸函數(shù)；
(2) 若、均為下凸函數(shù)，則為下凸函數(shù)；
(3) 若為區(qū)間上的下凸函數(shù)，為上的下凸遞增函數(shù)，，則為上的下凸函數(shù).
13.設(shè)為區(qū)間上嚴(yán)格上凸函數(shù)，證明：若為的極小值點(diǎn)，則為在上唯一的極小值點(diǎn).
14.應(yīng)用下凸函數(shù)概念證明如下不等式：
(1) 對(duì)任意實(shí)數(shù)有
(2) 對(duì)任何非負(fù)函數(shù)有
.
15.如何選擇參數(shù)，方能使曲線
在（為給定的常數(shù)）處有拐點(diǎn).
16.求的極值及拐點(diǎn)，并求拐點(diǎn)處的切線方程.
17.作出下列函數(shù)的圖形：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）.
4 函數(shù)的最大值最小值問(wèn)題
1．求下列函數(shù)在指定區(qū)間上的最大值與最小值
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2．給定長(zhǎng)為的線段，試把它分成兩段，使以這兩段為邊所圍成的矩形面積為最大.
3.設(shè)用某儀器進(jìn)行測(cè)量時(shí)，讀得次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為問(wèn)以怎樣的數(shù)值表達(dá)
所要測(cè)量的真值，才能使它與這個(gè)數(shù)之差的平方和為最小.
4.求內(nèi)接于橢圓而邊平行于坐標(biāo)軸的面積最大的矩形.
5.點(diǎn)到拋物線最短距離.
6.做一個(gè)圓柱形鍋爐，已知起容積為，兩端面材料的每單位面積價(jià)格為元.側(cè)材料的每單位面積價(jià)格為元，問(wèn)鍋爐的直徑與高的比等于多少時(shí)，造價(jià)最??？
7.某村計(jì)劃修建一條斷面面積為的梯形渠道，側(cè)面的坡度為（即底邊與斜高間夾角滿足），底邊與斜高為多長(zhǎng)時(shí)濕周最小.（根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，濕周最小時(shí)渠道過(guò)水能力最大.）
8.設(shè)炮口的仰角為，炮彈的初速為，炮口取作原點(diǎn)，發(fā)炮時(shí)間取作，不計(jì)空氣阻力時(shí)，炮彈的運(yùn)動(dòng)方程為：
若初速不變，問(wèn)如何調(diào)整炮口的仰角，使炮彈射程最遠(yuǎn).
第六章 不定積分
1 不定積分的概念
1． 求下列不定積分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）；
（13）；
（14）；
（15）；
（16）；
（17）；
（18）；
（19）；
（20）．
2．求一曲線，它在點(diǎn)處的切線的斜率為2，且通過(guò)點(diǎn)．
3．已知滿足給定的關(guān)系式，試求：
；
；
；
.
2 換元積分法與分部積分法
1．用湊微分法求下列不定積分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）；
（13）；
（14）；
（15）；
（16）；
（17）；
（18）；
（19）；
（20）；
（21）；
（22）；
（23）；
（24）；
（25）；
（26）；
（27）；
（28）；
（29）；
（30）．
2．用換元積分法求下列不定積分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）．
3．用分部積分法求下列不定積分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）；
（13）；
（14）；
（15）；
（16）；
（17）；
（18）．
4．求下列不定積分的遞推公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
5．求下列有理函數(shù)的不定積分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）．
6．求下列三角有理式的積分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）．
7．求下列無(wú)理函數(shù)的不定積分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）．
8．求下列不定積分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）；
（13）；
（14）．
第七章 定積分
1 定積分的概念
1． 已知下列函數(shù)在指定區(qū)間上可積，用定義求下列積分：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
2． 設(shè)在可積，證明在上可積，且
.
3． 設(shè)
求證.
4． 若函數(shù)在上可積，其積分是，今在內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)上改變的值使它成為另一函數(shù)，證明也在上可積，并且積分仍為.
2 定積分的基本性質(zhì)
1． 設(shè)在連續(xù)，，不恒為零，證明
.
2． 設(shè)在連續(xù)，，證明在上恒為零.
3． 舉例說(shuō)明在可積，但在不可積.
4． 比較下列各對(duì)定積分的大?。?
(1) ；
(2) ；
(3) .
5． 證明下列不等式（設(shè)所給的積分存在）；
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
6． 證明：
(1) ；
(2) .
7． 設(shè)在連續(xù)，證明
，
其中
.
8． 設(shè)在連續(xù)，且，求證：
.
9． 設(shè)，求證
.
10．(1)設(shè)在上連續(xù)，且對(duì)上任一連續(xù)函數(shù)均有，證明.
(2)設(shè)在上連續(xù)，且對(duì)所有那些在上滿足附加條件的連續(xù)函數(shù)，有.證明：在上同樣有.
11． 設(shè)在連續(xù)，求證：
，
而且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)(或)，其中為常數(shù)。
12． 設(shè)在連續(xù)，求證：
，
而且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)(常數(shù)).
13． 設(shè)在連續(xù)，，求證：
.
14． 設(shè)是嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，是它的反函
數(shù)，證明
15． 用一致連續(xù)定義驗(yàn)證：
(1) 在上是一致連續(xù)的；
(2) 在上是一致連續(xù)的；
(3) 在上一致連續(xù)，但在上不一致連續(xù)；
(4) 在上不一致連續(xù).
3 微積分基本定理
1． 計(jì)算下列定積分：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
2． 求下列極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
3． 若連續(xù)，求：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
4． 求下列極限：
(1) ；
(2) ；
5． 設(shè)在連續(xù)且單調(diào)遞增，求證：函數(shù)
在上連續(xù)且單調(diào)遞增。
4 定積分的計(jì)算
1． 計(jì)算下列定積分
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9) ；
(10) ；
(11) ；
(12) ；
(13) ；
(14) ；
(15) ；
(16) ；
(17) ；
(18) ；
(19) ；
(20) ；
2． 計(jì)算下列定積分
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
3． 證明連續(xù)的奇函數(shù)的一切原函數(shù)皆為偶函數(shù)，連續(xù)的偶函數(shù)的原函數(shù)中有且只有
一個(gè)為奇函數(shù).
4． 設(shè)在所示區(qū)間上是連續(xù)函數(shù)，證明：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
5． 計(jì)算積分.
6． 利用分部積分法證明：
7． 設(shè)在連續(xù)，且，求證：
(1) ；
(2) ；
8． 設(shè)在時(shí)連續(xù)，對(duì)任意，積分值
與a無(wú)關(guān)，求證：（c為常數(shù)）.
9． 設(shè)在任一有限區(qū)間上可積分，且
求證：
5 定積分在物理中的應(yīng)用初步
1． 有一薄版，長(zhǎng)軸沿鉛直方向一半浸入水中，求水對(duì)板的壓力.
2． 修建大橋橋墩時(shí)要先下圍囹。設(shè)一圓柱形圍囹的直徑為20m，水深27m，圍囹高
出水面3m，要把水抽盡，計(jì)算克服重力所作的功。
3． 某水庫(kù)的閘門(mén)是一梯形，上底6m，下底2m，高10m，求水灌滿時(shí)閘門(mén)所要的力。
設(shè)水的比重為1000.
4． 半徑為r的球沉入水中，它與水面相接，球的比重為1，現(xiàn)將球從水中取出，要
作多少功？
5． 把彈簧拉長(zhǎng)所需的力與彈簧的伸長(zhǎng)成正比。已知1的力能使彈簧伸長(zhǎng)1cm，問(wèn)
把彈簧拉長(zhǎng)10cm要作多少功？
6． 有一長(zhǎng)為a的細(xì)棒，它在各點(diǎn)處的線密度與相距某一端點(diǎn)的距離平方成正比，求此
細(xì)棒的平均密度.
6 定積分的近似計(jì)算
1． 已知，試把積分區(qū)間分成10等分，分別用梯形公式和拋物線
公式計(jì)算的近似值，精確到小數(shù)點(diǎn)后三位.
2． 把積分區(qū)間10等分，用拋物線公式計(jì)算下列積分的近似值，精確到小數(shù)點(diǎn)后三
位：
(1) ； (2) .
第八章 函數(shù)
1 泰勒公式
1． 寫(xiě)出下列函數(shù)在的帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
2． 寫(xiě)出下列函數(shù)在的泰勒公式至所指的階數(shù)：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
3． 求下列函數(shù)在的泰勒展開(kāi)式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
4． 確定常數(shù)，，使時(shí)，
(1) 為的5階無(wú)窮?。?
(2) 為的3階無(wú)窮?。?
5． 利用泰勒公式求極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
6． 設(shè)在原點(diǎn)的鄰域二次可導(dǎo)，且
(1) ；
(2) ；
7． 設(shè)在實(shí)軸上任意次可導(dǎo)，令，求證：
.
