大學(xué)物理第4章 狹義相對論時空觀習(xí)題解答(改)

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1、15 習(xí) 題 4-1 一輛高速車以0.8c的速率運動。地上有一系列的同步鐘，當(dāng)經(jīng)過地面上的一臺鐘時，駕駛員注意到它的指針在，他即刻把自己的鐘撥到。行駛了一段距離后，他自己的鐘指到6 us時，駕駛員看地面上另一臺鐘。問這個鐘的讀數(shù)是多少？ 【解】 所以地面上第二個鐘的讀數(shù)為 4-2 在某慣性參考系S中，兩事件發(fā)生在同一地點而時間間隔為4 s，另一慣性參考系S′ 以速度相對于S系運動，問在S′ 系中測得的兩個事件的時間間隔和空間間隔各是多少？ 【解】已知原時，則測時 由洛倫茲坐標(biāo)變換，得： 4-3 S系中測得兩個事件的時空坐標(biāo)是x1=61

2、04 m，y1=z1=0，t1=210-4 s和x2=12104 m，y2=z2=0，t2=110-4 s。如果S′ 系測得這兩個事件同時發(fā)生，則S′ 系相對于S系的速度u是多少？S′ 系測得這兩個事件的空間間隔是多少？ 【解】，，， 4-4 一列車和山底隧道靜止時等長。列車高速穿過隧道時，山頂上一觀察者看到當(dāng)列車完全進入隧道時，在隧道的進口和出口處同時發(fā)生了雷擊，但并未擊中列車。試按相對論理論定性分析列車上的旅客應(yīng)觀察到什么現(xiàn)象？這現(xiàn)象是如何發(fā)生的？ 【解】系（山頂觀察者）看雷擊同時發(fā)生，但車廂長度短于山洞長度，故未被擊中。 系（列車觀察者）看雷擊不同時發(fā)生

3、。雖然車廂長度長于山洞長度，但出洞處先遭雷擊，入洞處后遭雷擊，此時車尾已經(jīng)進入山洞。故未被擊中。 4-5 一飛船以0.99c的速率平行于地面飛行，宇航員測得此飛船的長度為400 m。（1）地面上的觀察者測得飛船長度是多少？（2）為了測得飛船的長度，地面上需要有兩位觀察者攜帶著兩只同步鐘同時站在飛船首尾兩端處。那么這兩位觀察者相距多遠？（3）宇航員測得兩位觀察者相距多遠？ 【解】（1） （2）這兩位觀察者需同時測量飛船首尾的坐標(biāo)，相減得到飛船長度，所以兩位觀察者相距是56.4 m。 （3）上的兩位觀察者相距56.4 m，這一距離在地面參考系中是原長，宇航員看地面是運動的，他

4、測得地面上兩位觀察者相距為 所以宇航員測得兩位觀察者相距7.96 m。 4-6 一艘飛船原長為l0，以速度v相對于地面作勻速直線飛行。飛船內(nèi)一小球從尾部運動到頭部，宇航員測得小球運動速度為u，求地面觀察者測得小球運動的時間。 【解】宇航員測得小球離開尾部的時空坐標(biāo)為，小球到達頭部的時空坐標(biāo)為。地面上測得小球運動的時間為： ， 4-7 在實驗室中測得兩個粒子均以0.75c的速度沿同一方向飛行，它們先后擊中同一靜止靶子的時間間隔為510-8 s。求擊中靶子前兩個粒子相互間的距離。 【解】 4-8 在參考系S中，一粒子沿x軸做直線運動，從坐標(biāo)原點O運動到

5、x=1.50108 m處，經(jīng)歷時間Δt=1 s。試計算粒子運動所經(jīng)歷的原時是多少？ 【解】粒子在系中的速度為 原時為： 4-9 一個在實驗室中以0.8c的速度運動的粒子飛行了3 m后衰變。實驗室中的觀察者測量該粒子存在了多少時間？與粒子一起運動的觀察者測得該粒子在衰變前存在了多少時間？ 【解】實驗室中的觀察者測得粒子的存在時間為： 與粒子一起運動的觀察者測得粒子的存在時間為原時 4-10 遠方的一顆星體以0.8c的速率離開我們。我們接收到它輻射出來的閃光周期是5晝夜，求固定在星體上的參考系測得的閃光周期。 【解】我們接收的閃光周期是測時，固定在星體上的參考系測

