二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式

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1、第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 1頁 0 qyypy 二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 )( xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 10.5 二階常系數(shù)線性微分方程 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 2頁 10.5.1 二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法 xry e 和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子 , 代入得 0e)( 2 xr qprr 02 qrpr 稱為微分方程的 特征方程 , 1. 當(dāng) 042 qp 時(shí) , 有兩個(gè)相異實(shí)根 方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解 : 因此方程的通解為 xrxr CCy 21

2、ee 21 ( r 為待定常數(shù) ), 所以令的解為 則微分 其根稱為 特征根 . 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 3頁 2. 當(dāng) 042 qp 時(shí) , 特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根 則微分方程有一個(gè)特解 設(shè)另一特解 ( u (x) 待定 ) 代入方程得 : e 1 xr )( 1 urup 0 uq )2( 211 ururu 是特征方程的重根 0u 取 u = x , 則得 ,e 12 xrxy 因此原方程的通解為 xrxCCy 1e)( 21 0)()2( 1211 uqrprupru 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 20

3、21 第 4頁 3. 當(dāng) 042 qp 時(shí) , 特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根 這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解 : xy )i(1 e )s ini( c o se xxx xy )i(2 e )s ini( c o se xxx 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解 : )( 21211 yyy )( 21i212 yyy xx c o se xx s i ne 因此原方程的通解為 )s inc o s(e 21 xCxCy x 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 5頁 小結(jié) : ),(0 為常數(shù)qpyqypy ,02 qrpr特征方程 : xrxr CCy

4、21 ee 21 實(shí)根 xrxCCy 1e)( 21 )s inc o s(e 21 xCxCy x 特 征 根 通 解 以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 . 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 6頁 定義 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根 確定其通解的方法稱為 特征方程法 . .044 的通解求方程 yyy 解 特征方程為 ,0442 rr 解得 ,221 rr 故所求通解為 .)( 221 xexCCy 例 2 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 7頁 .052 的通解求方程 yyy 解 特征方程為 ,

5、0522 rr 解得 ,2121 ir ， 故所求通解為 ).2s i n2c o s( 21 xCxCey x 例 3 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 8頁 例 4 求微分方程 的通解 082 yyy 解 特征方程為 0)2)(4(822 rrrr 解得 2,4 21 rr 故所求通解為 xx ececy 2241 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 9頁 例 . 求解初值問題 0dd2 d d 2 2 sts t s ,40 ts 20dd tts 解 : 特征方程 0122 rr 有重根 ,121 rr

6、因此原方程的通解為 ttCCs e)( 21 利用初始條件得 ,41 C 于是所求初值問題的解為 22 C 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 10頁 )( xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程 對(duì)應(yīng)齊次方程 ,0 qyypy 通解結(jié)構(gòu) , yYy 常見類型 ，)(xPm ,)( xm exP ,c o s)( xexP xm ,s i n)( xexP xm 難點(diǎn) ： 如何求特解？ 方法 ： 待定系數(shù)法 . 10.5.2 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程及其解法 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 11頁 設(shè)非齊

7、次方程特解為 xexQy )( 代入原方程 )()()()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m 不是特征方程的根若 )1( ,02 qp ),()( xQxQ m可設(shè) ;)( xm exQy 整理得 )()( xPexf mx類型 1. 型 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 12頁 是特征方程的重根若 )3( ,02 qp ,02 p ),()( 2 xQxxQ m可設(shè) 綜上討論 ,)( xQexy mxk 設(shè) 是重根 是單根 不是根 2 ,1 0 k .)(2 xm exQxy 是特征方程的單根，若 )2( ,02 qp ,02 p ),()