8． 設(shè)為一n次多項(xiàng)式，
(1) 皆為正數(shù)，證明在上無(wú)根；
(2) 正負(fù)號(hào)相間，證明在上無(wú)根；
9． 求證：
(1) ；
(2) e是無(wú)理數(shù)；
10． 設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，且，則存在，使
11． 設(shè)在a點(diǎn)附近二次可導(dǎo)，且，由微分中值定理：
求證：
12． 證明：若函數(shù)在區(qū)間上恒有，則在內(nèi)任意兩點(diǎn)，都有
.
2 微積分在幾何與物理中的應(yīng)用
1，求下列各曲線所圍成的圖形面積：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2．求下列用極坐標(biāo)表示的曲線所圍圖形的面積：
(1) 雙紐線
(2) 三葉玫瑰線
(3) 蚌線
3．求下列用參數(shù)方程表示的曲線所圍圖形的面積：
(1)
(2) 擺線及軸；
(3) 圓的漸開(kāi)線，及半直線，其中．
4．直線把橢圓的面積分成兩部分A(小的一塊)和
B(的一塊)，之值．
5，求和所圍的公共部分的面積．
6，求下列旋轉(zhuǎn)體的體積：
(1) 橢圓繞軸；
(2)
(i)繞軸， (ii)繞軸；
(3) 旋輪線
(i)繞軸， (ii)繞軸， (iii)繞直線
(4) 雙曲線與直線所圍的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)，
7．求由下列各曲面所圍成的幾何體的體積：
(1)求截錐體的體積，其上，下底皆為橢圓，橢圓的軸長(zhǎng)分別等于A，B和
a，b，而高為h；
(2)正圓臺(tái)：其上下底分別是半徑為a、b的圓，而其間的距離為h．
8．已知球半徑為R，試求高為h的球冠體積(h≤R)．
9-求下列曲線的弧長(zhǎng)：
(1)
(2)
(3)
(4) 星形線
(5) 圓的漸開(kāi)線
(6)
(7) 心臟線
10．求下列各曲線在指定點(diǎn)的曲率和曲率半徑：
(1) 在點(diǎn)(2，2)；
(2) 在點(diǎn)(1，0)．
11．求下列曲線的曲率與曲率半徑：
(1) 拋物線
(2) 雙曲線
(3) 星形線
12．求下列參數(shù)方程給出的曲線的曲率和曲率半徑：
(1) 旋輪線
(2) 橢圓
(3) 圓的漸開(kāi)線
13．求下列以極坐標(biāo)表示的曲線的曲率半徑：
(1) 心臟線
(2) 雙紐線
(3) 對(duì)數(shù)螺線
14．設(shè)曲線是用極坐標(biāo)方程給出，且二階可導(dǎo)，證明它在點(diǎn)處
曲率為
15．證明拋物線在頂點(diǎn)處的曲率半徑為最小．
16．求曲線的最小曲率半徑．
17．求曲線上曲率最大的點(diǎn)．
18．求下列平面曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積：
(1) 繞軸；
(2) 繞直線
(3) 繞軸；
(4) 繞軸；
(5) 繞極軸．
19．求下列曲線段的質(zhì)心：
(1) 半徑為，弧長(zhǎng)為專的均勻圓?。?
(2) 對(duì)數(shù)螺線上由點(diǎn)到點(diǎn)的均勻弧段；
(3) 以A(0，0)，B(0，1)，C(2，1)，D(2，0)為頂點(diǎn)的矩形周界，曲線上任一點(diǎn)的密度等于該點(diǎn)到原點(diǎn)距離的2倍；
(4) ，密度為常數(shù)．
20，已知一拋物線段，曲線段上任一點(diǎn)處的密度與該點(diǎn)到軸的距離成正比，處密度為5，求此曲線段的質(zhì)量．
21．軸長(zhǎng)10m，密度分布為，其中為距軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離，求軸的質(zhì)量．
22．求半球的質(zhì)心
23。求錐體的質(zhì)心和繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．
24．求拋物體的質(zhì)心和繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．
3 微積分方程初步
1．求下列微分方程的通解：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
2，求已給微分方程滿足初始條件的特解：
(1)
(2)
(3)
3．質(zhì)量為1g的質(zhì)點(diǎn)受力作用作直線運(yùn)動(dòng)，這力和時(shí)間成正比，和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成反比，在時(shí)，速度等于50cm／s，力為410-5N．問(wèn)從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始經(jīng)過(guò)了一分鐘后的速度是多少?
4．鐳的衰變有如下的規(guī)律：鐳的衰變速度與鐳所現(xiàn)存的量R成正比，由經(jīng)驗(yàn)材料斷定，鐳經(jīng)過(guò)1600年后，只余原始量R。的一半，試求鐳的量R與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系．
第九章 再論實(shí)數(shù)系
1 實(shí)數(shù)連續(xù)性的等價(jià)描述
1．求數(shù)列{Jn}的上、下確界：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2．設(shè)在上定義，求證：
(1)
(2)
3．設(shè)，且，試證自中可選取數(shù)列且互不相同，使；又若，則情形如何?
4．試證收斂數(shù)列必有上確界和下確界，趨于的數(shù)列必有下確界，趨于的數(shù)列必有上確界．
5．試分別舉出滿足下列條件的數(shù)列：
(1)有上確界無(wú)下確界的數(shù)列；
(2)含有上確界但不含有下確界的數(shù)列；
(3)既含有上確界又含有下確界的數(shù)列；
(4)既不含有上確界又不含有下確界的數(shù)列，其中上、下確界都有限．
2 實(shí)數(shù)閉區(qū)間的緊致性
1．利用有限覆蓋定理9．2證明緊致性定理9．4．
2．利用緊致性定理證明單調(diào)有界數(shù)列必有極限．
3．用區(qū)間套定理證明單調(diào)有界數(shù)列必有極限．
4．試分析區(qū)間套定理的條件：若將閉區(qū)間列改為開(kāi)區(qū)間列，結(jié)果怎樣?若將條件去掉或?qū)l件去掉，結(jié)果怎樣?試舉例說(shuō)明．
5．若無(wú)界，且非無(wú)窮大量，則必存在兩個(gè)子列 (為有限數(shù))．
6．有界數(shù)列若不收斂，則必存在兩個(gè)子列．
7．求證：數(shù)列有界的充要條件是，的任何子數(shù)列都有收斂的子數(shù)列．
8．設(shè)在上定義，且在每一點(diǎn)處函數(shù)的極限存在，求證：在上有界．
9．設(shè)在無(wú)界，求證：存在，對(duì)任給，函數(shù)在上無(wú)界．
10．設(shè)是上的凸函數(shù)，且有上界，求證：存在．
11．設(shè)在上只有第一類間斷點(diǎn)，定義
求證：任意的點(diǎn)只有有限多個(gè)．
12．設(shè)在上連續(xù)且有界，對(duì)任意，
在上只有有限個(gè)根或無(wú)根，求證：存在．
3 實(shí)數(shù)的完備性
1，設(shè)在連續(xù)，求證：在一致連續(xù)的充要條件是
與都存在，
2．求證數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限不存在．
3．利用柯西收斂定理討論下列數(shù)列的收斂性：
(1)
(2)
(3)
4．證明存在的充要條件是：對(duì)任意給定，存在，當(dāng)時(shí)，恒有
5．證明在點(diǎn)連續(xù)的充要條件是：任給，存在，當(dāng)時(shí)，恒有
6．證明下列極限不存在：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
7．設(shè)在上可導(dǎo)，單調(diào)下降，且存在，求證．
8．設(shè)在可導(dǎo)，且，任給，令
求證，
(1) 存在；
(2) 上述極限為的根，且是唯一的．
9．設(shè)在滿足條件：
(1)
(2) 的值域包含在內(nèi)．
則對(duì)任意，令，有
(1) 存在；
(2)方程的解在上是唯一的，這個(gè)解就是上述極限值．
4 再論閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
1．設(shè)在上連續(xù)，并且最大值點(diǎn)是唯一的，又設(shè)，使，求證
2．設(shè)在上連續(xù)，可微，又設(shè)
(1)
(2) 如果，則有，
求證：的根只有有限多個(gè)．
3．設(shè)在連續(xù)，，，求證：存在，使，且．
4．設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，其最大值和最小值分別為和，求證：必存在區(qū)間，滿足條件：
(1)或；
(2) ，當(dāng)．
5．在連續(xù)，且，求證：存在，使．
6．設(shè)在上連續(xù)，且取值為整數(shù)，求證：常數(shù)．
7．設(shè)在上一致連續(xù)，，證明在上有界；
8．若函數(shù)在上滿足利普希茨(Lipschitz)條件，即存在常數(shù)，使得
證明：在上一致連續(xù)．
9．試用一致連續(xù)的定義證明：若函數(shù)在和上都一致連續(xù)，則在上也一致連續(xù)．
10．設(shè)在上連續(xù)，且與存在．證明；在上一致連續(xù)．
11．若在區(qū)間 (有窮或無(wú)窮)中具有有界的導(dǎo)數(shù)，即，則在中一致連續(xù)．
12．求證：在上一致連續(xù)．
13．設(shè)在上可導(dǎo)，且，求證：在上不一致連續(xù)．
14．求證：在上不一致連續(xù)．
5 可積性
1．判斷下列函數(shù)在區(qū)間上的可積性：
(1) 在上有界，不連續(xù)點(diǎn)為；
(2)
(3)
(4)
2．討論三者間可積性的關(guān)系．
3．設(shè)都在上可積，證明：
在上也是可積的．
4．設(shè)在上可積，且，求證：
(1) 在可積；
(2) 在可積．
5．設(shè)在可積，求證：任給，存在逐段為常數(shù)的函數(shù)，使
6．設(shè)在上有界，定義
求證
7．設(shè)在附近有定義且有界，定義
求證：在連續(xù)的充分必要條件為．
8．若函數(shù)在可積，證明：
其中 (這一性質(zhì)稱為積分的連續(xù)性)．
9．對(duì)任意省仨成立，求證：
10．設(shè)在有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，求證：
11．設(shè)在可積，求證；存在連續(xù)函數(shù)序列，使
12．設(shè)在黎曼可積，求證：
(1) 存在區(qū)間序列使
且；
(2) 存在，使得在點(diǎn)連續(xù)；
(3) 在上有無(wú)窮多個(gè)連續(xù)點(diǎn)．
第十章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
1 級(jí)數(shù)問(wèn)題的提出
1.證明：若微分方程有多項(xiàng)式解
則必有
2．試確定系數(shù)使?jié)M足勒讓德方程
2 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其基本性質(zhì)
1．求下列級(jí)數(shù)的和：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2．討論下列級(jí)數(shù)的斂散性：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
3．證明定理10.2.
