大學(xué)物理：熱學(xué) 第17章 氣體動(dòng)理論 01,Molecular Phys.

《大學(xué)物理：熱學(xué) 第17章 氣體動(dòng)理論 01,Molecular Phys.》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《大學(xué)物理：熱學(xué) 第17章 氣體動(dòng)理論 01,Molecular Phys.（65頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第3篇 熱 學(xué) (Heat) 第17章 溫度和氣體動(dòng)理論 (Temperature Kinetic Theory of Gases) §1 引言 一.熱學(xué)研究對(duì)象及內(nèi)容 1.對(duì)象：熱力學(xué)系統(tǒng) ·由大量分子或原子組成 ·系統(tǒng)外的物體稱外界 2.內(nèi)容：與熱現(xiàn)象有關(guān)的性質(zhì)和規(guī)律 熱現(xiàn)象：物質(zhì)中大量分子熱運(yùn)動(dòng)的集體 表現(xiàn)。 二.熱學(xué)的研究方法 1.宏觀描述方法---熱力學(xué)方法 ·由實(shí)驗(yàn)確定的基本規(guī)律，研究熱現(xiàn)象的宏 觀特性和規(guī)律。 ·對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行整體描述。 2.微觀

2、描述方法---統(tǒng)計(jì)物理方法 ·從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，用統(tǒng)計(jì)平均的方法，研究熱現(xiàn)象及規(guī)律的微觀本質(zhì)。 ·兩種方法相輔相成。 三.幾個(gè)概念 1.宏觀量與微觀量 (1)宏觀量 (macroscopic quantity) ·表征系統(tǒng)整體性質(zhì)的物理量 ·可直接測(cè)量(如體積、壓強(qiáng)) ·廣延量：有累加性(如質(zhì)量、能量) 強(qiáng)度量：無累加性(如溫度、壓強(qiáng)) (2)微觀量(microscopic quantity) ·描寫單個(gè)微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量 ·一般不能直接測(cè)量(如分子質(zhì)量、能量) ·宏觀量是微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值 (如壓強(qiáng)和大量分子撞擊器壁時(shí)動(dòng)量變化率

3、的統(tǒng)計(jì)平均值有關(guān)) 2.平衡態(tài)(equilibrium state) ·在不受外界影響的條件下，系統(tǒng)宏觀性質(zhì) 不隨時(shí)間改變的狀態(tài)(熱動(dòng)平衡)。 ·平衡態(tài)—理想概念、理想模型（是一定條件下對(duì)實(shí)際情況的概括和抽象）。 ·假如有人說：“系統(tǒng)宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間改變的狀態(tài)叫平衡態(tài)”，對(duì)嗎？ 和100°C 熱源接觸 和20°C 熱源接觸 棒上有穩(wěn)定的溫度分布 ·思考：金屬棒算 不算處于平衡態(tài)？ ·沒有外界影響：系統(tǒng)和外界間沒有任何形式的能量交換（不做功、不傳熱）。 3.狀態(tài)參量 ·描述系統(tǒng)平衡態(tài)的宏觀參量 ·常用：P、V、T ·平衡態(tài)下狀態(tài)參量不隨時(shí)間變化

4、 ·在P---V圖上一個(gè)點(diǎn)表示一個(gè)平衡態(tài)。 4.狀態(tài)方程(equation of state) ·狀態(tài)參量之間的函數(shù)關(guān)系 f (P,V,T) = 0 PV = RT M m ·理想氣體狀態(tài)方程 P = nkT (n—分子數(shù)密度) k = = 1.38′10-23 J/K R NA ·玻耳茲曼常數(shù) §2溫度(Temperature) (自學(xué)) 一.熱平衡態(tài) 兩系統(tǒng)熱接觸下，相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間后達(dá)到的共 同平衡態(tài)。 二.溫度 1.溫度：處于熱平衡的系統(tǒng)所具有的共同

5、 的宏觀性質(zhì)，描述此性質(zhì)的物理量稱溫度。 ·溫度是描寫系統(tǒng)熱平衡態(tài)的物理量，一切 處于同一熱平衡態(tài)的系統(tǒng)有相同的溫度。 2.熱平衡定律(熱力學(xué)第零定律) ·實(shí)驗(yàn)表明：若A與C熱平衡 B與C熱平衡 則A與B熱平衡。 ·即分別與第三個(gè)系統(tǒng)處于同一熱平衡態(tài)的 兩個(gè)系統(tǒng)必然也處于熱平衡。 ·由此定義溫度（處于同一熱平衡態(tài)下的熱 力學(xué)系統(tǒng)所具有的共同的宏觀性質(zhì)）。 ·溫度取決于系統(tǒng)內(nèi)部的熱運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 三.溫標(biāo)(temperature scales)（自己看） 溫度的數(shù)值表示法稱溫標(biāo)。 1.理想氣體溫標(biāo)

