江西省南昌市2024屆高三第三次模擬測試 數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、2024屆高三第三次模擬測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知集合，.則（）ABCD2已知“”，“”，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABCD3如圖對(duì)兩組數(shù)據(jù)，和，分別進(jìn)行回歸分析，得到散點(diǎn)圖如圖，并求得線性回歸方程分別是和，并對(duì)變量，進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得到相關(guān)系數(shù)，對(duì)變量，進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得到相關(guān)系數(shù)，則下列判斷正確的是（）ABCD4已知，則，的大小關(guān)系是（）ABCD5已知三棱錐中，是邊長為2的正三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別是線段的中點(diǎn)，若，則三棱錐的外接球的表面積為（）ABCD6已知數(shù)列

2、的前項(xiàng)和為，且滿足，則的值不可能是（）A1B2C3D157已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過作直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，若的周長為，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）ABCD8已知函數(shù).則下列說法中錯(cuò)誤的是（）A當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增B當(dāng)時(shí)，的最小值是一個(gè)與無關(guān)的常數(shù)C可能有三個(gè)不同的零點(diǎn)D當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9已知是單調(diào)遞減的等比數(shù)列，若，前3項(xiàng)和，則下列說法中正確的是（）ABCD10已知函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列說法正確的是（）A的圖象也關(guān)于直線

3、對(duì)稱B的圖象關(guān)于中心對(duì)稱CD11將橢圓上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，則下列說法中正確的是（）AB橢圓的離心率為C是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)D三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知復(fù)數(shù)滿足，則 .13在中，則 .14歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，則數(shù)列的前項(xiàng)和為 .四、解答題：本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15如圖1，四邊形為菱形，分別為，的中點(diǎn)，如圖2將沿向上折疊，使得平面平面，將沿向上折疊使得平面平面，連接.(1)求證：，四點(diǎn)共面：(2)求平面與平面所成角的余弦

4、值.16教練為了解運(yùn)動(dòng)員甲的罰籃情況，記錄了甲罰籃前30次的投籃情況，得到下表（用“1”表示投中，用“0”表示沒有投中）：序號(hào)123456789101112131415投籃情況110111101110001序號(hào)161718192021222324252627282930投籃情況101100111001110把頻率估計(jì)為概率：(1)若認(rèn)為甲各次投籃是獨(dú)立的，計(jì)算甲第31，32兩次投籃恰好一次投中，一次沒有投中的概率；(2)若認(rèn)為甲從第2次投籃開始，每次投籃受且僅受上一次投籃的影響，記甲第31，32兩次投籃投中的次數(shù)為，寫出隨機(jī)變量的分布列，并求.17已知橢圓的離心率為，過點(diǎn)作斜率為直線與橢圓交于

5、，兩點(diǎn)交于，（在軸上方），當(dāng)時(shí)，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，連接與軸交于點(diǎn)，若四邊形為等腰梯形，求直線的斜率.18定義：若變量，且滿足：，其中，稱是關(guān)于的“型函數(shù)”.(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的“2型函數(shù)”在點(diǎn)處的切線方程；(2)若是關(guān)于的“型函數(shù)”，（i）求的最小值：（ii）求證：，.19網(wǎng)絡(luò)購物行業(yè)日益發(fā)達(dá)，各銷售平臺(tái)通常會(huì)配備送貨上門服務(wù)小金正在配送客戶購買的電冰箱，并獲得了客戶所在小區(qū)門戶以及建筑轉(zhuǎn)角處的平面設(shè)計(jì)示意圖(1)為避免冰箱內(nèi)部制冷液逆流，要求運(yùn)送過程中發(fā)生傾斜時(shí)，外包裝的底面與地面的傾斜角不能超過，且底面至少有兩個(gè)頂點(diǎn)與地面接觸外包裝看作長方體，如圖1

6、所示，記長方體的縱截面為矩形，而客戶家門高度為米，其他過道高度足夠若以傾斜角的方式進(jìn)客戶家門，小金能否將冰箱運(yùn)送入客戶家中？計(jì)算并說明理由(2)由于客戶選擇以舊換新服務(wù)，小金需要將客戶長方體形狀的舊冰箱進(jìn)行回收為了省力，小金選擇將冰箱水平推運(yùn)(冰箱背面水平放置于帶滾輪的平板車上，平板車長寬均小于冰箱背面）推運(yùn)過程中遇到一處直角過道，如圖2所示，過道寬為米記此冰箱水平截面為矩形，設(shè)，當(dāng)冰箱被卡住時(shí)(即點(diǎn)、分別在射線、上，點(diǎn)在線段上），嘗試用表示冰箱高度的長，并求出的最小值，最后請(qǐng)幫助小金得出結(jié)論：按此種方式推運(yùn)的舊冰箱，其高度的最大值是多少？（結(jié)果精確到）1A【分析】利用二次根式的定義域結(jié)合指數(shù)