4．設(shè)級(jí)數(shù)各項(xiàng)是正的，把級(jí)數(shù)的項(xiàng)經(jīng)過(guò)組合而得到新級(jí)數(shù)即
，
其中若收斂，證明原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂.
3 正項(xiàng)級(jí)數(shù)
1．判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
2．利用泰勒公式估算無(wú)窮小量的階，從而判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：
(1)
(2)
(3)
(4)
3．已知兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)和發(fā)散，問(wèn)，兩級(jí)數(shù)的收斂性如何？
4．若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，，求證.
5．設(shè)
求證:(1) 收斂;
(2)
6．討論下列級(jí)數(shù)的收斂性:
(1)
(2)
(3)
(4)
7．利用拉阿比判別法研究下列級(jí)數(shù)的收斂性:
(1)
(2)
8．設(shè)且,求證.反之是否成立?
9．利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件證明:
(1)
(2)
10．設(shè),且數(shù)列有界,證明級(jí)數(shù)收斂.
11．設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,證明也收斂.
12．設(shè),求證:
(1) 當(dāng)時(shí), 收斂;
(2) 當(dāng)時(shí), 發(fā)散.
問(wèn)時(shí)會(huì)有什么結(jié)論?
4 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)
1．討論下列級(jí)數(shù)的收斂性:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11) ;
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
2．討論下列級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂或條件收斂:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
3．利用柯西收斂原理判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:
(1)
(2)
4．求證:若級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)收斂.但反之不成立,請(qǐng)舉出例子.
5．若級(jí)數(shù)收斂,且,問(wèn)是否能斷定也收斂?研究例子
6．證明:若級(jí)數(shù)及都收斂,且
則級(jí)數(shù)也收斂,若級(jí)數(shù)與都發(fā)散,問(wèn)級(jí)數(shù)的收斂性如何?
7．證明:若收斂,則當(dāng)時(shí),也收斂. 若發(fā)散,則當(dāng)時(shí), 也發(fā)散.
8．求證:若數(shù)列有極限,收斂,則也收斂.
9．求證:若絕對(duì)收斂,收斂,則收斂.
10．求證:若級(jí)數(shù)和都收斂,則級(jí)數(shù)
也收斂.
11．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)上升且有界,求證:
收斂.
12．對(duì)數(shù)列,定義,求證:
(1) 如果有界,收斂,且,則收斂,且有
(2) 如果與都收斂,則收斂.
13．設(shè)收斂,且,求證:
收斂,并且
14．下列是非題,對(duì)的請(qǐng)給予證明,錯(cuò)的請(qǐng)舉出反例:
(1) 若,則收斂;
(2) 若,則收斂;
(3) 若收斂,則收斂;
(4) 若收斂,則絕對(duì)收斂;
(5) 若發(fā)散,則不趨于0;
(6) 若收斂,，則收斂;
(7) 若收斂, ，則收斂;
(8) 若收斂,則收斂;
(9) 若收斂,，則.
15．求下列極限(其中)
(1)
(2)
5 無(wú)窮級(jí)數(shù)與代數(shù)運(yùn)算
1．不用柯西準(zhǔn)則,求證:如果,則也收斂.
2．設(shè)收斂,求證:將相鄰奇偶項(xiàng)交換后所成的級(jí)數(shù)收斂,且具有相同的和數(shù).
3．求證:由級(jí)數(shù)重排所得的級(jí)數(shù)
發(fā)散.
4．證明:若條件收斂,則可把級(jí)數(shù)重排,使新級(jí)數(shù)部分和數(shù)列有一子數(shù)列趨向于,有一子數(shù)列趨向.
5．已知,是歐拉常數(shù),,求證:
(1) ;
(2) 若把級(jí)數(shù)的各項(xiàng)重排,而使依次個(gè)正項(xiàng)的一組與依次個(gè)負(fù)項(xiàng)的一組相交替,則新級(jí)數(shù)的和為.
6．求證:級(jí)數(shù)的平方(柯西乘積)是收斂的.
7．令,求證.
8．證明:若級(jí)數(shù)的項(xiàng)加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂,并且在同一個(gè)括號(hào)內(nèi)項(xiàng)的符號(hào)相同,那么去掉括號(hào)后,此級(jí)數(shù)亦收斂;并由此考察級(jí)數(shù)
的收斂性.
第十一章 廣義積分
1 無(wú)窮限廣義積分
1．求下列無(wú)窮積分的值:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2．討論下列積分的收斂性:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
3．討論下列無(wú)窮積分的收斂性(包括絕對(duì)收斂或條件收斂):
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4．設(shè)在任意有限區(qū)間可積,又和收斂,求證收斂.
5．證明定理11.2,并舉例說(shuō)明其逆是不成立的.
6．若在上單調(diào)下降,且積分收斂,求證:
7．設(shè)在上一致連續(xù),并且積分收斂,證明.如果僅僅知道積分收斂,以及在連續(xù),,是否仍有?
8．設(shè)與收斂,求證:
.
9．設(shè)單調(diào)下降趨于零,在連續(xù).求證:
收斂.
10．設(shè)和是定義在上的函數(shù),且在任何有限區(qū)間上可積,證明:若與收斂,則與也收斂.
11．證明: (1) 設(shè)在連續(xù),且,則
(2) 若上述條件改為存在,則
2 瑕積分
1．下列積分是否收斂?若收斂求其值.
(1)
(2)
(3)
(4)
2．討論下列積分的收斂性:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
3．判別收斂性:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
4．討論下列積分的收斂性與絕對(duì)收斂性:
(1)
(2)
(3)
(4)
5．計(jì)算下列瑕積分的值:
(1)
(2)
6．證明積分收斂,并求其值.
7．利用上題結(jié)果，證明:
(1)
(2)
(3)
(4)
8．證明不等式:
(1)
(2)
第十二章 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
1 函數(shù)序列的一致收斂概念
1．討論下列函數(shù)序列在所示區(qū)域的一致收斂性：
⑴ ,
⑵
i) ii)
⑶
⑷
i) ii)
⑸
i) ii)
⑹
⑺
i) ii)
iii)
⑻
⑼
⑽
⑾
⑿
i) ii)
2．設(shè)在上有界，并且在上一致收斂，
求證：在上一致有界.
3．設(shè)定義于，令
.
求證：在上一致收斂于.
4．設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且
求證：在閉區(qū)間上，一致收斂于.
5．設(shè)在上黎曼可積，定義函數(shù)序列
求證：在上一致收斂于零.
6． 參數(shù)取什么值時(shí)，
在閉區(qū)間收斂？在閉區(qū)間一致收斂？使可在積分號(hào)下取極限？
7．證明序列在閉區(qū)間上收斂，但
8．設(shè)在一致連續(xù)，且在一致收斂于. 求證：在上一致連續(xù).
9．設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)列，且在一致收斂于；
又，滿足，求證
10．設(shè)在內(nèi)一致收斂于，且
.
證明：和存在且相等，即
.