8、( xxQxQ m可設(shè) ;)( xm exxQy 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 13頁 .23 2 的通解求方程 xxeyyy 解 對(duì)應(yīng)齊次方程通解 特征方程 ,0232 rr 特征根 ， 21 21 rr ,221 xx eCeCY 是單根，2 ,)( 2 xeBAxxy 設(shè) 代入方程 , 得 xABAx 22 , 1 2 1 B A xexxy 2)1 2 1( 于是 原方程的通解為 .)121( 2221 xxx exxeCeCy 例 5 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 14頁 .32 2 的通解求

9、方程 xyy 解 對(duì)應(yīng)齊次方程通解 特征方程 ，012 r 特征根 ir 21， ，xCxCY s i ncos 21 不是特征方程的根，0 ，設(shè) CBxAxy 2 代入方程 , 得 702 CBA ， 72 2 xy于是 原方程的通解為 .72s i nc o s 2 21 xxCxCy 例 6 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 15頁 例 1. 的一個(gè)特解 . 解 : 本題 而特征方程為 不是特征方程的根 . 設(shè)所求特解為 代入方程 : 比較系數(shù) , 得 3 1,1 10 bb 于是所求特解為 0 ,0 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25

10、 January 2021 第 16頁 例 2. 的通解 . 解 : 本題 特征方程為 ,0652 rr 其根為 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 設(shè)非齊次方程特解為 xbxbxy 210 e)(* 比較系數(shù) , 得 1,21 10 bb 因此特解為 .e)1(* 221 xxxy 代入方程得 xbbxb 010 22 所求通解為 .e)( 2221 xxx ,2 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 17頁 例 3. 求解定解問題 0)0()0()0( 123 yyy yyy 解 : 本題 特征方程為 其 根為 設(shè)非齊次方程特解為 代入方程得 故 2132 2 CC

11、 故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為 1CY xC e2 xC 23 e 原方程通解為 1Cy xC e2 xC 23 e 由初始條件得 ,0 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 18頁 于是所求解為 xy xx 21e41e43 2 解得 4 1 1 4 3 3 2 1 C C C 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 19頁 2 ( ) ( ) c o s ( ) s i n 、 型x lnf x e P x x P x x s i n)(c o s)( )2()1( xxRxxRexy mmxk 設(shè) 次多項(xiàng)式，是其中 mxR

12、xR mm )(),(: )2()1( ，nlm ,m a x . 1 0 是單根 不是根 i ik 時(shí)或當(dāng) xBexAexf xx s i nc o s)( s i nc o s 21 xDxDexy xk 設(shè) 特別地 方法 1： 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 20頁 方法 2： 見書 P382 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 21頁 .s i n22 的通解求方程 xyyy 解 對(duì)應(yīng)齊次方程通解 , 221 xx eCeCY 不是特征根，ii ，故設(shè) xBxAy s i nc o s* 代入原方程求得

13、 5 3 5 1 BA ， xxy s i n53c o s51* 原方程通解為 .s i n3c o s 5 12 21 xxeCeCy xx 例 7 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 22頁 .2co s 的通解求方程 xxyy 解 對(duì)應(yīng)齊次方程通解 ,s i nc o s 21 xCxCY ,2 不是特征方程的根ii 代入原方程求得 例 8 ，設(shè) xDCxxBAxy 2s i n2c o s ，xxxy 2s i n942c o s31 原方程通解為 .2s i n942c o s31s i nc o s 21 xxxxCxCy 第十章 常微分方

14、程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 23頁 例 6 .s i ne2 2 的通解求方程 xyyy x 解 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 設(shè)所給方程的特解為 xxaxay 221 e)s i nc o s( , 21 為待定系數(shù)其中 aa代入所給方程 , 有 xxaaxaa s i ns i n)3(c o s)3( 2121 xx CCY 221 ee 于是 得 xxxy 2es i n 10 1c o s 10 3 所給方程的通解是 .es i n10 1c o s10 3ee 2221 xxx xxCCy 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 202

