換個(gè)角看問題--數(shù)學(xué)一題多解

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1、換個(gè)角度看問題，這邊風(fēng)景獨(dú)好 一題多解面面觀 山東省鄲城一中梁桂梅 數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，它的各個(gè)部分之間存在概念的親緣關(guān)系。我們在學(xué)習(xí)每一分 支時(shí)，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部內(nèi)容，使之融會貫通” ，這 里所說的橫向聯(lián)系， 主要是靠一題多解來完成的。 通過用不同的方法解決同一道數(shù)學(xué)題， 既 可以開拓解題思路， 鞏固所學(xué)知識；又可激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，達(dá)到開發(fā)潛能，發(fā) 展智力，提高能力的目的。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。 下面僅舉一例進(jìn)行一題多解和一題多變來說明： 例：已知、》且，求的取值范圍。 解答此題的方法比較多，下面給出幾種常見的思想方法，以作示

2、例。 解法一：（函數(shù)思想）由得，則 （）一（一） 由于e [,],根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知 當(dāng)時(shí)，取最小值；當(dāng)或時(shí)，取最大值。 評注：函數(shù)思想是中學(xué)階段基本的數(shù)學(xué)思想之一，揭示了一種變量之間的聯(lián) 系，往往用函數(shù)觀點(diǎn)來探求變量的最值。對于二元或多元函數(shù)的最值問題，往往 是通過變量替換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來解決，這是一種基本的數(shù)學(xué)思想方法。解決函 數(shù)的最值問題，我們已經(jīng)有比較深的函數(shù)理論，函數(shù)性質(zhì)，如單調(diào)性的運(yùn)用、導(dǎo) 數(shù)的運(yùn)用等都可以求函數(shù)的最值。 解法二：（三角換元思想）由于，、》，則可設(shè) 9 , 9 其中 8 e [,] 則 88 （99）- 88 一（00） — 0 —X 9

3、 于是，當(dāng)8 —時(shí)，取最小值； 當(dāng)8時(shí)，取最小值。 評注：三角換元思想也是高中數(shù)學(xué)的基本思想方法之一， 通過三角換元就將 問題轉(zhuǎn)化為三角恒等式變形后來解決，而三角包等變形卻有著一系列的三角公 式，所以運(yùn)用三角換元解決某些問題往往比較方便。 解法三：（對稱換元思想）由于，、》，則可設(shè) ，一,其中 C [一,] 于是，（）（-） C[,] 所以，當(dāng)時(shí)，取最小值；當(dāng)時(shí)，取最大值。 評注：對稱換元將減元結(jié)果進(jìn)行簡化了，從而更容易求最值。 這三種方法，在本質(zhì)上都一樣，都是通過函數(shù)觀點(diǎn)來求最值，只是換元方式 的不同而已，也就導(dǎo)致了化簡運(yùn)算量大小不同， 教師通過引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生主動思 考、運(yùn)

4、用，提高了學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，也增強(qiáng)了學(xué)生思維能力的提高。 解法四：（運(yùn)用基本不等式）由于、》且 則 <,從而 于是，（） 所以，當(dāng)時(shí)，取最大值；當(dāng)時(shí)，取最小值。 評注：運(yùn)用基本不等式可以解決一些含有兩個(gè)未知量的最值問題， 但要注意 等號成立的條件是否同時(shí)滿足。 解法四：（解析幾何思想）設(shè)，則為動點(diǎn)（，）到原點(diǎn)（，）的距離，于是 x + y = 1 只需求線段｛x至0 上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大和最小距離就可。 J之 十 當(dāng)點(diǎn)與或重合時(shí)，，則（） 當(dāng)，時(shí)），則（） \ 評注：用幾何的觀點(diǎn)研究代數(shù)問題，可以加強(qiáng)學(xué)生幽幽淪思即勺養(yǎng)成， 使 學(xué)生在數(shù)和形的理解把握好一個(gè)聯(lián)系的尺度，

5、 能夠由數(shù)川到形的意父,由形想到 數(shù)的結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到快速解決這類問題的目的。 事實(shí)上，有許多解析幾何最值問 題和代數(shù)中許多最值問題都可以用類似的方法解決， 這對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培 養(yǎng)，有著很積極的作用。 解法五：（數(shù)形結(jié)合思想）設(shè)（>）,此二元方程表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、 半徑為的動圓，記為。。 x y = 1 于是，問題轉(zhuǎn)化為。與線段 x.0 豐.、 y-0 有公共點(diǎn)，求的變化范圍。 I 當(dāng)。經(jīng)過線段端點(diǎn)時(shí)；當(dāng)。與線段相切時(shí)） 則 << 評注：此解法與解法四并無本質(zhì)區(qū)別，關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的形成。 至此，解答本題的幾種常見方法介紹完畢，下面展示對本題的變式和推廣。 解法六：設(shè)z=x2+y2. 2 2 1 2 1 2 1 1 x y=1, z = x y-x—y1=（x ） （y ） . 2 2 2 2 二當(dāng)x = y =1時(shí)，z最小=1.即x2 + y2的最小值為-. 2 2 2 評注：配方法是解決求最值問題的一種常用手段，利用已知條件結(jié)合所求式 子，配方后得兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的形式，從而達(dá)到求最值的目的。