7、函數(shù)的值域求出對(duì)應(yīng)集合，再取交集即可.【詳解】令，解得，故，易得，故，則，故，故A正確，故選：A2B【分析】利用給定條件得到，再利用分離參數(shù)法求解參數(shù)范圍即可.【詳解】若是的充分不必要條件，故在時(shí)恒成立，故得，令，由二次函數(shù)性質(zhì)得在時(shí)單調(diào)遞增，則，可得，故B正確.故選：B3D【分析】由兩散點(diǎn)圖中散點(diǎn)的位置關(guān)系直接得答案.【詳解】由散點(diǎn)圖可知，與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)，則，故A、B錯(cuò)誤；且圖形中點(diǎn)比更加集中在一條直線附近，則，又，得.故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.4B【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】由題意得，易知，故，則，可得，故B正確.故選：B5C【分析】作出圖象，由

8、面面垂直的判斷定理可得平面平面，從而可得三棱錐的外接球的球心，求出外接球的半徑，即可得答案.【詳解】因?yàn)槭沁呴L為2的正三角形，是線段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，易知，又因?yàn)椋且詾樾边叺牡妊苯侨切?，所以，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，則，在，即，解得，所以三棱錐的外接球的表面積.故選：C.6B【分析】由與的關(guān)系，將式子化簡，可得，當(dāng)，即可得到是等差數(shù)列，排除D，當(dāng)，即可得到是等比數(shù)列，排除A，然后由計(jì)算，即可排除C.【詳解】因?yàn)?，且，則，化簡可得，若，則，且，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以，則，排除D；若，則，即，且，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，

9、為公比的等比數(shù)列，則，所以，則，排除A；再由計(jì)算，即，解得或，取，即，解得或，取，即，解得或，取，即，解得或，取，此時(shí)，排除C；故選：B7A【分析】由雙曲線的定義可得的周長為，求得，再由過焦點(diǎn)的弦長的最小值，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由雙曲線的定義可得，兩式相加可得，則的周長為，即，再由，可得，解得，由.故選：A8C【分析】利用求導(dǎo)，對(duì)常數(shù)按選項(xiàng)進(jìn)行分類討論，從而得到函數(shù)的單調(diào)性和極值情況，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合，即可以判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，由，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則有，當(dāng)時(shí)，則有，所以對(duì)任意的，都有，即在上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)， 有，所以當(dāng)時(shí)，則，即在上遞增；當(dāng)時(shí)，則，即在上遞減

10、；即，所以的最小值是一個(gè)與無關(guān)的常數(shù)，故B正確；對(duì)于D, 當(dāng)時(shí),分類討論：當(dāng)時(shí)，由可知：所以當(dāng)或時(shí)，則，即在和上遞增；當(dāng)時(shí)，則，即在上遞減；即在時(shí)有極小值，在時(shí)有極大值，由于時(shí)，（這里運(yùn)用指數(shù)爆炸增長，它的增長速度一定會(huì)大于二次函數(shù)的增長速度）所以由上可得有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由可知：所以當(dāng)或時(shí)，則，即在和上遞增；當(dāng)時(shí)，則，即在上遞減；即在時(shí)有極大值，在時(shí)有極小值，由于時(shí)，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由A得：在上單調(diào)遞增，由，由于時(shí)，所以由上可得有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；綜上可以判斷D是正確的；對(duì)于C，由于當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， 有，所以當(dāng)時(shí)，則，即在上遞增；當(dāng)時(shí)，則，即在上遞減；此時(shí)最多有

11、2個(gè)不同的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)顯然只有一個(gè)零點(diǎn)；所以不可能有三個(gè)不同的零點(diǎn)，故C是錯(cuò)誤的；故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，來判斷原函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而就可以解決問題.9AD【分析】設(shè)等比數(shù)列公比為，由已知條件得，解得，再使用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】由題意，設(shè)等比數(shù)列公比為，則，解得或，由因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞減的等比數(shù)列，所以，所以，.故選：AD.10BCD【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，由此分析可得由此分析選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱，所以， ，所以或，當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱， 此時(shí)，當(dāng)時(shí)，,，又是一個(gè)定值，而隨的不同而不同，此等式

12、不成立，即不成立,，即，所以的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，B正確；，即，C正確.與關(guān)于對(duì)稱，即，即，D正確，又，則，即，而，若A選項(xiàng)成立，則時(shí)，所以但此時(shí)，所以由可得，但這與已知矛盾，所以的圖象不可能關(guān)于直線對(duì)稱，A錯(cuò)誤.故選：BCD.11ACD【分析】根據(jù)題意，由橢圓的對(duì)稱性，求解頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得，再由橢圓的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】橢圓上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，設(shè)點(diǎn)在該橢圓上，則其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)代入橢圓方程有，即，則該對(duì)稱點(diǎn)位于橢圓方程上，同理其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)代入橢圓方程有，即，則該對(duì)稱點(diǎn)位于橢圓方程上，則關(guān)于對(duì)稱，所以，故D正確；將代入可得，可得橢圓長軸的頂點(diǎn)為，所以

