第五章 線、面相對(duì)位置 (2)

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1、單擊以編輯,母版標(biāo)題樣式,,單擊以編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,*,*,*,第五章 直線與平面的相對(duì)位置 兩平面的相對(duì)位置,§5-1 直線與平面平行 ? 兩平面平行,§5-2 直線與平面的交點(diǎn) ? 兩平面的交線,§5-3 直線與平面垂直 ? 兩平面垂直,基本要求,1,,基本要求,（一）平行問(wèn)題,,1 熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件； 2 熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。,,（二）相交問(wèn)題,,1 熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點(diǎn)的求法和作兩個(gè)面的交線

2、（其中一平面的投影具有積聚性）。 2 熟練掌握一般位置線、面相交求交點(diǎn)的方法；掌握一般位置面、面相交求交線的作圖方法。 3 掌握利用重影點(diǎn)判別投影可見性的方法。,,（三）垂直問(wèn)題 掌握線面垂直、面面垂直的投影特性及作圖方法。,,（四）點(diǎn)、線、面綜合題 1 熟練掌握點(diǎn)、線、面的基本作圖方法； 2 能對(duì)一般畫法幾何綜合題進(jìn)行空間分析，了解綜合題的一般解題步驟和方法。,2,,§5-1 直線與平面平行 ? 兩平 面平行,一．直線與平面平行,,幾何條件：若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問(wèn)題

3、的依據(jù)。,,有關(guān)線、面平行的作圖問(wèn)題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。,,,例題1,,例題2,,二．平面與平面平行,,幾何條件：若一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線與另一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線對(duì)應(yīng)平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據(jù)。,,兩面平行的作圖問(wèn)題有：判別兩已知平面是否相互平行；過(guò)一點(diǎn)作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的投影。,,,例題3,,例題4,,例題5,3,,一、,直線與平面平行,若一直線平行于屬于定平面的一直線，則該直線與平面平行,,P,C,D,B,A,4,,例題1 試判斷直線,AB,是否平行于定平面

4、,f,g,?,f,?,g,b,?,a,?,a,b,c,?,e,?,d,?,e,d,c,結(jié)論：直線,AB,不平行于定平面,5,,例題2 試過(guò)點(diǎn),K,作水平線,AB,平行于,Δ,CDE,平面,b,?,a,?,a,f,?,f,b,c,?,e,?,d,?,e,d,k,?,k,c,6,,二、兩平面平行,若屬于一平面的相交兩直線對(duì)應(yīng)平行于屬于另一平面的相交兩直線，則此兩平面平行,P,S,E,F,D,A,C,B,7,,例題3 試判斷兩平面是否平行,f,?,e,?,d,?,e,d,f,c,?,a,?,a,c,b,?,b,m,?,n,?,m,n,r,?,r,s,s,?,結(jié)論：兩平面平行,8,,例題4

5、 已知定平面由平行兩直線,AB,和,CD,給定。試過(guò)點(diǎn),K,作一平面平行于已知平面 。,e,m,?,n,?,m,n,f,?,e,?,f,s,r,?,s,?,r,d,?,d,c,?,a,?,a,c,b,?,b,k,?,k,9,,例題5 試判斷兩平面是否平行。,結(jié)論：兩平面平行,e,f,?,e,?,f,s,r,?,s,?,d,?,d,c,?,a,?,a,c,b,?,b,r,P,H,S,H,10,,§5-2 直線與平面的交點(diǎn) ? 兩平 面的交線,,直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面相交有交點(diǎn)，交點(diǎn)既在直線上又在平面上，因而交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。兩平面的交線

6、是直線，它是兩個(gè)平面的共有線。求線面交點(diǎn)、面面交線的實(shí)質(zhì)是求共有點(diǎn)、共有線的投影。,,一、,直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn),,二、,兩平面的交線是直線,,三、,直線與,特殊位置,平面相交,,四、,一般位置平面與,特殊位置,平面相交,,五、,直線與一般位置平面相交,,六、,兩一般,位置,平面相交,11,,一、,直線與平面相交,P,直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)，它是直線與平面的共有點(diǎn)。,B,K,A,12,,M,B,C,A,二、平面與平面相交,F,K,N,L,兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有,13,,三、特殊位置線面相交,特殊位置線面相交，其交點(diǎn)的投影可利用直線或平面的積聚性投影直接求出。

7、 （,l）,當(dāng)直線為一般位置，平面的某個(gè)投影具有積聚性時(shí)，交點(diǎn)的一個(gè)投影為直線與平面積聚性投影的交點(diǎn)，另一個(gè)投影可在直線的另一個(gè)投影上找到。 （2）當(dāng)直線的某個(gè)投影具有積聚性，平面為一般位置時(shí)，交點(diǎn)的一個(gè)投影與直線的積聚性投影重合，另一個(gè)投影可利用在平面上找點(diǎn)的方法在平面的另一個(gè)投影上得到。,,,直線與,特殊位置,平面相交,,,判斷直線的可見性,,14,,b,?,b,a,?,a,c,c,?,m,?,m,n,n,?,直線與,特殊位置,平面相交,由于,特殊位置,平面的某些投影有積聚性,，,交點(diǎn)可直接求出。,V,H,P,H,P,A,B,C,a,c,b,k,N,K,M,k,k,?,15,,判斷直線的