11．設(shè)在黎曼可積，且在一致收斂于，
證明：在黎曼可積.
2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及其判別法
1．求出下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域（絕對(duì)的和條件的）：
⑴
⑵
⑶
⑷
2．按定義討論下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性：
⑴
⑵ .
3．討論下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑽
⑾
4．討論下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
5．證明級(jí)數(shù)關(guān)于在上為一致收斂，但對(duì)任何并非絕對(duì)收斂；而級(jí)數(shù)雖在上絕對(duì)收斂，但并不一致收斂.
6．設(shè)每一項(xiàng)都是上的單調(diào)函數(shù)，如果在的端點(diǎn)為絕對(duì)收斂，那么這級(jí)數(shù)在上一致收斂.
7．若的一般項(xiàng)并且在上一致收斂，證明在上也一致收斂且絕對(duì)收斂.
3 和函數(shù)的分析性質(zhì)
1． 研究下列級(jí)數(shù)所表示的函數(shù)在指定區(qū)間上的連續(xù)性：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
2．求證在內(nèi)連續(xù)，并有連續(xù)導(dǎo)函數(shù).
3．設(shè)求證：
⑴ 在上連續(xù)；
⑵ 在內(nèi)無(wú)窮次可微.
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第二章 函數(shù)
1 函數(shù)概念
1． 證明下列不等式：
(1) ；
(2) ；
(3) .
2．求證 .
3．求證
；
.
4．已知三角形的兩條邊分別為和，它們之間的夾角為，試求此三角形的面，并求其定義域.
5．在半徑為的球內(nèi)嵌入一內(nèi)接圓柱，試將圓柱的體積表為其高的函數(shù)，并求此函數(shù)的定義域.
6．某公共汽車路線全長(zhǎng)為 20km，票價(jià)規(guī)定如下：乘坐 5km以下（包括5km）者收費(fèi) 1 元；超過(guò) 5km 但在15km 以下（包括 15km）者收費(fèi) 2 元；其余收費(fèi) 2 元 5 角. 試將票價(jià)表為路程的函數(shù)，并作出函數(shù)的圖形.
7．一脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)三角波. 若記它隨時(shí)間的變化規(guī)律為，且三個(gè)角分別有對(duì)應(yīng)關(guān)系，，，求，并作出函數(shù)的圖形.
8．判別下列函數(shù)的奇偶性：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
9．判別下列函數(shù)是否是周期函數(shù)，若是，試求其周期：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
10．證明 在 有界.
11．用肯定語(yǔ)氣敘述函數(shù)無(wú)界，并證明在無(wú)界.
12．試證兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的乘積是奇函數(shù).
13．設(shè)為定義在內(nèi)的任何函數(shù)，證明可分解成奇函數(shù)和偶函數(shù)之和.
14．用肯定語(yǔ)氣敘述：在上
(1) 不是奇函數(shù)；
(2) 不是單調(diào)上升函數(shù)；
(3) 無(wú)零點(diǎn)；
(4) 無(wú)上界.
2 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)
1． 設(shè)，求證 .
2． 求下列函數(shù)的反函數(shù)及其定義域：
(1) ；
(2) ；
(3)
3．設(shè)，為實(shí)軸上單調(diào)函數(shù)，求證也是實(shí)軸上的單調(diào)函數(shù).
4．設(shè)
求復(fù)合函數(shù)，.
5．設(shè) ，求.
6．設(shè) ，試求.
7．設(shè) ，求，，.
3 初等函數(shù)
1．對(duì)下列函數(shù)分別討論函數(shù)的定義域和值域，奇偶性，周期性，有界性，并作出函數(shù)的圖形：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ； (6) .
2．若已知函數(shù)的圖形，作函數(shù)
，，
的圖形，并說(shuō)明的圖形與的圖形的關(guān)系.
3．若已知函數(shù)的圖形，試作函數(shù)
的圖形，并說(shuō)明的圖形與、圖形的關(guān)系.
4． 作出下列函數(shù)的圖形：
(1) ； (2) .
5．符號(hào)函數(shù)
試分別作出，，的圖形.
6．作出下列函數(shù)的圖形：
(1) ； (2) .
第三章 極限與函數(shù)的連續(xù)性
1 極限問(wèn)題的提出
2 數(shù)列的極限
1． 用定義證明下列數(shù)列的極限為零：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9) ；
(10) .
2．用定義證明：
(1) ；
(2) ；
(3) ，其中
(4) ，其中
3．用定義證明：
(1) 若，則對(duì)任一正整數(shù)，有；
(2) 若，則.反之是否成立？
(3) 若，且，則存在，當(dāng)時(shí)，有；
(4) 若，且，則.
4．極限的定義改成下面形式是否可以？（其中“”是邏輯符號(hào)，表示“存在”.）
(1) ，，當(dāng)時(shí),有；
(2) ，，當(dāng)時(shí),有；
(2) ，，當(dāng)時(shí),有（為常數(shù)）.
5．若 收斂，能否斷定、也收斂？
6．設(shè) ，且，求證：
，.
7．利用極限的四則運(yùn)算法則求極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
8．求下列極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ，；
(9) ；
(10) ；
(11) ；
(12) .
9．證明：若，中一個(gè)是收斂數(shù)列，另一個(gè)是發(fā)散數(shù)列，則是發(fā)散數(shù)列；又問(wèn)和是否也是發(fā)散數(shù)列？為什么？
10．設(shè)，證明發(fā)散.
11．若為個(gè)正數(shù)，證明：
.
12．設(shè)，證明：
(1) ；
(2) 若，則.
13．利用單調(diào)有界原理，證明存在，并求出它：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
14．若
證明：.
15．證明：若，且，.
16．設(shè)，證明：
(1) ；（又問(wèn)，它的逆命題成立否？）
(2) 若，則.
17．應(yīng)用上題的結(jié)果證明下列各題：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) 若，則.
18．用定義證明下列數(shù)列為無(wú)窮大量：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
19．證明：若為無(wú)窮大量，為有界變量，則為無(wú)窮大量.
20．(1) 兩個(gè)無(wú)窮大量的和的極限如何？試討論各種可能性？
(2)討論無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的和、差、商的極限的情形；
(3)討論無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的乘積可能發(fā)生的各種情形.
21．利用，求下列極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
3 函數(shù)的極限
1．用極限定義證明下列極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9) ；
(10) .
2．用極限的四則運(yùn)算法則求下列極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) （為正整數(shù)）；
(8) .
3．設(shè)，證明：若，則，其中正整數(shù).
4．證明：若，則，但反之不真.
5．求下列函數(shù)字所示點(diǎn)的左右極限：
(1) 在；
(2) 在；
(3) 在；
(4) 在，是正整數(shù)；
(5) 在.
6．求下列極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) .
7．用變量替換求下列極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
8．設(shè)在上單調(diào)上升，，若，求證：
（可以為無(wú)窮）.
9．設(shè)在集合上定義，則在上無(wú)界的充要條件是：存在
，使.
10．利用重要極限求極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9) ；
(10) ；
(11) ；
(12) ；
(13) ；
(14) ；
(15) ；
(16) ；
(17) ；
(18) ；
(19) ；
(20) ；
(21) ；
(22) ；
(23) ；
(24) .
11．證明不存在 .
12．證明不存在，其中
13．求極限
.
14．用定義證明：
(1) 若，，則；
(2) 若，，則.
15．若，，證明：.
16．證明的充要條件是：對(duì)任何數(shù)列，有
.
17．證明的充要條件是：對(duì)任何數(shù)列，有
.
18．設(shè)函數(shù)在上滿足方程，且，證明：
.
4 函數(shù)的連續(xù)性
1． 用定義證明下列函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
2．指出下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并說(shuō)明其類型：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9)
(10)
(11)
(12)
3．當(dāng)時(shí)下列函數(shù)無(wú)定義，試定義的值，使在連續(xù)：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
4．設(shè)是連續(xù)函數(shù)，證明對(duì)任何，函數(shù)
是連續(xù)的.
5．若在點(diǎn)連續(xù)，那么和是否也在點(diǎn)連續(xù)？反之如何？
6．若函數(shù)字點(diǎn)連續(xù)，而在點(diǎn)不連續(xù)，問(wèn)此二函數(shù)的和、積在點(diǎn)是否連續(xù)？又若和在點(diǎn)都不連續(xù)，問(wèn)此二函數(shù)的和、積在點(diǎn)是否必不連續(xù)？
7．證明若連續(xù)函數(shù)在有理點(diǎn)的函數(shù)值為0，則此函數(shù)恒為0.
8．若在連續(xù)，恒正，按定義證明在連續(xù).
9．若和都在連續(xù)，試證明和都在連續(xù).
10．證明：設(shè)為區(qū)間上單調(diào)函數(shù)，若為的間斷點(diǎn)，則必是的第一類間斷點(diǎn).
11．若在,，則在中必有，使得
.
