大學(xué)物理機(jī)械波.pdf

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1、機(jī)械波 機(jī)械波 振動(dòng)在空間的傳播過程叫做波動(dòng) 機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播稱為機(jī)械波 6-1 機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播 一、機(jī)械波的產(chǎn)生條件 波源----振動(dòng)源 彈性介質(zhì)----由彈性力組合的連續(xù)介質(zhì) 二、分類 按質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向的關(guān)系分為：橫波、縱波 橫波振動(dòng)方向與傳播方向垂直，如電磁波 縱波振動(dòng)方向與傳播方向相同，如聲波 三、形成過程橫波* 下面分析具體過程t = 0 t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t = T說明： (1)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)均在自己的平衡位置附近振動(dòng)， 并未隨波的傳播而傳播-波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播。 (2) 質(zhì)元的振動(dòng)速度和波的速度是兩個(gè)不同的概念。 (3)后振動(dòng)

2、的質(zhì)點(diǎn)比先振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)落后一定的相位。 (,) yyx t = 縱波四、波線 波面 波前 波線（或波射線) 波的傳播方向稱之為波射線或波線。 波面（或波陣面） 某時(shí)刻介質(zhì)內(nèi)振動(dòng)相位相同的點(diǎn)組成的面 稱為波面。 波前某時(shí)刻處在最前面的波面。 球面波 平面波 波面 波線 波線 波面 在各向同性均勻介質(zhì)中，波線與波陣面垂直.五、波的特征量 單位時(shí)間某振動(dòng)狀態(tài)(或振動(dòng)相位)所傳播的距離，也稱之相速。 1. 波速 t B u r = l Y u r = *在液體和氣體只能傳播縱波，其波速為： *各向同性均勻固體媒質(zhì)橫波波速為 t N u r = *對(duì)于柔軟的繩索和弦線中橫波波速為 t T u h = T為

3、繩索或弦線中張力; 為質(zhì)量線密度 縱波波速為波線上相鄰的兩同相點(diǎn)間的距離 A B C D E F G 一個(gè)完整的波通過波線上某一點(diǎn)所需要的時(shí)間 2.波長(zhǎng) 3.周期 T T u 波的周期=振動(dòng)周期 頻率單位時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的次數(shù) T 1 X Y O u P x 假設(shè)O點(diǎn)的振動(dòng)方程為 ) cos( 0 t A y 某一振動(dòng)狀態(tài)從O點(diǎn) 傳播到P點(diǎn)的時(shí)間為 x t u D= ()( ) PO ttP tO yt t yt +D +D = 時(shí)刻 點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài) 時(shí)刻 點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài) ) ( ) ( t t y t y O t t P t O P 點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài) 時(shí)刻 點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài) 時(shí)刻 一. 平面

4、簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式(波函數(shù)) 6-2 平面簡(jiǎn)諧波的描述 （1）沿+方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波(u , ) 假設(shè): 媒質(zhì)無吸收(質(zhì)元振幅均為A) (,) yyx t = ) ( cos ) ( ) ( u x t A t t y t y y O P ) ( cos ) ( ) ( u x t A y t t y t y O P （2）沿-方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波(u , ) 沿X軸負(fù)方向傳播時(shí)，p點(diǎn)的相位超前o點(diǎn)的相位 cos ( ) x yA t u wj = + u x u x 21 xx u w - X Y O u P x t 將 換成 即可得 x t u 二、物理意義 x一定（x=x

5、0 )時(shí) 0 cos ( ) x yA t u wf =- + 波的表達(dá)式為該點(diǎn)的振動(dòng)方程 t一定（t=t 0 )時(shí) 0 cos ( ) x yA t u wf =- + O Y t O Y X Ax、t都變 反映了波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播 cos ( ) x yA t u wf =- + X Y O u 1 x 2 x 1 t 2 t 11 (,) c o s ( ) x yxt A t u wf =- + 22 (,) c o s ( ) x yxt A t u wf =- + 22 11 (,) (,) yxt yxt = 2121 () xxu tt -=- x ut D=D例1：如圖一平面