6、得的閃光周期為原時，即原時為： 4-11 一星體與地球之間的距離是16光年。一觀察者乘坐以0.8c速度飛行的飛船從地球出發(fā)向著星體飛去。該觀察者測得飛船到達星體所花的時間是多少？試解釋計算結(jié)果。 【解】星體與地球之間的距離是原長，飛船上的觀察者測得的距離是測長，測長為： 地球上的觀察者測得飛船到達星體所花的時間為： 飛船上的觀察者測得的時間是原時，地球上的觀察者測得飛船到達星體所花的時間為測時，這正是時間膨脹的一種表現(xiàn)。 4-12 一根固有長度為1 m的尺子靜止在S′系中，與O′x′軸成30角。如果在S系中測得該尺與Ox軸成45角，則S′ 系相對于S系的速度u是多

7、少？S系測得該尺的長度是多少？ 【解】在系中，米尺在x′ 軸方向的投影長度為： 在y′ 軸方向的投影長度為： 在系中，米尺在y 軸方向的投影長度不變， 由于米尺在S系中測得該尺與Ox軸的夾角為45，則在x 軸方向的投影長度為：，即 S′ 系相對于S系的速度為： S 系中測得該尺的長度為： 4-13 一立方體的質(zhì)量和體積分別為m0和V0。求立方體沿其一棱的方向以速速u運動時的體積和密度。 【解】 設(shè)立方體沿x方向運動，立方體的一條棱邊平行于x軸。 立方體的原邊長為 運動時，沿x軸方向邊長為： 因此物體的體積為： 運動時，物體的質(zhì)量為： 因此運動時物體的密度

8、為： 4-14 直桿縱向平行于S系的Ox軸勻速運動，在S系中同時標(biāo)出該桿兩端的位置，并測得兩端坐標(biāo)差Δx1=4 m。若在固定于桿上的S′ 系中同時標(biāo)出該桿兩端的位置，則在S′ 系中測得兩端坐標(biāo)差Δx2=9 m。求桿本身的長度和桿相對于S系的運動速度。 【解】根據(jù)題意可知，在S′ 系中測得桿的長度即為原長。 根據(jù)長度收縮關(guān)系式 是在系中測得桿的長度 【解】（邱雄習(xí)題答案）設(shè)直桿的原長為，根據(jù)題意可知，在S′ 系中測得桿的長度即為原長。 是在系中測得桿的長度 是系測得的距離（原長），在系測得為（縮短了） 這個題目的Δx2=9 m

9、是在S系中的兩個坐標(biāo)之差，不是原長。如果用洛侖茲變換解這題的第二次測量，會更容易理解。以下是我的解法。 【解】在S′ 系中，不管是否同時測量，桿兩端坐標(biāo)差都是原長，設(shè)直桿的原長為。 第一次測量，Δx1=4 m是動長，可以直接用長度收縮公式，有以下關(guān)系： （1） 第二次測量，Δt2′ =0 Δx2=9 m Δx2′ =L0 由洛侖茲變換 得到下面式子 （2） 由（1）（2）得到 4-15 從地球上測得地球到最近的恒星半人馬座α星的距離是4.31016 m，設(shè)一宇宙飛船以速

10、度0.99c從地球飛向該星。（1）飛船中的觀察者測得地球和該星間距離是多少？（2）按照地球上的時鐘計算，飛船往返一次需要多少時間？若以飛船上的時鐘計算，往返一次的時間又為多少？ 【解】（1）設(shè)地球為S系，飛船為S’系。地球上測得地球到半人馬座α星的距離為原長，飛船測得的距離為測長。則： （2）地球上的時鐘計算飛船往返一次所需的時間為 地球上的時鐘計算飛船往返一次所需的時間為測時，以飛船時鐘計為原時，則 4-16 天津和北京相距120 km。在北京于某日上午9時整有一工廠因過載而斷電。同日在天津于9時0分0.0003秒有一自行車與卡車相撞。試求在以沿北京到天津方向飛行的

11、飛船中的觀察者看來，這兩個事件相距多遠？這兩個事件之間的時間間隔是多少？哪一事件發(fā)生的更早？ 【解】（1）設(shè)飛船為系，地球為系，北京發(fā)生事件1，天津發(fā)生事件2。飛船測得這兩個事件的距離為： （2）飛船測得這兩個事件的時間間隔為： ，所以天津的事件先發(fā)生。 4-17 地球上的觀察者發(fā)現(xiàn)，一艘以的速度航行的宇宙飛船在5 s后同一個以的速度與飛船相向飛行的彗星相撞。（1）飛船上的人看到彗星以多大速率向他們接近。（2）按照飛船上觀察者的鐘，還有多少時間允許它離開原來的航線以避免相撞？ 【解】（1）設(shè)地球為系，飛船為系。由洛倫茲速度變換，在飛船測得的彗星速度為： 即彗星