12．研究復(fù)合函數(shù)和的連續(xù)性. 設(shè)
(1) ；
(2) .
13．證明：若在連續(xù)，且不存在，使，則在恒正或恒負(fù).
14．設(shè)為上的遞增函數(shù)，值域?yàn)?，證明在上連續(xù).
15．設(shè)在上連續(xù)，且，若，.求證：
(1) 存在；
(2) 設(shè)，則；
(3) 如果將條件改為，則.
16．求下列極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
17．證明方程有且只有一個(gè)實(shí)根.
5 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的比較
1． 當(dāng)時(shí)，以為標(biāo)準(zhǔn)求下列無(wú)窮小量的階：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ;
(5) ；
(6) ；
(7) ;
(8) .
2．當(dāng)時(shí)，以為標(biāo)準(zhǔn)求下列無(wú)窮大量的階：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) .
3．當(dāng)時(shí)，下列等式成立嗎？
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) .
4．試證下列各題：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) .
5．證明下列各式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) .
6．運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量求極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
7．設(shè)，證明：
或.
8．設(shè)時(shí)，與維等價(jià)無(wú)窮小，與是等價(jià)無(wú)窮大，且
存在，求證
.
第四章 微商與微分
1 微商概念及其計(jì)算
1．求拋物線在點(diǎn)和點(diǎn)的切線方程和法線方程．
2．若，求
（1）在之間的平均速度（設(shè)）；
（2）在的瞬時(shí)速度．
3．試確定曲線在哪些點(diǎn)的切線平行于下列直線：
（1）；
（2）．
4．設(shè)
試確定的值，使在處可導(dǎo)．
5．求下列曲線在指定點(diǎn)P的切線方程和法線方程：
（1）；
（2）．
6．求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).
（1）；
（2）
7．設(shè)函數(shù)（m為正整數(shù)）．
試問(wèn)：（1）m等于何值時(shí)，在連續(xù)；
（2）m等于何值時(shí)，在可導(dǎo)；
（3）m等于何值時(shí)，在連續(xù)．
8．設(shè)，
求．
9．證明：若存在，則
．
10．設(shè)是定義在上的函數(shù)，且對(duì)任意，有
.
若，證明任意，有．
11．設(shè)是偶函數(shù)，且存在，證明：．
12．設(shè)是奇函數(shù)，且，求.
13．用定義證明：可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)．
14．求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）；
（13）；
（14）；
（15）；
（16）；
（17）；
（18）；
（19）；
（20）．
15．求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）；
（13）；
（14）；
（15）；
（16）；
（17）；
（18）；
（19）；
（20）．
16．用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
17．設(shè)是對(duì)可導(dǎo)的函數(shù)，求：
（1）；
（2）；
（3）．
18．設(shè)和是對(duì)可求導(dǎo)的函數(shù)，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）．
2 微分概念及其計(jì)算
1．求下列函數(shù)在指定點(diǎn)的微分：
（1） ，求；
（2），求和；
（3），求；
（4），求．
2．求下列函數(shù)的微分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
3．設(shè)是的可微函數(shù)，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
4．求下列函數(shù)的微分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
3 隱函數(shù)與參數(shù)方程微分法
1.求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）．
2．求下列參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
3．求函數(shù)在指定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
4．一個(gè)圓錐型容器，深度為10m，上面的頂圓半徑為4m.
（1）灌入水時(shí)，求水的體積V對(duì)水面高度的變化率；
（2）求體積V對(duì)容器截面圓半徑R的變化率．
5．設(shè)．
（1）求；
（2）證明曲線的切線被坐標(biāo)軸所截的長(zhǎng)度為一個(gè)常數(shù)．
6．證明：曲線上任一點(diǎn)的法線到原點(diǎn)的距離恒等于．
4 高階微商與高階微分
1.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)：
（1），求；
（2）求．
2．求下列函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)：
（1），求；
（2），求；
（3）求；
（4），求；
（5），求；
（6），求．
3．求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：
（1）；
（2）．
4．求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
5．設(shè)的各階導(dǎo)數(shù)存在，求及．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
6．若，證明．
7．求下列函數(shù)的二階微分：
（1）；
（2）；
（3）．
8．求下列函數(shù)的三階微分：
（1）設(shè)求；
（2）設(shè)，求．
9．求下列參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
10．求下列隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：
（1）；
（2）；
（3）．
11．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)二階可導(dǎo)，且，若存在反函數(shù)，試求．
12．設(shè)，證明y滿足方程．
13．設(shè)．
（1）證明y滿足方程；
（2）求．
14．設(shè)存在反函數(shù)，且滿足方程
．
證明：反函數(shù)滿足，并且由此求出一個(gè)．
第五章 微分中值定理及應(yīng)用
1 微分中值定理
1．證明：（1）方程（是常數(shù)）在區(qū)間內(nèi)不可能有兩個(gè)不同的實(shí)根；
（2）方程（為正整數(shù)，為實(shí)數(shù)）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)至多有兩個(gè)實(shí)根；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)至多有三個(gè)實(shí)根。
2．設(shè)為正整數(shù)，，則存在，使
3．應(yīng)用拉格朗日中值定理證明下列不等式：
（1）
（2）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)；
（3）
（4）
（5）
4．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，證明
5．設(shè)，求證：任意，有
6． 函數(shù)在可導(dǎo)，其中，證明：存在，使得
7．設(shè)在上可導(dǎo)，且。求證：存在，使。
8．設(shè)可導(dǎo)，求證：在兩零點(diǎn)之間一定有的零點(diǎn).
9．設(shè)函數(shù)在附近連續(xù)，除點(diǎn)外可導(dǎo)，且，求證：存在，且.
10．若在可導(dǎo)，且，為介于和之間的任一實(shí)數(shù)，則至少存在一點(diǎn)，使.
11．設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且單調(diào)，證明在連續(xù).
12．若函數(shù)，和在連續(xù)，在可導(dǎo)，證明存在，使得
.
13．設(shè)在連續(xù)，且，證明：在上取到它的最小值.
14．設(shè)在連續(xù)，.
（1）若存在，使，則在上達(dá)到最大值；
（2）如果存在，使，能否斷言在上達(dá)到最大值？
15．設(shè)在有界，存在，且.求證.
16．求證：.
2 微分中值定理及其應(yīng)用
1．求下列待定型的極限：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
（21）
（22）
2．對(duì)函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理有
試證對(duì)下列函數(shù)有：
（1）
（2）
3．設(shè)二階可導(dǎo)，求證：
4．下列函數(shù)不能用洛必達(dá)法則求極限：
（1）
（2）
（3）
（4）
3 函數(shù)的升降、凸性和函數(shù)作圖
1．應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明下列不等式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2．確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
3．求下列函數(shù)的極值：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
4．設(shè)
（1）證明：是函數(shù)的極小值點(diǎn)；
（2）說(shuō)明在的極小值點(diǎn)處是否滿足極值的第一充分條件或第二充分條件.
5．證明：若函數(shù)在點(diǎn)處有，則為的極大值點(diǎn).
6．設(shè)在處都取的極值，試定出和的值；并問(wèn)這時(shí)在和是取得極大值還是極小值；
(1) 求函數(shù)在上的極值；
(2) 求方程有兩個(gè)正實(shí)根的條件.
8.設(shè)，在實(shí)軸上連續(xù)可微，且
求證：的兩實(shí)根之間一定有的根.
9.確定下列函數(shù)的凸性區(qū)間與拐點(diǎn)：
（1）
（2）
（3）
（4）
10.證明曲線有位于同一直線上的三個(gè)拐點(diǎn).
11.問(wèn)，為何值時(shí)，點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)？
12.證明：
(1) 若為下凸函數(shù)，為非負(fù)實(shí)數(shù)，則為下凸函數(shù)；
(2) 若、均為下凸函數(shù)，則為下凸函數(shù)；
(3) 若為區(qū)間上的下凸函數(shù)，為上的下凸遞增函數(shù)，，則為上的下凸函數(shù).
13.設(shè)為區(qū)間上嚴(yán)格上凸函數(shù)，證明：若為的極小值點(diǎn)，則為在上唯一的極小值點(diǎn).
14.應(yīng)用下凸函數(shù)概念證明如下不等式：
(1) 對(duì)任意實(shí)數(shù)有
(2) 對(duì)任何非負(fù)函數(shù)有
.
15.如何選擇參數(shù)，方能使曲線
在（為給定的常數(shù)）處有拐點(diǎn).
16.求的極值及拐點(diǎn)，并求拐點(diǎn)處的切線方程.
17.作出下列函數(shù)的圖形：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）.
4 函數(shù)的最大值最小值問(wèn)題
1．求下列函數(shù)在指定區(qū)間上的最大值與最小值
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2．給定長(zhǎng)為的線段，試把它分成兩段，使以這兩段為邊所圍成的矩形面積為最大.