8、可見性,V,H,P,H,P,A,B,C,a,c,b,k,N,K,M,b,?,b,a,?,a,c,c,?,m,?,m,n,?,k,k,?,n,特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。,16,,四、一般位置平面與,特殊位置,平面相交,求兩平面交線的問(wèn)題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問(wèn)題,由于,特殊位置,平面的某些投影有積聚性,，,交線可直接求出。,,一般位置平面與,特殊位置,平面相交,,判斷平面的可見性,,17,,一般位置平面與,特殊位置,平面相交,n,l,m,m,?,l,?,n,?,b,a,c,c,?,a,?,b,?,f,k,f,?,k,?,V,H,M,m,n,l,P,B,C,

9、a,c,b,P,H,k,f,F,K,N,L,18,,判斷平面的可見性,V,H,M,m,n,l,B,C,a,c,k,f,F,K,N,L,b,?,b,a,c,n,l,m,c,?,m,?,a,?,l,?,n,?,f,k,f,?,k,?,結(jié) 果,19,,判斷平面的可見性,b,?,b,a,c,n,l,m,c,?,m,?,a,?,l,?,n,?,f,k,f,?,k,?,V,H,M,m,n,l,B,C,a,c,k,f,F,K,N,L,20,,五、直線與一般,位置,平面相交,一般位置線面相交由于直線和平面的投影都沒有積聚性，求交點(diǎn)時(shí)無(wú)積聚性投影可以利用，因此通常要采用輔助平面法求一般位置線面的交點(diǎn)。一般位置線

10、、面相交求交點(diǎn)的步驟：,,（,l）,含已知直線作特殊位置輔助平面；,,（2）求輔助平面與已知平面的交線；,,（3）求交線與已知直線的交點(diǎn)，交點(diǎn)即為所求。,,以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn),,示意圖,,以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn),,示意圖,,判別可見性,,示意圖,,21,,f,?,e,?,e,f,b,a,?,a,c,b,?,c,?,1,?,2,?,以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn),Q,V,2,1,k,k,?,,步驟,：,,1、 過(guò),EF,作正垂平面,Q,。,,2、求,Q,平面與,Δ,ABC,的交線,ⅠⅡ,。,3、求交線,ⅠⅡ,與,EF,的交點(diǎn),K,。,22,,A,B,C,Q,過(guò),MN,作平面,Q,垂

11、直于,V,投影面,M,N,以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖,23,,1,2,以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn),。,P,H,1,?,f,?,e,?,e,f,b,c,?,a,?,a,c,b,?,步驟,：,,1、 過(guò),EF,作鉛垂平面,P,。,,2、求,P,平面與,Δ,ABC,的交線,ⅠⅡ,。,3、求交線,ⅠⅡ,與,EF,的交點(diǎn),K,。,k,?,k,2,?,24,,C,A,B,過(guò),MN,作,平面,P,垂直于,H,投影面,N,M,P,E,F,K,以,鉛,垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖,25,,直線,EF,與平面,ABC,相交，判別可見性。,利用重影點(diǎn)。,,判別可見性,(,,),f,?,e,?,e

12、,f,b,a,?,a,c,b,?,c,?,1,2,4,?,3,?,2,?,1,?,3,4,（,,）,k,k,?,26,,,H,V,a,?,b,?,c,?,c,e,a,A,B,b,C,F,E,f,?,f,k,?,K,k,e,?,直線,EF,與平面,Δ,ABC,相交，判別可見性,示意圖,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,1,?,,(,2,?,),(,4,),3,利用重影點(diǎn)。,,判別可見性,27,,六、兩一般位置平面相交,求兩平面交線的問(wèn)題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問(wèn)題,,因而可利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。,,兩一般位置平面相交,求交線,,示意圖,,判別可見性,,例題6,,

13、,28,,兩一般位置平面相交，求交線步驟：,,,1、用直線與平面求交點(diǎn)的方法求出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn),K,、,E,。,求兩平面的交線,b,a,c,c,?,b,?,a,?,l,l,?,n,m,m,?,n,?,P,V,Q,V,1,?,2,?,2,1,k,?,k,e,e,2、連接兩個(gè)共有點(diǎn)，畫出交線,KE,。,29,,兩一般位置平面相交求交線的方法,利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。,M,B,C,A,F,K,N,L,30,,利用重影點(diǎn)判別可見性,兩平面相交，判別可見性,b,a,c,c,?,b,?,a,?,l,l,?,n,m,m,?,n,?,k,e,e,?,k,?