6、波以u(píng)沿x軸反方向傳播，已知 求（1）波動(dòng)方程；（2）P點(diǎn)振動(dòng)方程。 cos( ) A yAt wj =+ u 比較 解1： cos ( ) x yA t u wf =+ + cos ( ) A a yAt u wf =+ + cos( ) A yAt wj =+ a u w fj =- 得： cos ( ) xa yA t u wj - =++ cos ( ) P ab yAt u wj + =-+ x b =- P點(diǎn)落后A點(diǎn)相位： ab u fw + D= cos P ab yAt u ww j + =-+解2： 先求出原點(diǎn)的振動(dòng)方程 0 cos a yAt u wwj =-+ t 再將

7、 換成 即可得： x t u + cos ( ) xa yA t u wj - =++ 解3： u B x B點(diǎn)超前A點(diǎn)相位： x a u fw - D= cos cos ( ) B xa xa yAt At uu ww j w j -- =++ =++ cos ( ) xa yA t u wj - =++ u 0點(diǎn)落后A點(diǎn)相位： a u fw D=已知某點(diǎn)的振動(dòng)方程，求波動(dòng)方程的幾種方法； 先求出原點(diǎn)的振動(dòng)方程，再將t換成 t x/u即可。 先寫出標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式 cos ( ) x yA t u wj = + 代入已知點(diǎn)，比較確定標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式中的 即可。 直接從已知點(diǎn)的振動(dòng)相位傳播求出傳播方向任

8、 一點(diǎn)的振動(dòng)方程----波動(dòng)方程。例2：已知一平面簡(jiǎn)諧波t=0.5s時(shí)刻的波形如圖,該波以12m/s 速度沿x軸負(fù)向傳播。求該波的波動(dòng)方程。 u 解： 12 / um s = 48m l= 4 Ts u l == / 2 rad s p w= 0 0.6cos( ) 2 yt p f =+ 0.3 0.6cos( ) 4 p f -= + 1 cos( ) 42 p f += - 4 p f += 3 2 3 4 2 0 43 v pp f <+ = 5 12 p f= 0 5 0.6cos( ) 21 2 yt pp =+ 5 0.6cos ( ) 21 21 2 x yt pp =+

9、+ 6-4 疊加原理 波的干涉 一. 波傳播的獨(dú)立性 媒質(zhì)中同時(shí)有幾列波時(shí) , 每列波都將保持自己原有的特性(傳 播方向、振動(dòng)方向、頻率等), 不受其它波的影響 。 二. 波的疊加原理 在幾列波相遇而互相交疊的區(qū)域中，某點(diǎn)的振動(dòng)是 各列波單獨(dú)傳播時(shí)在該點(diǎn)引起的振動(dòng)的合成。 波的強(qiáng)度過大非線性波 疊加原理不成立 相干條件： 相干波源 具有恒定的相位差 振動(dòng)方向相同 兩波源的波振幅相近或相等時(shí)干涉現(xiàn)象明顯。 具有相同的頻率 三. 波的干涉 波疊加時(shí)在空間出現(xiàn)穩(wěn)定的振動(dòng)加強(qiáng)和減弱的分布其振動(dòng)表達(dá)式為： 11 1 cos( ) yA t wf =+ 22 2 cos( ) yA t wf =+ 傳播

10、到 P 點(diǎn)引起的振動(dòng)為： 11 11 2 cos( ) p yAt r p wf l =+ - 22 22 2 cos( ) p yAt r p wf l =+ - 在 P 點(diǎn)的振動(dòng)為同方向同頻率振動(dòng)的合成。 1 r 2 r 1 S 2 S p 設(shè)有兩個(gè)相干波源 和 1 S 2 S在 P 點(diǎn)的合成振動(dòng)為： 12 cos( ) yyyA t wf =+= + 222 121 2 2c o s AAAA A f =++ D 其中： 由于波的強(qiáng)度正比于振幅平方，所以合振動(dòng)的強(qiáng)度為： 12 1 2 2c o s III I I j =++ D 21 21 2 ()() rr p fff l D= --