15、1 第 24頁 例 7 .2co s24 的通解求方程 xyy 解 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 042 解得 ,i21 ,i22 于是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 xCxCY 2s i n2c o s 21 設(shè)所給方程的特解為 ,)2s i n2c o s( 21 xaxaxy , 21 為待定系數(shù)其中 aa 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 25頁 ,2c o s,2s i n 的系數(shù)比較 xx .0,21 12 aa得 于是 , 得 xxy 2s i n21 所給方程的通解是 .2s i n212s i n2c o s 21 xxxCxCy 代入所給方程 ,

16、 有 xxaxa 2c o s22s i n42c o s4 12 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 26頁 例 4. 的一個(gè)特解 . 解 : 本題 特征方程 ,2,0 故設(shè)特解為 不是特征方程的根 , 代入方程得 xxxadxcxcbxa 2c o s2s in)433(2c o s)433( 012 r ,)( xxPl ,0)( xPn 比較系數(shù) , 得 9431 , da 于是求得一個(gè)特解 13 a 043 cb 03 c 043 ad 0 cb 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 27頁 例 5. 的通

17、解 . 解 : 特征方程為 ,092 r 其根為 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 比較系數(shù) , 得 因此特解為 )3s in33c o s5(* xxxy 代入方程 : xaxb 3s i n63c o s6 所求通解為 為特征方程的單根 , )3s in33c o s5( xxx 因此設(shè)非齊次方程特解為 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 28頁 小結(jié)： 1.二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟 : （ 1）寫出相應(yīng)的特征方程 ; （ 2）求出特征根 ; （ 3）根據(jù)特征根的不同情況 ,得到相應(yīng)的通解 . 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 Janu

18、ary 2021 第 29頁 02 qprr 0 qyypy 特征根的情況 通解的表達(dá)式 實(shí)根 21 rr 實(shí)根 21 rr 復(fù)根 ir 2,1 xrxr eCeCy 21 21 xr exCCy 1)( 21 )s i nc o s( 21 xCxCey x 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 30頁 可以是復(fù)數(shù)） (),()()1( xPexf mx );( xQexy mxk ,si n)(c o s)()()2( xxPxxPexf nlx ;s i n)(c o s)( )2()1( xxRxxRexy mmxk ( 待定系數(shù)法求特解 ) 2

19、. 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 31頁 思考題 1.求微分方程 的通解 . yyyyy ln22 2.寫出微分方程 xexyyy 22 8644 的待定特解的形式 . 3.寫出微分方程 xyy 2c o s24 2 的待定特解的形式 . 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 32頁 思考題解答 ,0.1 y ,ln 2 2 yy yyy ,ln y y y ,ln yyy x ,lnln yy 令 yz ln 則 ,0 zz 特征根 1 通解 xx eCeCz 21 .ln 21

20、 xx eCeCy 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 33頁 思考題解答 2.設(shè) 的特解為 2644 xyyy *1y xeyyy 2844 設(shè) 的特解為 *2y *2y*1* yy 則所求特解為 0442 rr 特征根 22,1 r CBxAxy 2*1 xeDxy 22*2 （重根） *2y*1* yy CBxAx 2 .22 xeDx 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 34頁 思考題解答 *2y*1* yy 則所求特解為 042 rr 特征根 40 21 ， rr Axy *1 xCxBy 4s i n4c o s*2 設(shè) 的特解為 *1y14 yy 3.原方程可化為 xyy 4c o s14 設(shè) 的特解為 *2yxyy 4c o s4 *2y*1* yy Ax xCxB 4s i n4c o s 第十章 常微分方程與差分方程 嘉興學(xué)院 25 January 2021 第 35頁 思考與練習(xí) 時(shí)可設(shè)特解為 xy * xbxa c o s)( *y xdxcxbxa 2s in)(2c o s)( xk 2e 時(shí)可設(shè)特解為 提示 : xdcx s in)( 1 . (填空 ) 設(shè) s in)(c o s)( xxRxxR mm