《2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)專題6-2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)專題6-2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（9頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和【考情分析】1.理解等差數(shù)列的概念；2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系【重點(diǎn)知識梳理】知識點(diǎn)一 等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：an1and(nN*，d為常數(shù))，或anan1d(n2，d為常數(shù))知識點(diǎn)二 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)若等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為ana1(n1
2、)d通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)d(m，nN*)(2)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Snna1d(其中nN*，a1為首項(xiàng)，d為公差，an為第n項(xiàng))知識點(diǎn)三 等差數(shù)列及前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項(xiàng)，且A(2)若an為等差數(shù)列，且mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列(4)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差數(shù)列(5)S2n1(2n1)an.(6)若n為偶數(shù)，則S偶S奇；若n為奇數(shù)，則S奇S偶a中(中間項(xiàng))知識點(diǎn)四 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)
3、系Snn2n.數(shù)列an是等差數(shù)列SnAn2Bn(A，B為常數(shù))知識點(diǎn)五 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列an中，a10，d0，則Sn存在最大值；若a10，d0，則Sn存在最小值【必會(huì)結(jié)論】等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an為等差數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN*)，則akalaman.若mn2p(m，n，pN*)，則aman2ap.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列(5)若an是等差數(shù)列，公差為d, 則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md
4、的等差數(shù)列(6)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, 則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等差數(shù)列，其公差為n2d.【典型題分析】高頻考點(diǎn)一 等差數(shù)列基本量的運(yùn)算【例1】(2019全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S40，a55，則()Aan2n5Ban3n10CSn2n28n DSnn22n【答案】A【解析】法一：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，因?yàn)樗越獾盟詀na1(n1)d32(n1)2n5，Snna1dn24n.故選A.法二：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)樗越獾眠x項(xiàng)A，a12153；選項(xiàng)B，a131107，排除B；選項(xiàng)C，S1286，排除C；選項(xiàng)D，S12，排除D.故選A.
5、【舉一反三】 (2018全國)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若3S3S2S4，a12，則a5等于()A12 B10C10 D12【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由3S3S2S4，得32a1d4a1d，將a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10，故選B?！痉椒记伞康炔顢?shù)列基本運(yùn)算的常見類型及解題策略(1)求公差d或項(xiàng)數(shù)n.在求解時(shí)，一般要運(yùn)用方程思想(2)求通項(xiàng)a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本元素(3)求特定項(xiàng)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解(4)求前n項(xiàng)和利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求解或利用等差中項(xiàng)間接求解【特別提醒】在求解數(shù)列基本量問題中主要使用
6、的是方程思想，要注意使用公式時(shí)的準(zhǔn)確性與合理性，更要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性在遇到一些較復(fù)雜的方程組時(shí)，要注意運(yùn)用整體代換思想，使運(yùn)算更加便捷【變式探究】 (2020遼寧大連模擬) 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a24，S422，an28，則n()A3 B7C9 D10【答案】D【解析】因?yàn)镾4a1a2a3a44a22d22，d3，a1a2d431，ana1(n1)d13(n1)3n2，由3n228，得n10.高頻考點(diǎn)二 等差數(shù)列的判定與證明【例2】【2019全國II卷】已知數(shù)列an和bn滿足a1=1，b1=0，.（I）證明：an+bn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；（II）求an和bn的通項(xiàng)公
7、式.【答案】（I）見解析；（2），.【解析】（1）由題設(shè)得，即又因?yàn)閍1+b1=l，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列由題設(shè)得，即又因?yàn)閍1b1=l，所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列（2）由（1）知，所以，。【方法技巧】等差數(shù)列的判定與證明方法(1)定義法：an1and(d是常數(shù)，nN*)或anan1d(d是常數(shù)，nN*，n2)an為等差數(shù)列(2)等差中項(xiàng)法：2an1anan2(nN*)an為等差數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：ananb(a，b是常數(shù)，nN*)an為等差數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：Snan2bn(a，b為常數(shù))an為等差數(shù)列【特別提醒】若要判定一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需找出三項(xiàng)an，a
