江蘇省泰州市姜堰區(qū)高三上學(xué)期期中考試 理科數(shù)學(xué)試題及答案

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1、姜堰區(qū)2015-2016學(xué)年度第一學(xué)期期中調(diào)研測(cè)試 高三年級(jí)數(shù)學(xué)試題（理） 2015．11 命題人：史記祥（省姜堰二中） 審核人：王如進(jìn) 孟太 數(shù)學(xué)Ⅰ （本卷考試時(shí)間：120分鐘 總分160分） 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分． 請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上． 1．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則的實(shí)部為 ▲ ． 2．已知，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ▲ ． 3．若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 ▲ ． 4．若滿足，則的最大值為 ▲ ． 5．根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果為 ▲ ． S←1 I←

2、1 While I10 S←S＋2 I←I＋3 End While Print S （第5題圖） 6．設(shè) ，則“ ”是“ ”的 ▲ 條件（從“充分不必要”、“必 要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中選擇）． 7．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球中有黃球的概率為 ▲ ． 8．將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得到的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，則 ▲ ． 9．設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則 ▲ ．

3、 10．在中，點(diǎn)滿足，若，則 ▲ ． 11．若函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ▲ ． 12．過點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，設(shè)在軸上的投影是點(diǎn)，過點(diǎn)再作曲線的切線，切點(diǎn)為，設(shè)在軸上的投影是點(diǎn)，依次下去，得到第個(gè)切點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ▲ ． 13．如果函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則的最大值為 ▲ ． 14．設(shè)，其中均為實(shí)數(shù)，下列條件中，使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的有 ▲ （寫出所有正確條件的編號(hào)） ①；②；③；④；⑤ 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． 15．（本小題滿分1

4、4分） 已知函數(shù)． （1）求的最小正周期； （2）求在區(qū)間上的最小值． 16．（本小題滿分14分） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量． （1）若，求的值； （2）若與的夾角為，求的值． 17．（本小題滿分14分） 已知關(guān)于的方程． （1）若方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）若方程的兩根都在區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 18．（本小題滿分16分） 強(qiáng)度分別為的兩個(gè)光源間的距離為．已知照度與光的強(qiáng)度成正比，與光源距離的平方成反比，比例系數(shù)為．線段上有一點(diǎn)，設(shè)，點(diǎn)處總照度為．試就時(shí)回答下列問題．

5、（注：點(diǎn)處的總照度為受光源的照度之和） （1）試將表示成關(guān)于的函數(shù)，并寫出其定義域； （2）問：為何值時(shí)，點(diǎn)處的總照度最??？ 19．（本小題滿分16分） 已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列， 是等差數(shù)列，且 ． （1）求和的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，其前項(xiàng)和為． ①求； ②若對(duì)任意恒成立，求的最大值． 20．（本小題滿分16分） 已知函數(shù)． （1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）證明：當(dāng)時(shí)，； （3）確定實(shí)數(shù)的所有可能取值，使得存在，當(dāng)時(shí)，恒有．

6、 數(shù)學(xué)Ⅱ （本卷考試時(shí)間：30分鐘 總分40分） 21A．（本小題滿分10分） 已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊，已知，，且 求的面積． 21B．（本小題滿分10分） 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式． 22．（本小題滿分10分） 投資生產(chǎn)產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)需要資金200萬元，需場(chǎng)地200，可獲得利潤(rùn)300萬元；投資生產(chǎn)產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)需要資金300萬元，需場(chǎng)地100，可獲得利潤(rùn)200萬元．現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場(chǎng)地900，問：應(yīng)作怎樣的組合投資，可使獲利最大？ 23．（本小題滿分10分） 已知函

7、數(shù)． （1）求的單調(diào)性； （2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù),都有． 姜堰區(qū)2015-2016學(xué)年度第一學(xué)期期中調(diào)研測(cè)試 高三年級(jí)數(shù)學(xué)試題（理）參考答案 數(shù)學(xué)Ⅰ 1.2 2. 3.15 4.2 5.7 6.充分不必要 7. 8. 9.或3 10. 11. 12. 13.18 14. ①②③⑤ 15. 解：（1） -----------4分 所以的最小正周期

