《高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2_3 數(shù)學(xué)歸納法課件 新人教A版選修2-2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2_3 數(shù)學(xué)歸納法課件 新人教A版選修2-2(38頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、23數(shù)學(xué)歸納法 自主學(xué)習(xí) 新知突破 1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理2能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題 下圖為多米諾骨牌:如何保證骨牌一一倒下?需要幾個(gè)步驟才能做到? 提示(1)處理第一個(gè)問題;(相當(dāng)于推倒第一塊骨牌)(2)驗(yàn)證前一問題與后一問題有遞推關(guān)系(相當(dāng)于前牌推倒后牌) 一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:1(歸納奠基)證明當(dāng)n取_ (n0 N*)時(shí)命題成立;2(歸納遞推)假設(shè) _時(shí)命題成立,證明當(dāng)_時(shí)命題也成立只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立第一個(gè)值n0nk(kn0,k N*)nk1 上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法可以用框圖表示為: 數(shù)學(xué)歸
2、納法的應(yīng)用及注意事項(xiàng)(1)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍是證明與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、數(shù)的整除性、幾何問題,探求數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等 (2)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意:數(shù)學(xué)歸納法僅適用于與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明驗(yàn)證是證明的基礎(chǔ),遞推是證明的關(guān)鍵,二者缺一不可;在證明nk1命題成立時(shí),必須使用歸納假設(shè)的結(jié)論,否則就不是數(shù)學(xué)歸納法 1用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于(n2)”時(shí),歸納奠基中n0的取值應(yīng)為()A1B2C3 D4解析:邊數(shù)最少的凸n邊形為三角形,故n03.答案:C 答案:D 3用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式時(shí),當(dāng)nk時(shí),表達(dá)式為1427k(3k1)k(k1)2,則當(dāng)nk1時(shí),表達(dá)式
3、為_.解析:當(dāng)nk1時(shí),應(yīng)將表達(dá)式1427k(3k1)k(k1)2中的k更換為k1.答案:1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2 4用數(shù)學(xué)歸納法證明:159(4n3)(2n1)n.證明:當(dāng)n1時(shí),左邊1,右邊1,命題成立假設(shè)nk(k1,kN*)時(shí),命題成立,即159(4k3)k(2k1)則當(dāng)nk1時(shí),左邊159(4k3)(4k1)k(2k1)(4k1)2k23k1(2k1)(k1)2(k1)1(k1)右邊,當(dāng)nk1時(shí),命題成立由知,對(duì)一切nN *,命題成立 合作探究 課堂互動(dòng) 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式或不等式 思路點(diǎn)撥 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式命題時(shí),關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”
4、,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式的兩邊各有多少項(xiàng),項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān),由nk到nk1時(shí),等式兩邊會(huì)增加多少項(xiàng) 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”,即幾何元素從k個(gè)變成(k1)個(gè)時(shí),所證的幾何量將增加多少,這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來分析在實(shí)在分析不出來的情況下,將nk1和nk分別代入所證的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加說明即可,這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧 歸納猜想證明 “觀察歸納猜想證明”模式的題目的解法(1)觀察:由已知條件寫出前幾項(xiàng);(2)歸納:找出前幾項(xiàng)的規(guī)律,找到項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系;(3)猜想:猜想出通項(xiàng)公式;(4)證明:用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的形式,因?yàn)椴孪氩灰欢ㄕ_,所以要通過數(shù)學(xué)歸納法給出證明 3數(shù)列 a n 的前n項(xiàng)和為S n,滿足2 S nan,an0(n N*),(1)求a1,a2,a3的值,并猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想解析:(1)由2Snan得當(dāng)n1時(shí),2a1a1,a11.當(dāng)n2時(shí),2S2a2,a22.當(dāng)n3時(shí),2S 3a3,a33.猜想:數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann. 【錯(cuò)因】沒有利用歸納假設(shè)進(jìn)行證明第(2)步,不可以直接利用等比數(shù)列的求和公式求出當(dāng)nk1時(shí)式子的和,在證明nk1時(shí),一定要利用“歸納假設(shè)”