3.設(shè)用某儀器進(jìn)行測(cè)量時(shí)，讀得次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為問(wèn)以怎樣的數(shù)值表達(dá)
所要測(cè)量的真值，才能使它與這個(gè)數(shù)之差的平方和為最小.
4.求內(nèi)接于橢圓而邊平行于坐標(biāo)軸的面積最大的矩形.
5.點(diǎn)到拋物線最短距離.
6.做一個(gè)圓柱形鍋爐，已知起容積為，兩端面材料的每單位面積價(jià)格為元.側(cè)材料的每單位面積價(jià)格為元，問(wèn)鍋爐的直徑與高的比等于多少時(shí)，造價(jià)最??？
7.某村計(jì)劃修建一條斷面面積為的梯形渠道，側(cè)面的坡度為（即底邊與斜高間夾角滿足），底邊與斜高為多長(zhǎng)時(shí)濕周最小.（根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，濕周最小時(shí)渠道過(guò)水能力最大.）
8.設(shè)炮口的仰角為，炮彈的初速為，炮口取作原點(diǎn)，發(fā)炮時(shí)間取作，不計(jì)空氣阻力時(shí)，炮彈的運(yùn)動(dòng)方程為：
若初速不變，問(wèn)如何調(diào)整炮口的仰角，使炮彈射程最遠(yuǎn).
第六章 不定積分
1 不定積分的概念
1． 求下列不定積分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）；
（13）；
（14）；
（15）；
（16）；
（17）；
（18）；
（19）；
（20）．
2．求一曲線，它在點(diǎn)處的切線的斜率為2，且通過(guò)點(diǎn)．
3．已知滿足給定的關(guān)系式，試求：
；
；
；
.
2 換元積分法與分部積分法
1．用湊微分法求下列不定積分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）；
（13）；
（14）；
（15）；
（16）；
（17）；
（18）；
（19）；
（20）；
（21）；
（22）；
（23）；
（24）；
（25）；
（26）；
（27）；
（28）；
（29）；
（30）．
2．用換元積分法求下列不定積分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）．
3．用分部積分法求下列不定積分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）；
（13）；
（14）；
（15）；
（16）；
（17）；
（18）．
4．求下列不定積分的遞推公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
5．求下列有理函數(shù)的不定積分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）．
6．求下列三角有理式的積分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）．
7．求下列無(wú)理函數(shù)的不定積分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）．
8．求下列不定積分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）；
（13）；
（14）．
第七章 定積分
1 定積分的概念
1． 已知下列函數(shù)在指定區(qū)間上可積，用定義求下列積分：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
2． 設(shè)在可積，證明在上可積，且
.
3． 設(shè)
求證.
4． 若函數(shù)在上可積，其積分是，今在內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)上改變的值使它成為另一函數(shù)，證明也在上可積，并且積分仍為.
2 定積分的基本性質(zhì)
1． 設(shè)在連續(xù)，，不恒為零，證明
.
2． 設(shè)在連續(xù)，，證明在上恒為零.
3． 舉例說(shuō)明在可積，但在不可積.
4． 比較下列各對(duì)定積分的大?。?
(1) ；
(2) ；
(3) .
5． 證明下列不等式（設(shè)所給的積分存在）；
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
6． 證明：
(1) ；
(2) .
7． 設(shè)在連續(xù)，證明
，
其中
.
8． 設(shè)在連續(xù)，且，求證：
.
9． 設(shè)，求證
.
10．(1)設(shè)在上連續(xù)，且對(duì)上任一連續(xù)函數(shù)均有，證明.
(2)設(shè)在上連續(xù)，且對(duì)所有那些在上滿足附加條件的連續(xù)函數(shù)，有.證明：在上同樣有.
11． 設(shè)在連續(xù)，求證：
，
而且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)(或)，其中為常數(shù)。
12． 設(shè)在連續(xù)，求證：
，
而且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)(常數(shù)).
13． 設(shè)在連續(xù)，，求證：
.
14． 設(shè)是嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，是它的反函
數(shù)，證明
15． 用一致連續(xù)定義驗(yàn)證：
(1) 在上是一致連續(xù)的；
(2) 在上是一致連續(xù)的；
(3) 在上一致連續(xù)，但在上不一致連續(xù)；
(4) 在上不一致連續(xù).
3 微積分基本定理
1． 計(jì)算下列定積分：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
2． 求下列極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
3． 若連續(xù)，求：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
4． 求下列極限：
(1) ；
(2) ；
5． 設(shè)在連續(xù)且單調(diào)遞增，求證：函數(shù)
在上連續(xù)且單調(diào)遞增。
4 定積分的計(jì)算
1． 計(jì)算下列定積分
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9) ；
(10) ；
(11) ；
(12) ；
(13) ；
(14) ；
(15) ；
(16) ；
(17) ；
(18) ；
(19) ；
(20) ；
2． 計(jì)算下列定積分
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
3． 證明連續(xù)的奇函數(shù)的一切原函數(shù)皆為偶函數(shù)，連續(xù)的偶函數(shù)的原函數(shù)中有且只有
一個(gè)為奇函數(shù).
4． 設(shè)在所示區(qū)間上是連續(xù)函數(shù)，證明：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
5． 計(jì)算積分.
6． 利用分部積分法證明：
7． 設(shè)在連續(xù)，且，求證：
(1) ；
(2) ；
8． 設(shè)在時(shí)連續(xù)，對(duì)任意，積分值
與a無(wú)關(guān)，求證：（c為常數(shù)）.
9． 設(shè)在任一有限區(qū)間上可積分，且
求證：
5 定積分在物理中的應(yīng)用初步
1． 有一薄版，長(zhǎng)軸沿鉛直方向一半浸入水中，求水對(duì)板的壓力.
2． 修建大橋橋墩時(shí)要先下圍囹。設(shè)一圓柱形圍囹的直徑為20m，水深27m，圍囹高
出水面3m，要把水抽盡，計(jì)算克服重力所作的功。
3． 某水庫(kù)的閘門(mén)是一梯形，上底6m，下底2m，高10m，求水灌滿時(shí)閘門(mén)所要的力。
設(shè)水的比重為1000.
4． 半徑為r的球沉入水中，它與水面相接，球的比重為1，現(xiàn)將球從水中取出，要
作多少功？
5． 把彈簧拉長(zhǎng)所需的力與彈簧的伸長(zhǎng)成正比。已知1的力能使彈簧伸長(zhǎng)1cm，問(wèn)
把彈簧拉長(zhǎng)10cm要作多少功？
6． 有一長(zhǎng)為a的細(xì)棒，它在各點(diǎn)處的線密度與相距某一端點(diǎn)的距離平方成正比，求此
細(xì)棒的平均密度.
6 定積分的近似計(jì)算
1． 已知，試把積分區(qū)間分成10等分，分別用梯形公式和拋物線
公式計(jì)算的近似值，精確到小數(shù)點(diǎn)后三位.
2． 把積分區(qū)間10等分，用拋物線公式計(jì)算下列積分的近似值，精確到小數(shù)點(diǎn)后三
位：
(1) ； (2) .
第八章 函數(shù)
1 泰勒公式
1． 寫(xiě)出下列函數(shù)在的帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
2． 寫(xiě)出下列函數(shù)在的泰勒公式至所指的階數(shù)：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
3． 求下列函數(shù)在的泰勒展開(kāi)式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
4． 確定常數(shù)，，使時(shí)，
(1) 為的5階無(wú)窮??；
(2) 為的3階無(wú)窮小；
5． 利用泰勒公式求極限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
6． 設(shè)在原點(diǎn)的鄰域二次可導(dǎo)，且
(1) ；
(2) ；
7． 設(shè)在實(shí)軸上任意次可導(dǎo)，令，求證：
.
8． 設(shè)為一n次多項(xiàng)式，
(1) 皆為正數(shù)，證明在上無(wú)根；
(2) 正負(fù)號(hào)相間，證明在上無(wú)根；
9． 求證：
(1) ；
(2) e是無(wú)理數(shù)；
10． 設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，且，則存在，使
11． 設(shè)在a點(diǎn)附近二次可導(dǎo)，且，由微分中值定理：
求證：
12． 證明：若函數(shù)在區(qū)間上恒有，則在內(nèi)任意兩點(diǎn)，都有
.