6、 ·> 0.5K范圍適用(低壓3He氣) T3 T = PV P3V3 對(duì)一定質(zhì)量m ， ·定義水的三相點(diǎn)（1954年國際規(guī)定） T3 o 273.16 K ·T = 273.16 ( ) PV P3V3 只要測(cè)定了某狀態(tài)的P、V值，即可得該 狀態(tài)下的T值。 2.熱力學(xué)溫標(biāo)（絕對(duì)溫標(biāo)、開爾文溫標(biāo)） ·建立在熱力學(xué)第二定律的基礎(chǔ)上（不依賴于測(cè)溫物質(zhì)和測(cè)溫屬性）。國際上規(guī)定為最基本是溫標(biāo)。 ·在理想氣體溫標(biāo)有效范圍內(nèi)，兩種溫標(biāo)一 致。 · T：K (Kelvin) 熱力學(xué)溫度、絕對(duì)溫度

7、 T3 = 273.16K 3.攝氏溫標(biāo) ·1960年國際計(jì)量大會(huì)規(guī)定：攝氏溫標(biāo)由熱力學(xué)溫標(biāo)導(dǎo)出， t = (T - 273.15) ℃ 攝氏零度是273.15K。 4.華氏溫標(biāo) · tF = [32 + (9/5)t] °F ·水 冰點(diǎn)：tF = 32 °F 沸點(diǎn)：tF = 212 °F 以下為 氣體動(dòng)理論 部分 討論： ·氣體的壓強(qiáng)與溫度 ·氣體分子按速率和按能量的分布 ·實(shí)際氣體的狀態(tài)方程 ·輸運(yùn)過程 特別注意：統(tǒng)計(jì)平

8、均的方法 及統(tǒng)計(jì)性的規(guī)律 §3 理想氣體的壓強(qiáng)和溫度 一.理想氣體的微觀模型 1. 忽略分子大小(看作質(zhì)點(diǎn)) 分子線度<<分子間平均距離 2.忽略分子間的作用力(分子間碰撞、分子 與器壁碰撞時(shí)除外) 3.碰撞屬完全彈性 4.分子服從經(jīng)典力學(xué)規(guī)律 二.理想氣體分子的統(tǒng)計(jì)假設(shè) (統(tǒng)計(jì)假設(shè)是對(duì)大量分子而言) 1.平衡態(tài)時(shí)，分子按位置的分布均勻 ·分子在各處出現(xiàn)的幾率相同(重力不計(jì)) ·容器內(nèi)各處分子數(shù)密度(單位體積中的分 n = dN dV = N V 子數(shù))相同

9、 2.平衡態(tài)時(shí)，分子速度按方向的分布均勻 `ux = `uy = `uz = 0 ·由于碰撞，分子往各方向運(yùn)動(dòng)的概率相同 1 3 `u2x = `u2y = `u2z = `u2 `u2x = N u21x + u22x + … + u2Nx `u2 = `u2x +`u2y +`u2z · 其中 三.理想氣體壓強(qiáng)公式 y S I i l3 l2 l1 · · uix ui u￠ix u￠i y z mi mi 理想

10、氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo) x 1.壓強(qiáng)公式的推導(dǎo) 前提：·平衡態(tài) ·分子總數(shù)N，分子質(zhì)量m ·矩形容器 V = l1 l2 l3

11、 ·忽略重力，氣體均勻分布， 6個(gè)面壓強(qiáng)相同，考慮S面 步驟: (1)一個(gè)分子碰壁一次對(duì)壁的沖量 ·對(duì)第i個(gè)分子 碰前速度: ui (uix , uiy , uiz ) 碰后速度: u￠i (u￠ix , u￠iy , u￠iz ) ·S面光滑(無摩擦)，由彈性碰撞 u￠iy = uiy , u￠iz = uiz u￠ix = - uix ·分子i碰S一次受的沖量 Ii(一次) = mu￠ix - muix = - 2muix ·分子i碰S一次對(duì)S的沖量 y l1 l2 x

12、 · 理想氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo) 續(xù)) IiS(一次) = - Ii(一次)= 2muix (2) Dt內(nèi)分子i對(duì)壁的沖量 ·Dt內(nèi)分子i碰S的次數(shù) uixDt 2 l1 ·Dt內(nèi)分子i對(duì)S的沖量 IiS = ( ) 2muix uixDt 2 l1 = mDt u2ix l1 (3)Dt

