高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2_3 數(shù)學(xué)歸納法課件 新人教A版選修2-2

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1、23數(shù)學(xué)歸納法 自主學(xué)習(xí) 新知突破 1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理2能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題 下圖為多米諾骨牌：如何保證骨牌一一倒下？需要幾個步驟才能做到？ 提示(1)處理第一個問題；(相當于推倒第一塊骨牌)(2)驗證前一問題與后一問題有遞推關(guān)系(相當于前牌推倒后牌) 一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：1(歸納奠基)證明當n取_ (n0 N*)時命題成立；2(歸納遞推)假設(shè) _時命題成立，證明當_時命題也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立第一個值n0nk(kn0，k N*)nk1 上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法可以用框圖表示為： 數(shù)學(xué)歸

2、納法的應(yīng)用及注意事項(1)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍是證明與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、數(shù)的整除性、幾何問題，探求數(shù)列的通項及前n項和等 (2)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意：數(shù)學(xué)歸納法僅適用于與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明驗證是證明的基礎(chǔ)，遞推是證明的關(guān)鍵，二者缺一不可；在證明nk1命題成立時，必須使用歸納假設(shè)的結(jié)論，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法 1用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于(n2)”時，歸納奠基中n0的取值應(yīng)為()A1B2C3 D4解析：邊數(shù)最少的凸n邊形為三角形，故n03.答案：C 答案：D 3用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式時，當nk時，表達式為1427k(3k1)k(k1)2，則當nk1時，表達式

3、為_.解析：當nk1時，應(yīng)將表達式1427k(3k1)k(k1)2中的k更換為k1.答案：1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2 4用數(shù)學(xué)歸納法證明：159(4n3)(2n1)n.證明：當n1時，左邊1，右邊1，命題成立假設(shè)nk(k1，kN*)時，命題成立，即159(4k3)k(2k1)則當nk1時，左邊159(4k3)(4k1)k(2k1)(4k1)2k23k1(2k1)(k1)2(k1)1(k1)右邊，當nk1時，命題成立由知，對一切nN *，命題成立 合作探究 課堂互動 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式或不等式 思路點撥 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式命題時，關(guān)鍵在于“先看項”

4、，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關(guān)，由nk到nk1時，等式兩邊會增加多少項 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”，即幾何元素從k個變成(k1)個時，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析在實在分析不出來的情況下，將nk1和nk分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧 歸納猜想證明 “觀察歸納猜想證明”模式的題目的解法(1)觀察：由已知條件寫出前幾項；(2)歸納：找出前幾項的規(guī)律，找到項與項數(shù)的關(guān)系；(3)猜想：猜想出通項公式；(4)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的形式，因為猜想不一定正確，所以要通過數(shù)學(xué)歸納法給出證明 3數(shù)列 a n 的前n項和為S n，滿足2 S nan，an0(n N*)，(1)求a1，a2，a3的值，并猜想數(shù)列an的通項公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想解析：(1)由2Snan得當n1時，2a1a1，a11.當n2時，2S2a2，a22.當n3時，2S 3a3，a33.猜想：數(shù)列an的通項公式為ann. 【錯因】沒有利用歸納假設(shè)進行證明第(2)步，不可以直接利用等比數(shù)列的求和公式求出當nk1時式子的和，在證明nk1時，一定要利用“歸納假設(shè)”