8、n1，an2，使得這三項(xiàng)不滿足2an1anan2即可；但如果要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項(xiàng)法【變式探究】（2020河北唐山模擬）已知數(shù)列an中，a1，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an(n2)(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式【解析】(1)證明：當(dāng)n2時(shí)，SnSn1.整理，得Sn1Sn2SnSn1.兩邊同時(shí)除以SnSn1，得2.又4，所以是以4為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列(2)由(1)可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為4(n1)22n2，所以Sn.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1.當(dāng)n1時(shí)，a1，不適合上式所以an高頻考點(diǎn)三 等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用【例3】（2020新課標(biāo)）北京天壇的
9、圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A. 3699塊B. 3474塊C. 3402塊D. 3339塊【答案】C【解析】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，即即，解得，所以.【舉一反三】【2019全國III卷】記Sn為等差數(shù)列a
10、n的前n項(xiàng)和，則_.【答案】4【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,因，所以，即，所以。【方法技巧】一般地，運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)可以優(yōu)化解題過程，但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件，如mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*)；數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差數(shù)列；也成等差數(shù)列等差數(shù)列的性質(zhì)是解題的重要工具?！咀兪教骄俊浚?020安徽蚌埠第二中學(xué)調(diào)研）一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和的比為3227，則該數(shù)列的公差d 【解析】設(shè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)的和為S偶，公差為d.由已知條件，得解得又S偶S奇6d，所以d5.【答案】5高頻考點(diǎn)四 等差數(shù)
11、列前n項(xiàng)和的最值問題【例4】（2020北京卷）在等差數(shù)列中，記，則數(shù)列（ ）A. 有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B. 有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C. 無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D. 無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)【答案】B【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項(xiàng)公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng)，由于，故數(shù)列中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：，.故數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為.【變式探究】(2019北京卷)設(shè)an是等差數(shù)列，a110，且a210，a38，a46成等比數(shù)列(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)記an的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值【解析】(1)an是等差數(shù)列，a110，且a210，a38，a46成等比數(shù)列(a38)2(a
12、210)(a46)，(22d)2d(43d)，解得d2，ana1(n1)d102n22n12.(2)法一：(函數(shù)法)由a110，d2，得Sn10n2n211n，n5或n6時(shí)，Sn取最小值30.法二：(鄰項(xiàng)變號法)由(1)知，an2n12.所以，當(dāng)n7時(shí)，an0；當(dāng)n6時(shí)，an0.所以Sn的最小值為S630.【方法技巧】求數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的方法(1)通項(xiàng)法：若a10，d0，則Sn必有最大值，其n的值可用不等式組來確定；若a10，d0，則Sn必有最小值，其n的值可用不等式組來確定；(2)二次函數(shù)法：等差數(shù)列an中，由于Snna1dn2n，可用求函數(shù)最值的方法來求前n項(xiàng)和的最值，這里應(yīng)由nN*及二
13、次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值；(3)不等式組法：借助Sn最大時(shí)，有(n2，nN*)，解此不等式組確定n的范圍，進(jìn)而確定n的值和對應(yīng)Sn的值(即Sn的最值)?！咀兪教骄俊浚?018全國卷）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a1=-7，S3=-15 （1）求an的通項(xiàng)公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值【答案】（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值為16【解析】（1）設(shè)an的公差為d，由題意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通項(xiàng)公式為an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為16【總結(jié)提升】1.要注意等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，如等2求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法(1)函數(shù)法利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Snan2bn，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解(2)通項(xiàng)變號法當(dāng)a10，d0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；當(dāng)a10，d0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm?！咀兪教骄俊浚?020山東德州模擬）兩等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且，則 【解析】因?yàn)閿?shù)列an和bn均為等差數(shù)列，所以.【答案】
2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)專題6-2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和