2 微積分在幾何與物理中的應(yīng)用
1，求下列各曲線所圍成的圖形面積：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2．求下列用極坐標(biāo)表示的曲線所圍圖形的面積：
(1) 雙紐線
(2) 三葉玫瑰線
(3) 蚌線
3．求下列用參數(shù)方程表示的曲線所圍圖形的面積：
(1)
(2) 擺線及軸；
(3) 圓的漸開(kāi)線，及半直線，其中．
4．直線把橢圓的面積分成兩部分A(小的一塊)和
B(的一塊)，之值．
5，求和所圍的公共部分的面積．
6，求下列旋轉(zhuǎn)體的體積：
(1) 橢圓繞軸；
(2)
(i)繞軸， (ii)繞軸；
(3) 旋輪線
(i)繞軸， (ii)繞軸， (iii)繞直線
(4) 雙曲線與直線所圍的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)，
7．求由下列各曲面所圍成的幾何體的體積：
(1)求截錐體的體積，其上，下底皆為橢圓，橢圓的軸長(zhǎng)分別等于A，B和
a，b，而高為h；
(2)正圓臺(tái)：其上下底分別是半徑為a、b的圓，而其間的距離為h．
8．已知球半徑為R，試求高為h的球冠體積(h≤R)．
9-求下列曲線的弧長(zhǎng)：
(1)
(2)
(3)
(4) 星形線
(5) 圓的漸開(kāi)線
(6)
(7) 心臟線
10．求下列各曲線在指定點(diǎn)的曲率和曲率半徑：
(1) 在點(diǎn)(2，2)；
(2) 在點(diǎn)(1，0)．
11．求下列曲線的曲率與曲率半徑：
(1) 拋物線
(2) 雙曲線
(3) 星形線
12．求下列參數(shù)方程給出的曲線的曲率和曲率半徑：
(1) 旋輪線
(2) 橢圓
(3) 圓的漸開(kāi)線
13．求下列以極坐標(biāo)表示的曲線的曲率半徑：
(1) 心臟線
(2) 雙紐線
(3) 對(duì)數(shù)螺線
14．設(shè)曲線是用極坐標(biāo)方程給出，且二階可導(dǎo)，證明它在點(diǎn)處
曲率為
15．證明拋物線在頂點(diǎn)處的曲率半徑為最小．
16．求曲線的最小曲率半徑．
17．求曲線上曲率最大的點(diǎn)．
18．求下列平面曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積：
(1) 繞軸；
(2) 繞直線
(3) 繞軸；
(4) 繞軸；
(5) 繞極軸．
19．求下列曲線段的質(zhì)心：
(1) 半徑為，弧長(zhǎng)為專的均勻圓??；
(2) 對(duì)數(shù)螺線上由點(diǎn)到點(diǎn)的均勻弧段；
(3) 以A(0，0)，B(0，1)，C(2，1)，D(2，0)為頂點(diǎn)的矩形周界，曲線上任一點(diǎn)的密度等于該點(diǎn)到原點(diǎn)距離的2倍；
(4) ，密度為常數(shù)．
20，已知一拋物線段，曲線段上任一點(diǎn)處的密度與該點(diǎn)到軸的距離成正比，處密度為5，求此曲線段的質(zhì)量．
21．軸長(zhǎng)10m，密度分布為，其中為距軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離，求軸的質(zhì)量．
22．求半球的質(zhì)心
23。求錐體的質(zhì)心和繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．
24．求拋物體的質(zhì)心和繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．
3 微積分方程初步
1．求下列微分方程的通解：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
2，求已給微分方程滿足初始條件的特解：
(1)
(2)
(3)
3．質(zhì)量為1g的質(zhì)點(diǎn)受力作用作直線運(yùn)動(dòng)，這力和時(shí)間成正比，和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成反比，在時(shí)，速度等于50cm／s，力為410-5N．問(wèn)從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始經(jīng)過(guò)了一分鐘后的速度是多少?
4．鐳的衰變有如下的規(guī)律：鐳的衰變速度與鐳所現(xiàn)存的量R成正比，由經(jīng)驗(yàn)材料斷定，鐳經(jīng)過(guò)1600年后，只余原始量R。的一半，試求鐳的量R與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系．
第九章 再論實(shí)數(shù)系
1 實(shí)數(shù)連續(xù)性的等價(jià)描述
1．求數(shù)列{Jn}的上、下確界：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2．設(shè)在上定義，求證：
(1)
(2)
3．設(shè)，且，試證自中可選取數(shù)列且互不相同，使；又若，則情形如何?
4．試證收斂數(shù)列必有上確界和下確界，趨于的數(shù)列必有下確界，趨于的數(shù)列必有上確界．
5．試分別舉出滿足下列條件的數(shù)列：
(1)有上確界無(wú)下確界的數(shù)列；
(2)含有上確界但不含有下確界的數(shù)列；
(3)既含有上確界又含有下確界的數(shù)列；
(4)既不含有上確界又不含有下確界的數(shù)列，其中上、下確界都有限．
2 實(shí)數(shù)閉區(qū)間的緊致性
1．利用有限覆蓋定理9．2證明緊致性定理9．4．
2．利用緊致性定理證明單調(diào)有界數(shù)列必有極限．
3．用區(qū)間套定理證明單調(diào)有界數(shù)列必有極限．
4．試分析區(qū)間套定理的條件：若將閉區(qū)間列改為開(kāi)區(qū)間列，結(jié)果怎樣?若將條件去掉或?qū)l件去掉，結(jié)果怎樣?試舉例說(shuō)明．
5．若無(wú)界，且非無(wú)窮大量，則必存在兩個(gè)子列 (為有限數(shù))．
6．有界數(shù)列若不收斂，則必存在兩個(gè)子列．
7．求證：數(shù)列有界的充要條件是，的任何子數(shù)列都有收斂的子數(shù)列．
8．設(shè)在上定義，且在每一點(diǎn)處函數(shù)的極限存在，求證：在上有界．
9．設(shè)在無(wú)界，求證：存在，對(duì)任給，函數(shù)在上無(wú)界．
10．設(shè)是上的凸函數(shù)，且有上界，求證：存在．
11．設(shè)在上只有第一類間斷點(diǎn)，定義
求證：任意的點(diǎn)只有有限多個(gè)．
12．設(shè)在上連續(xù)且有界，對(duì)任意，
在上只有有限個(gè)根或無(wú)根，求證：存在．
3 實(shí)數(shù)的完備性
1，設(shè)在連續(xù)，求證：在一致連續(xù)的充要條件是
與都存在，
2．求證數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限不存在．
3．利用柯西收斂定理討論下列數(shù)列的收斂性：
(1)
(2)
(3)
4．證明存在的充要條件是：對(duì)任意給定，存在，當(dāng)時(shí)，恒有
5．證明在點(diǎn)連續(xù)的充要條件是：任給，存在，當(dāng)時(shí)，恒有
6．證明下列極限不存在：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
7．設(shè)在上可導(dǎo)，單調(diào)下降，且存在，求證．
8．設(shè)在可導(dǎo)，且，任給，令
求證，
(1) 存在；
(2) 上述極限為的根，且是唯一的．
9．設(shè)在滿足條件：
(1)
(2) 的值域包含在內(nèi)．
則對(duì)任意，令，有
(1) 存在；
(2)方程的解在上是唯一的，這個(gè)解就是上述極限值．
4 再論閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
1．設(shè)在上連續(xù)，并且最大值點(diǎn)是唯一的，又設(shè)，使，求證
2．設(shè)在上連續(xù)，可微，又設(shè)
(1)
(2) 如果，則有，
求證：的根只有有限多個(gè)．
3．設(shè)在連續(xù)，，，求證：存在，使，且．
4．設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，其最大值和最小值分別為和，求證：必存在區(qū)間，滿足條件：
(1)或；
(2) ，當(dāng)．
5．在連續(xù)，且，求證：存在，使．
6．設(shè)在上連續(xù)，且取值為整數(shù)，求證：常數(shù)．
7．設(shè)在上一致連續(xù)，，證明在上有界；
8．若函數(shù)在上滿足利普希茨(Lipschitz)條件，即存在常數(shù)，使得
證明：在上一致連續(xù)．
9．試用一致連續(xù)的定義證明：若函數(shù)在和上都一致連續(xù)，則在上也一致連續(xù)．
10．設(shè)在上連續(xù)，且與存在．證明；在上一致連續(xù)．
11．若在區(qū)間 (有窮或無(wú)窮)中具有有界的導(dǎo)數(shù)，即，則在中一致連續(xù)．
12．求證：在上一致連續(xù)．
13．設(shè)在上可導(dǎo)，且，求證：在上不一致連續(xù)．
14．求證：在上不一致連續(xù)．
5 可積性
1．判斷下列函數(shù)在區(qū)間上的可積性：
(1) 在上有界，不連續(xù)點(diǎn)為；
(2)
(3)
(4)
2．討論三者間可積性的關(guān)系．
3．設(shè)都在上可積，證明：
在上也是可積的．
4．設(shè)在上可積，且，求證：
(1) 在可積；
(2) 在可積．
5．設(shè)在可積，求證：任給，存在逐段為常數(shù)的函數(shù)，使
6．設(shè)在上有界，定義
求證
7．設(shè)在附近有定義且有界，定義
求證：在連續(xù)的充分必要條件為．
8．若函數(shù)在可積，證明：
其中 (這一性質(zhì)稱為積分的連續(xù)性)．
9．對(duì)任意省仨成立，求證：
10．設(shè)在有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，求證：
11．設(shè)在可積，求證；存在連續(xù)函數(shù)序列，使
12．設(shè)在黎曼可積，求證：
(1) 存在區(qū)間序列使
且；
(2) 存在，使得在點(diǎn)連續(xù)；
(3) 在上有無(wú)窮多個(gè)連續(xù)點(diǎn)．
第十章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
1 級(jí)數(shù)問(wèn)題的提出
1.證明：若微分方程有多項(xiàng)式解
則必有
2．試確定系數(shù)使?jié)M足勒讓德方程
2 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其基本性質(zhì)
1．求下列級(jí)數(shù)的和：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2．討論下列級(jí)數(shù)的斂散性：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
3．證明定理10.2.