14、,3,?,,4,?,,( ),3 4,2,1,( ),1,?,,2,?,31,,a,c,?,b,a,?,c,b,?,f,?,e,?,e,f,k,?,k,例題6,,試過(guò),K,點(diǎn)作一直線平行于已知平面,Δ,ABC,，,并與直線,EF,相交,。,32,,分析,,F,P,C,A,B,E,K,H,過(guò)已知點(diǎn),K,作平面,P,平行,于,?,,ABC,；,直線,EF,與平面,P,交于,H,；,連接,KH,，,KH,即為所求。,33,,作圖步驟,m,?,n,?,h,?,h,n,m,f,f,?,a,c,?,b,a,?,c,b,?,e,?,e,k,?,k,P,V,1,?,1,2,?,2,1、過(guò)點(diǎn),K

15、,作平面,KMN,//,?,,ABC,平面。,2、過(guò)直線,EF,作正垂平面,P,。,3、,求平面,P,與平面,KMN,的交線ⅠⅡ。,4、求交線ⅠⅡ 與,EF,的交點(diǎn),H,。,5、,連接,KH,，,KH,即為所求。,34,,§5-3 直線與平面垂直 ? 兩平面垂直,一、直線與平面垂直,,,幾何條件,,,定理1,,定理2,,,例題7,,例題8,,例題9,,例題10,,,二、兩平面垂直,,,幾何條件,,,例題11,,例題12,,例題13,35,,直線與平面垂直的幾何條件,：,若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該,,平面的一切直線。,,,,V,H,P,A,K,N,D,C,B,E,36,,定

16、理1：,若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。,V,P,A,K,N,D,C,B,E,H,a,?,a,d,?,c,?,b,?,d,c,b,e,?,e,k,n,,k,?,n,?,37,,定理2（逆）：,若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、則直線必垂直于該平面。,a,?,c,a,c,?,,n,?,,n,k,f,?,d,?,b,?,d,b,f,k,?,V,P,A,K,N,D,C,B,E,H,38,,例題7：平面由,?,,BDF,給定，試過(guò)定點(diǎn),K,作平面的法線

17、。,a,?,c,a,c,?,,n,,n,?,k,f,?,d,?,b,?,d,b,f,k,?,39,,h,?,,h,例題8：試過(guò)定點(diǎn),K,作特殊位置平面的法線。,,h,?,h,,h,?,h,k,k,?,S,V,k,?,k,P,V,k,?,k,Q,H,40,,例題9：平面由兩平行線,AB,、,CD,給定，試判斷直線,MN,是否垂直于定平面。,e,?,f,?,e,m,?,n,m,n,?,c,?,a,?,a,d,?,b,?,c,d,b,f,,41,,例題10 試過(guò)點(diǎn),N,作一平面，使該平面與,V,面的夾角為60 °，與,H,面的夾角為45 °。,n,?,n,42,,分析：平面的法線與平面的最大斜度

18、線對(duì)同一投影面的夾角互為補(bǔ)角,H,P,A,K,F,D,C,B,E,f,?,?,43,,直徑任取,NM,作圖過(guò)程,|,y,M,-,y,N,|,|,z,M,-,z,N,|,m,?,h,?,m n,m,k,|,z,M,-,z,N,|,|,y,M,-,y,N,|,30,°,45,°,m n,m,?,n,?,k,?,,h,,n,?,n,44,,兩平面垂直的幾何條件,Ⅱ,若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。,A,D,45,,反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。,A,D,Ⅰ,Ⅱ,,兩平面垂直,兩平面不垂直,Ⅱ,Ⅰ,A,D,46,

19、,g,?,例題11 平面由,?,,BDF,給定，試過(guò)定點(diǎn),K,作已知平面的垂面,h,a,?,c,a,c,?,,h,?,k,k,?,f,?,d,?,b,?,d,b,f,g,47,,例題12 試判斷,?,,A,BC,與相交兩直線,KG,和,KH,所給定的平面是否垂直。,g,?,h,?,a,?,c,h,a,c,?,k,k,?,b,?,b,g,,f,?,f,d,?,,d,結(jié)論：因?yàn)?AD,直線不在,?,,A,BC,平面上，所以兩平面不垂直。,48,,例題13 試過(guò)定點(diǎn),A,作直線與已知直線,EF,正交。,a,?,e,f,a,f,?,e,?,49,,E,Q,分析,,過(guò)已知點(diǎn),A,作平面與已知直線,EF,垂直交于點(diǎn),K，,連接,AK，AK,即為所求。,F,A,K,50,,作圖過(guò)程,,2,?,,1,a,?,e,f,a,f,?,e,?,1,?,2,,2,?,,1,P,V,a,?,e,f,a,f,?,e,?,1,?,2,k,?,k,51,,本章結(jié)束,52,,