11、 - 對(duì)空間不同的位置，都有恒定的 ，因而合強(qiáng)度 在空間形成穩(wěn)定的分布，即有干涉現(xiàn)象。 1 r 2 r 1 S 2 S p 下面討論干涉現(xiàn)象中的強(qiáng)度分布：干涉相長(zhǎng)的條件： 2 , 0,1,2,3,... kk jp D= = max 1 2 AAAA ==+ max 1 2 1 2 2 IIIII I ==++ 干涉相消的條件： (2 1) , 0,1,2,3,... kk fp D= += min 1 2 || AAAA ==- min 1 2 1 2 2 IIIII I ==+- 當(dāng)兩相干波源為同相波源時(shí)，相干條件寫為： 21 ,0 , 1 , 2 , 3 , . . . rrk k d

12、l =-= = 21 (2 1) , 0,1,2,3,... 2 rr k k l d=-= += 稱 為波程差 相長(zhǎng)干涉 相消干涉 21 21 2 ()() rr p fff l D= -- -例題：位于 兩點(diǎn)的兩個(gè)波源，振幅相等， 頻率都是100赫茲，相差為 ，其 相距30米， 波速為400米/秒， B A, B A, B A, 求: 連線上因相干涉而靜止的各點(diǎn)的位置。 解：如圖所示，取A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B聯(lián)線為X軸 B A X x x 30 O P B A X m 30 O (1) 0 30 AB xrxrx = -= - 2 ()() BA BA rr p fff l D= -

13、- - 14 fp D=- 沒有因干涉而靜止的點(diǎn) 4 u m l n == 因?yàn)椋築 A X P m 30 x 30 O (2) 0 30 30 AB xrx rx = =- 22 ( 3 0) 14 xx x pp fp pp ll - D=+ - =- + 0, 1, 2,... k= 2 15 0, 1, 2,... 7 xk k =+ = B A X P x 30 x O (3) 30 30 AB xrx rx == - 16 fp D= 沒有因干涉而靜止的點(diǎn) 因干涉而靜止的點(diǎn) (2 1) k p =+設(shè)有兩列相干波，分別沿X軸正、負(fù)方向傳 播，選初相位均為零的表達(dá)式為： 1 2 co

14、s( ) yAtx p w l =- 2 2 cos( ) y Atx p w l =+ 12 22 cos( ) cos( ) yyyA t xA t x pp ww ll =+= - + + 駐波的表達(dá)式 其合成波稱為駐波其表達(dá)式： 6-5 駐波 一種特殊的干涉現(xiàn)象，它是兩列振幅相同、頻率相同、振動(dòng)方向 相同，而傳播方向相反的波疊加而成的。2 2c o s c o s yA xt p w l = 利用三角函數(shù)關(guān)系求出駐波的表達(dá)式： 簡(jiǎn)諧振動(dòng) 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅 (,)( , ) ytt xutytx +D + D = 但是這一函數(shù)不滿足 所以它不是行波。 它表示各點(diǎn)都在作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，各點(diǎn)振動(dòng)的

15、 頻率相同，是原來波的頻率。但各點(diǎn)振幅 隨位置的不同而不同。振幅最大的點(diǎn)稱為波腹，對(duì)應(yīng)于 2 |2 cos | 2 A xA p l = 波腹的位置為： , 0 ,1 ,2 ,3 , . . . 2 xk k l == 波節(jié)的位置為： ( 21 ), 0 ,1 ,2 ,3 , . . . 4 xk k l =+ = 駐波的振幅 2 |2c o s | 0 Ax p l = 振幅為零的點(diǎn)稱為波節(jié)，對(duì)應(yīng)于 2 ) 1 2 ( 2 k x 即 的各點(diǎn)。 2 2c o s c o s y Axt p w l = 2 x k p p l = 的各點(diǎn)； 即從上式得相鄰波腹間的距離為： /2 x l