4．設(shè)級(jí)數(shù)各項(xiàng)是正的，把級(jí)數(shù)的項(xiàng)經(jīng)過(guò)組合而得到新級(jí)數(shù)即
，
其中若收斂，證明原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂.
3 正項(xiàng)級(jí)數(shù)
1．判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
2．利用泰勒公式估算無(wú)窮小量的階，從而判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：
(1)
(2)
(3)
(4)
3．已知兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)和發(fā)散，問(wèn)，兩級(jí)數(shù)的收斂性如何？
4．若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，，求證.
5．設(shè)
求證:(1) 收斂;
(2)
6．討論下列級(jí)數(shù)的收斂性:
(1)
(2)
(3)
(4)
7．利用拉阿比判別法研究下列級(jí)數(shù)的收斂性:
(1)
(2)
8．設(shè)且,求證.反之是否成立?
9．利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件證明:
(1)
(2)
10．設(shè),且數(shù)列有界,證明級(jí)數(shù)收斂.
11．設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,證明也收斂.
12．設(shè),求證:
(1) 當(dāng)時(shí), 收斂;
(2) 當(dāng)時(shí), 發(fā)散.
問(wèn)時(shí)會(huì)有什么結(jié)論?
4 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)
1．討論下列級(jí)數(shù)的收斂性:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11) ;
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
2．討論下列級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂或條件收斂:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
3．利用柯西收斂原理判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:
(1)
(2)
4．求證:若級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)收斂.但反之不成立,請(qǐng)舉出例子.
5．若級(jí)數(shù)收斂,且,問(wèn)是否能斷定也收斂?研究例子
6．證明:若級(jí)數(shù)及都收斂,且
則級(jí)數(shù)也收斂,若級(jí)數(shù)與都發(fā)散,問(wèn)級(jí)數(shù)的收斂性如何?
7．證明:若收斂,則當(dāng)時(shí),也收斂. 若發(fā)散,則當(dāng)時(shí), 也發(fā)散.
8．求證:若數(shù)列有極限,收斂,則也收斂.
9．求證:若絕對(duì)收斂,收斂,則收斂.
10．求證:若級(jí)數(shù)和都收斂,則級(jí)數(shù)
也收斂.
11．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)上升且有界,求證:
收斂.
12．對(duì)數(shù)列,定義,求證:
(1) 如果有界,收斂,且,則收斂,且有
(2) 如果與都收斂,則收斂.
13．設(shè)收斂,且,求證:
收斂,并且
14．下列是非題,對(duì)的請(qǐng)給予證明,錯(cuò)的請(qǐng)舉出反例:
(1) 若,則收斂;
(2) 若,則收斂;
(3) 若收斂,則收斂;
(4) 若收斂,則絕對(duì)收斂;
(5) 若發(fā)散,則不趨于0;
(6) 若收斂,，則收斂;
(7) 若收斂, ，則收斂;
(8) 若收斂,則收斂;
(9) 若收斂,，則.
15．求下列極限(其中)
(1)
(2)
5 無(wú)窮級(jí)數(shù)與代數(shù)運(yùn)算
1．不用柯西準(zhǔn)則,求證:如果,則也收斂.
2．設(shè)收斂,求證:將相鄰奇偶項(xiàng)交換后所成的級(jí)數(shù)收斂,且具有相同的和數(shù).
3．求證:由級(jí)數(shù)重排所得的級(jí)數(shù)
發(fā)散.
4．證明:若條件收斂,則可把級(jí)數(shù)重排,使新級(jí)數(shù)部分和數(shù)列有一子數(shù)列趨向于,有一子數(shù)列趨向.
5．已知,是歐拉常數(shù),,求證:
(1) ;
(2) 若把級(jí)數(shù)的各項(xiàng)重排,而使依次個(gè)正項(xiàng)的一組與依次個(gè)負(fù)項(xiàng)的一組相交替,則新級(jí)數(shù)的和為.
6．求證:級(jí)數(shù)的平方(柯西乘積)是收斂的.
7．令,求證.
8．證明:若級(jí)數(shù)的項(xiàng)加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂,并且在同一個(gè)括號(hào)內(nèi)項(xiàng)的符號(hào)相同,那么去掉括號(hào)后,此級(jí)數(shù)亦收斂;并由此考察級(jí)數(shù)
的收斂性.
第十一章 廣義積分
1 無(wú)窮限廣義積分
1．求下列無(wú)窮積分的值:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2．討論下列積分的收斂性:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
3．討論下列無(wú)窮積分的收斂性(包括絕對(duì)收斂或條件收斂):
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4．設(shè)在任意有限區(qū)間可積,又和收斂,求證收斂.
5．證明定理11.2,并舉例說(shuō)明其逆是不成立的.
6．若在上單調(diào)下降,且積分收斂,求證:
7．設(shè)在上一致連續(xù),并且積分收斂,證明.如果僅僅知道積分收斂,以及在連續(xù),,是否仍有?
8．設(shè)與收斂,求證:
.
9．設(shè)單調(diào)下降趨于零,在連續(xù).求證:
收斂.
10．設(shè)和是定義在上的函數(shù),且在任何有限區(qū)間上可積,證明:若與收斂,則與也收斂.
11．證明: (1) 設(shè)在連續(xù),且,則
(2) 若上述條件改為存在,則
2 瑕積分
1．下列積分是否收斂?若收斂求其值.
(1)
(2)
(3)
(4)
2．討論下列積分的收斂性:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
3．判別收斂性:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
4．討論下列積分的收斂性與絕對(duì)收斂性:
(1)
(2)
(3)
(4)
5．計(jì)算下列瑕積分的值:
(1)
(2)
6．證明積分收斂,并求其值.
7．利用上題結(jié)果，證明:
(1)
(2)
(3)
(4)
8．證明不等式:
(1)
(2)
第十二章 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
1 函數(shù)序列的一致收斂概念
1．討論下列函數(shù)序列在所示區(qū)域的一致收斂性：
⑴ ,
⑵
i) ii)
⑶
⑷
i) ii)
⑸
i) ii)
⑹
⑺
i) ii)
iii)
⑻
⑼
⑽
⑾
⑿
i) ii)
2．設(shè)在上有界，并且在上一致收斂，
求證：在上一致有界.
3．設(shè)定義于，令
.
求證：在上一致收斂于.
4．設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且
求證：在閉區(qū)間上，一致收斂于.
5．設(shè)在上黎曼可積，定義函數(shù)序列
求證：在上一致收斂于零.
6． 參數(shù)取什么值時(shí)，
在閉區(qū)間收斂？在閉區(qū)間一致收斂？使可在積分號(hào)下取極限？
7．證明序列在閉區(qū)間上收斂，但
8．設(shè)在一致連續(xù)，且在一致收斂于. 求證：在上一致連續(xù).
9．設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)列，且在一致收斂于；
又，滿足，求證
10．設(shè)在內(nèi)一致收斂于，且
.
證明：和存在且相等，即
.
11．設(shè)在黎曼可積，且在一致收斂于，
證明：在黎曼可積.
2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及其判別法
1．求出下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域（絕對(duì)的和條件的）：
⑴
⑵
⑶
⑷
2．按定義討論下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性：
⑴
⑵ .
3．討論下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑽
⑾
4．討論下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
5．證明級(jí)數(shù)關(guān)于在上為一致收斂，但對(duì)任何并非絕對(duì)收斂；而級(jí)數(shù)雖在上絕對(duì)收斂，但并不一致收斂.
6．設(shè)每一項(xiàng)都是上的單調(diào)函數(shù)，如果在的端點(diǎn)為絕對(duì)收斂，那么這級(jí)數(shù)在上一致收斂.
7．若的一般項(xiàng)并且在上一致收斂，證明在上也一致收斂且絕對(duì)收斂.
3 和函數(shù)的分析性質(zhì)
1． 研究下列級(jí)數(shù)所表示的函數(shù)在指定區(qū)間上的連續(xù)性：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
2．求證在內(nèi)連續(xù)，并有連續(xù)導(dǎo)函數(shù).
3．設(shè)求證：
⑴ 在上連續(xù)；
⑵ 在內(nèi)無(wú)窮次可微.
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