13、，故A正確；將代入可得，可得橢圓長軸的頂點(diǎn)為，所以，則，則，故B錯(cuò)誤；所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為或，所以C正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵通過證明該非標(biāo)準(zhǔn)橢圓的對(duì)稱性，從而得到的值，再按照普通橢圓的定義計(jì)算即可，也可將該過程想象成坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn).12【分析】令代入，利用復(fù)數(shù)相等，得到，.【詳解】令，則有，即，解得，即，.故答案為：.131【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換以及正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】在中，利用正弦定理：，所以，整理得，所以或，由于，所以，故，由于，所以， .故答案為：1.14【分析】由已知定義先求出，代入后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】由題意可知，小于的

14、所有正奇數(shù)都與互質(zhì)，共有個(gè)，所以，小于且大于0的所有與不互質(zhì)的數(shù)是3的倍數(shù)，故與互質(zhì)的數(shù)共有，即，所以則其前項(xiàng)和為故答案為：.15(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)得到，結(jié)合中位線定理得到，最后證明四點(diǎn)共面即可.（2）找到對(duì)應(yīng)二面角的平面角，放入三角形中，利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）取，的中點(diǎn)分別為，連接，取，的中點(diǎn)分別為，連接，由題意知，都是等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)?，的中點(diǎn)分別為，所以所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，的中點(diǎn)分別為，所以，所以，所以，四點(diǎn)共面；（2）連接，且延長交于點(diǎn)，由題意知，所以，同理，所以就是二

15、面角的平面角，設(shè)，則，所以，同理，所以，所以平面與平面所成角的余弦值為.16(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）由題可得甲投籃投中的概率，投不中的概率為，故所求概率為恰有一次投中，一次沒有投中的概率為，代入數(shù)據(jù)即可求解；（2）表格中的數(shù)據(jù)可以知道：上一次投籃投中，這一次也投中的概率為，上一次投籃沒有投中，這一次投籃投中的概率為，的所有可能取值為0，1，2，然后求出對(duì)應(yīng)概率即可得解.【詳解】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在甲前30次的投籃過程中，有19次投中，11次沒有投中，因此因動(dòng)員甲投籃投中的概率，投不中的概率為，若甲各次投籃互相獨(dú)立，那么第31，32次投籃，恰有一次投中，一次沒有投中的概率為；

16、（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以知道：上一次投籃投中，這一次也投中的概率為，上一次投籃沒有投中，這一次投籃投中的概率為，的所有可能取值為，且由表格可知第30次運(yùn)動(dòng)員甲沒有投中，則，所以隨機(jī)變量的分布列為：012所以.17(1)(2)【分析】（1）由離心率可得，將橢圓方程化為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式求出，即可得解；（2）不妨設(shè)的中點(diǎn)為，則必有，則問題只需要求點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出，即可求出直線的斜率.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，不妨設(shè)橢圓的方程為，即.并與直線聯(lián)立方程，消去得，設(shè)，則有，由，所以，即或（舍去），所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）因

17、為四邊形為等腰梯形，則必有，即，不妨設(shè)的中點(diǎn)為，則必有，要求直線的斜率，只需要轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo)，則有，設(shè)，則有，有直線的方程為，令，則有,不妨設(shè)直線的方程為，則有，并與橢圓聯(lián)立方程，消去得，顯然，則有，則有，則有，所以，所以，所以.18(1)(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，得到，求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到，（i）化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解；（ii）由題意，得到，設(shè)，其中，化簡得到，記，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即可求解.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，可得，則，所以，所求切線方程為，即.（2）解：由是關(guān)于的“型函數(shù)”，可得，即，（i）因

18、為，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最小值.（ii）由，即，則，且，可設(shè)，其中，于是，記，可得，由，得，記，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，所以.【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別19(1)冰箱能夠按要求運(yùn)送入客戶家中，理由見解析；(2)最小值為米，此情況下能推運(yùn)冰箱高度的最大值為米.【分析】（1）過A，D作水平線，作，由可得；（2）延長與直角走廊的邊相交于、，由表示出，設(shè)進(jìn)行換元，利用單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）過A，D作水平線，作如圖，當(dāng)傾斜角時(shí)，冰箱傾斜后實(shí)際高度（即冰箱最高點(diǎn)到地面的距離），故冰箱能夠按要求運(yùn)送入客戶家中（2）延長與直角走廊的邊相交于、，則，又，則，設(shè)，因?yàn)椋?，所以，則 ，再令，則，易知，在上單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減，故當(dāng)，即，時(shí)，取得最小值.由實(shí)際意義需向下取，此情況下能順利通過過道的冰箱高度的最大值為米