8、 -----------7分 （2）因?yàn)?，所? -----------9分 所以當(dāng)，即時(shí) -----------11分 取最小值為 -----------14分 16．解：（1）因?yàn)?，所? -----------4分 所以 因?yàn)?，所? -----

9、------7分 （2）由 -----------10分 因?yàn)椋? -----------12分 所以，即 -----------14分 17．解：（1）令，由題意可知 ，即 -----------4分 解得

10、 -----------7分 （2）由題意可知 -----------10分 解得 -----------14分 18．解：（1）由題意可知： 點(diǎn)處受光源的照度為 -----------2分 點(diǎn)處受光源的照度為 -----------4分 從而，點(diǎn)的總照度為，

11、 -----------6分 其定義域?yàn)? -----------7分 （2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可得， -----------9分 令，得， 因?yàn)椋?，所以，解? -----------11分 當(dāng) -----------13分 因此，時(shí)，取得極小值，且是最小值 -----------15

12、分 答：時(shí)，點(diǎn)處的總照度最小 -----------16分 19．解：（1）設(shè)的公比為，的公差為，由題意， 由已知,有 -----------1分 解得 -----------3分 所以的通項(xiàng)公式為, 的通項(xiàng)公式為----------5分 （2）由（1）有 ，則

13、 ----------7分 兩式相減得 所以 -----------10分 （3）令 由，得，即 解得對(duì)任意成立，即數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列， 所以的最小項(xiàng)為 -----------13分 因?yàn)閷?duì)任意恒成立，所以， 所以的最小值為 -----------16分 20．解：（1）函數(shù)

14、的定義域?yàn)? -----------1分 對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得 -----------2分 由，得，解得 故的單調(diào)遞增區(qū)間為 -----------4分 證明：（2）令， 則有 -----------5分 當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減， -----------7分 故當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，

15、 -----------9分 解：（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意； -----------10分 當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有， 則，從而不存在滿足題意； -----------12分 當(dāng)時(shí)，令 則有 由得，． 解得 -----------14分 所以當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)遞增， 從而當(dāng)時(shí)，，即 綜上，的取值范圍是 -----------16分 數(shù)學(xué)Ⅱ 21A．解：由題意及正弦

16、定理可知：； 　 -----------3分 因?yàn)?，由勾股定理得? 　　 　 　 -----------5分 又，所以解得； 　　 -----------7分 所以的面積． 　 -----------10分 21B．解：由已知， 有， 即. 　　　 　　 -----------5分 從而， 又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，即， 所以，解得；

17、 　 　-----------8分 所以，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列， 故. 　 　-----------10分 22.解：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品百米，利潤(rùn)為S百萬元，則 約束條件為 ； 　 　-----------3分 目標(biāo)函數(shù)為 . 　 　-----------5分 作出可行域，將目標(biāo)函數(shù)變形為 這是斜率為，隨S變化的一族直線.是直線在軸

18、上的截距，當(dāng)最大時(shí)，S最大. 由圖象可知，使取得最大值的是兩直線與的交點(diǎn) 此時(shí) -----------9分 答：生產(chǎn)A產(chǎn)品325噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品250米時(shí)，獲利最大，且最大利潤(rùn)為1475萬元. --10分 23.解：（1）由,可得, -----------1分 當(dāng) ,即 時(shí),函數(shù) 單調(diào)遞增； 當(dāng) ,即 時(shí),函數(shù) 單調(diào)遞減； 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是. -----------4分 （2）設(shè) ,則 , -----------5分 曲線 在點(diǎn)P處的切線方程為, 即； 令 即 　　　-----------6分 則；由于在 單調(diào)遞減， 所以在 單調(diào)遞減,又因?yàn)椋? 所以當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),, -----------8分 所以 在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減, 所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,， 即對(duì)于任意的正實(shí)數(shù),都有. 　　　　　　　　　　　　　――----10分