§3.4基本不等式

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1、 課題: 3.4基本不等式第1課時(shí)授課類(lèi)型：新授課【教學(xué)目標(biāo)】1知識(shí)與技能：學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等；2過(guò)程與方法：通過(guò)實(shí)例探究抽象基本不等式；3情態(tài)與價(jià)值：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣【教學(xué)重點(diǎn)】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過(guò)程；【教學(xué)難點(diǎn)】基本不等式等號(hào)成立條件【教學(xué)過(guò)程】1.課題導(dǎo)入基本不等式的幾何背景：如圖是在北京召開(kāi)的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車(chē)，代表中國(guó)人民熱情好

2、客。你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系。2.講授新課1探究圖形中的不等關(guān)系將圖中的“風(fēng)車(chē)”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個(gè)全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b那么正方形的邊長(zhǎng)為。這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為。由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個(gè)不等式：。當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有。2得到結(jié)論：一般的，如果3思考證明：你能給出它的證明嗎？證明：因?yàn)?當(dāng)所以，即41）從幾何圖形的面積關(guān)系認(rèn)識(shí)基本不等式特別的，如果a0,b0,我

3、們用分別代替a、b ，可得，通常我們把上式寫(xiě)作： 2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式用分析法證明：要證 (1)只要證 a+b (2)要證（2），只要證 a+b- 0 （3）要證（3），只要證 （ - ） （4）顯然，（4）是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，（4）中的等號(hào)成立。 3）理解基本不等式的幾何意義探究：課本第110頁(yè)的“探究”在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a,BC=b。過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？易證tADtDB，那么D2AB即D.這個(gè)圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即ab時(shí)，

4、等號(hào)成立.因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”評(píng)述：1.如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)a、b的等比中項(xiàng)，那么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).2.在數(shù)學(xué)中，我們稱(chēng)為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng)為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).補(bǔ)充例題例1 已知x、y都是正數(shù)，求證：(1)2；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.分析：在運(yùn)用定理：時(shí)，注意條件a、b均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件)，進(jìn)行變形.解：x，y都是正數(shù) 0，0，x20，y20，x30，y30(1)2即2.(2)xy

5、20 x2y220 x3y320（xy）（x2y2）（x3y3）222x3y3即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.3.隨堂練習(xí)1.已知a、b、c都是正數(shù)，求證（ab）（bc）（ca）abc分析：對(duì)于此類(lèi)題目，選擇定理：（a0，b0）靈活變形，可求得結(jié)果.解：a，b，c都是正數(shù)ab20bc20ca20（ab）（bc）（ca）222abc即（ab）（bc）（ca）abc.4.課時(shí)小結(jié)本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2b22ab；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（）.它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用).我們還可以用它們下面的等價(jià)變形來(lái)解決問(wèn)題：ab，ab（）2.5.評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)課本第113頁(yè)習(xí)題A組的第1題【板書(shū)設(shè)計(jì)】 010-58818067 58818068 canpoint第 4 頁(yè) 共 4 頁(yè)