12、以的速率向飛船接近。 （2）飛船上測得測得離發(fā)生碰撞的時間間隔為： 4-18 一原子核以0.6c的速率離開某觀察者運動。原子核在它的運動方向上向后發(fā)射一光子，向前發(fā)射一電子。電子相對于核的速度為0.8c。對于靜止的觀察者，電子和光子各具有多大的速度？ 【解】設(shè)觀察者所在參考系為S系，原子核為S’系。 洛倫茲速度變換式 由題意可知，，電子，光子 電子的速度 光子的速度 4-19 （1）火箭A以0.8c的速度相對于地球向正東飛行，火箭B以0.6c的速度相對于地球向正西飛行，求火箭B測得火箭Ａ的速度大小和方向。（2）如果火箭A向正北飛行，火箭B仍向正西

13、飛行，由火箭B測得火箭Ａ的速度大小和方向又是如何？ 【解】取正東為軸的正向，正北為軸的正向，根據(jù)洛倫茲速度相對變換式 ， ， （1）將，，，代入，得： 即在火箭B上測得火箭Ａ的速度大小為，方向為正東。 （2）將，，，代入，得： ， 即在火箭B上測得火箭Ａ的速度大小為，方向為東偏北。 4-20 北京正負電子對撞機中，電子可以被加速到能量為。求：（1）這個電子的質(zhì)量是其靜止質(zhì)量的多少倍？（2）這個電子的速率為多大？和光速相比相差多少？（3）這個電子的動量有多大？ 【解】（1）根據(jù)，可得： 即這個電子的質(zhì)量是其靜止質(zhì)量的5883倍。

14、（2）由上式可計算出這個電子的速率為： 與光速相比，相差： （3）電子的動量為： 由于，所以有 4-21 一個電子的總能量是它靜能的5倍，求它的速率、動量、總能分別是多少？ 【解】（1）根據(jù)，，可得： 由，求得電子的速率為： （2）電子的動量： （3）電子的能量： 4-22 （1）把一個靜止質(zhì)量為m0的粒子由靜止加速到0.1c所需的功是多少？（2）由速率0.89c加速到0.99c所需的功又是多少？ 【解】（1）由相對論的功能關(guān)系，電子由靜止加速到0.1c所需的功為： （2）同理，電子由速率0.89c加速到0.99c所需的功為： 4-

15、23 一個電子由靜止出發(fā)，經(jīng)過電勢差為1.0104 V的均勻電場，電子被加速。已知電子靜止質(zhì)量為m0=9.1110-31 kg，求：（1）電子被加速后的動能；（2）電子被加速后質(zhì)量增加的百分比；（3）電子被加速后的速率。 【解】（1）根據(jù) （2）由相對論的動能表達式，可得質(zhì)量的增量為： 電子質(zhì)量增加的百分比為： （3）電子加速后質(zhì)量為： 由質(zhì)速關(guān)系式，可得： 4-24 一個質(zhì)子的靜止質(zhì)量為，一個中子的靜止質(zhì)量為，一個質(zhì)子和一個中子結(jié)合成的氘核的靜止質(zhì)量為。求結(jié)合過程中放出的能量是多少MeV？這能量稱為氘核的結(jié)合能，它是氘核靜能的多少倍？ 【解】氘核的結(jié)合能為：

16、 即這一結(jié)合能是氘核靜能的0.12%倍。 4-25 太陽發(fā)出的能量是由質(zhì)子參與一系列反應(yīng)產(chǎn)生的，其總結(jié)果相當(dāng)于熱核反應(yīng)：。 已知：一個質(zhì)子（）的靜止質(zhì)量是，一個氦核（）的靜止質(zhì)量是，一個正電子（）的靜止質(zhì)量是。求：這一反應(yīng)所釋放的能量是多少？（2）消耗1kg的質(zhì)子可以釋放的能量是多少？（3）目前太陽輻射的總功率為，它一秒鐘消耗多少千克質(zhì)子？ 【解】（1）釋放能量為： （2）消耗1kg的質(zhì)子釋放的能量為： （3）太陽一秒鐘消耗質(zhì)子的質(zhì)量為： 4-26 兩個靜止質(zhì)量都是m0 的小球，其中一個靜止，另一個以v=0.8c運動。它們對心碰撞后粘在一起，求碰后合成小球的靜止質(zhì)量。 【解】兩小球碰撞前后能量守恒，則有： 兩小球碰撞前后動量守恒，則有： 將代入，解得：， 因為，所以有： 即碰撞后合成小球的靜止質(zhì)量為。 4-27 在什么速度下粒子的動量等于非相對論動量的2倍？又在什么速度下粒子的動能等于非相對論動能的2倍？ 【解】對動量問題，由題意可知： 解得： 對能量問題有： 解得： 15