16、D= 可得相鄰波節(jié)間的距離也為 2 x l D= 波腹與波節(jié)間的距離為 4 因此可用測(cè)量波腹間的距離，來確定波長(zhǎng)。 2 2c o s c o s yA xt p w l = 駐波的相位 時(shí)間部分提供的相位對(duì)于所有的 x是相同的， 而空間變化帶來的相位是不同的。4 4 x 內(nèi)， 2 2c o s 0 Ax p l ； 在43 4 x ll 范圍內(nèi)， 2 2c o s 0 Ax p l * 在波節(jié)兩側(cè)點(diǎn)的振動(dòng)相位相反。同時(shí)達(dá)到反向 最大。速度方向相反。 是波節(jié)，在范圍 如 4 x l = 考查波節(jié)兩邊的振動(dòng)， 結(jié)論： * 兩個(gè)波節(jié)之間的點(diǎn)其振動(dòng)相位相同。 同時(shí)達(dá)到 最大或同時(shí)達(dá)到最小。速度方

17、向相同。 半波損失 折射率較大的媒質(zhì)稱為波密媒質(zhì)； 折射率較小的媒質(zhì)稱為波疏媒質(zhì). 當(dāng)波從波疏媒質(zhì)垂直入射到波密 媒質(zhì)界面上反射時(shí)，有半波損失 ，形成的駐波在界面處是波節(jié)。 反之，當(dāng)波從波密媒質(zhì)垂直入射 到波疏媒質(zhì)界面上反射時(shí)，無半 波損失，界面處出現(xiàn)波腹。X Y O A m 2 u P x 例：如圖一根長(zhǎng)為2m的細(xì)繩，一端固定在墻上A點(diǎn)，另一端作 簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)規(guī)律 以 向前傳播。 0.5cos(2 ) 2 yt p p =+ m .5 0 求（1）入射波和反射波的波動(dòng)方程； （2）駐波方程； （3）波腹，波節(jié)的位置。 解（1） 15 0.5cos(2 ) 2 A A yt pp =-

18、入 入射波在 點(diǎn)振動(dòng)方程為 0.5cos(2 2 ) 2 0.5cos(2 4 ) 2 x yt tx p pp l p pp =-+ =- + 入 13 0.5cos(2 ) 2 A yt pp =- 反 由于反射點(diǎn)為波節(jié)2 (2 ) P Ax p l - 反射波到 點(diǎn)相位落后于 點(diǎn) 21 3 0.5cos 2 (2 ) 2 29 0.5cos(2 4 ) 2 ytx tx p pp l ppp =-- - =+ - 反 （2） 2 2c o s c o s y Axt p w l = ? 15 2 0.5cos(4 )cos(2 7 ) 2 yyy x t pppp =+= - - 入

19、 反 （3） 波腹的位置為： 波節(jié)的位置為： , 0 ,1 ,2 ,3 , . . . 2 xk k l == ? ( 21 ), 0 ,1 ,2 ,3 , . . . 4 xk k l =+ = ? X Y O A m 2 u P x波腹的位置為： 15 4 2 xk ppp -= 21 5 0, 1, 7 8 k xk + == - - 波節(jié)的位置為： 15 4( 2 1 ) 22 xk p pp -=+ 8 0, 1, 8 4 k xk + == - - 另解：與 A點(diǎn)相距 是波節(jié) 2 波節(jié)的位置為： 0.25 0,1,2 8 xkk == 波腹的位置為： 0.125 0.25 0,1,2 7 xk k =+ = 反射波表達(dá)式的確定： 正確把握入射波在反射時(shí)是否有相位 的突變是 求解反射波的波動(dòng)方程的關(guān)鍵！基本步驟如下： 、先將反射點(diǎn)的坐標(biāo)代入入射波方程，得到入射波在 反射點(diǎn)的振動(dòng)方程； 、判斷入射波在反射過程中有無半波損失，求出反射 波在反射點(diǎn)的振動(dòng)方程； 、寫出反射波在任意一點(diǎn)的振動(dòng)方程，即為反射波表 達(dá)式。