13、內(nèi)N個(gè)分子對(duì)S的沖量 I = Si IiS = ( mDt l1 )Si u2ix (4) S面上的壓強(qiáng) `F = = ( )Si u2ix m l1 I Dt ·S受的平均沖力 · S面上的壓強(qiáng) P = `F S = [( )Si u2ix] m l1 l2 l3 1 = ( )Si u2ix m V `u2x = Si u2ix N ·因?yàn)? V = l1 l2 l3 n = N V 有`u2

14、 P = nm `u2x = nm 1 3 理想氣體壓強(qiáng)公式 P = nmu2 1 3 P = net 2 3 或 et = mu2 1 2 其中 為分子的平均平動(dòng)動(dòng)能 思考:如考慮到分子間的碰撞，對(duì)上述結(jié)果有 無影響? 2.壓強(qiáng)的微觀意義 ·壓強(qiáng)是大量分子碰撞器壁的平均作用力 (單位面積上)的統(tǒng)計(jì)平均值。 ·壓強(qiáng)公式顯示了宏觀量和微觀量的關(guān)

15、系。 ·壓強(qiáng)是統(tǒng)計(jì)概念，只能用于大量分子的集 體。 四. 溫度的微觀意義 1.平均平動(dòng)動(dòng)能和溫度的關(guān)系 P = net 2 3 P = nkT 由 et = kT 3 2 可得 2. 溫度的微觀意義 (用et示) 溫度標(biāo)志著物體內(nèi)部 分子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的劇烈程度 思考： (1)能否用溫度概念描述處于非平衡態(tài)的系統(tǒng)的狀態(tài)？ (2)“單個(gè)分子的溫度”有無意義？為什么？ (3)溫度所反映的運(yùn)動(dòng)是否包括系統(tǒng)的整體運(yùn)動(dòng)？ 3.方

16、均根速率(root—mean--square speed) ---分子速率的一種統(tǒng)計(jì)平均值 et = mu2 = kT 1 2 3 2 由 ?u2 = 3kT m ? 3RT m ? = 有 §4 能量均分定理 理想氣體的內(nèi)能 一.自由度 1. 自由度(degree of freedom)：決定物體空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。 a b g x z y · j 剛體的自由度 ·質(zhì)點(diǎn): i = t ￡ 3， (t--平動(dòng)自由度) ·剛體:

17、 i = 6 質(zhì)心平動(dòng) t = 3 軸方位 a, b, g , 兩個(gè)獨(dú)立 繞軸轉(zhuǎn)動(dòng) j i = t + r = 3 +3 = 6， ( r—轉(zhuǎn)動(dòng)自由度) ·非剛體：i > 6， (還有內(nèi)部相對(duì)運(yùn)動(dòng)) 2.氣體分子的自由度 考慮：剛性分子，無內(nèi)部相對(duì)運(yùn)動(dòng)

18、 (低溫、常溫下如此) (1)單原子分子(He、 Ne、 Ar、…) i = t = 3， (2)雙原子分子(O2、H2、 CO、…) 雙原子分子示意圖 t = 3 r = 2 繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)自由度無意義 i = t + r = 5 (3)多原子分子(H2O、 NH3、 CO2、…) 　　 i = t + r = 6 二.能量均分定理 (Principle of the equipartition of energy)

19、 1.能量均分定理 et = kT 3 2 ·平動(dòng)情形 由平均平動(dòng)動(dòng)能 平動(dòng)自由度 t = 3 1 2 kT T每個(gè)平動(dòng)自由度的平均動(dòng)能都相等，為 由于分子的無規(guī)則碰撞，能量不僅在分子 間交換，還可在平動(dòng)自由度間轉(zhuǎn)移，沒有 哪個(gè)平動(dòng)自由度占有優(yōu)勢(shì)。 ·分子有轉(zhuǎn)動(dòng)的情形 無規(guī)則碰撞過程中，能量可在平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng) 間及轉(zhuǎn)動(dòng)自由度間交換，沒有哪個(gè)自由度 特殊。 各自由度的平均動(dòng)能都是相等的 能量均分定理(Principle of the

20、 equipartition of energy) ： 在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子每個(gè)自 由度所對(duì)應(yīng)的平均動(dòng)能都等于 1 2 kT 2.分子的平均動(dòng)能 ek = kT i 2 ·單原子分子 `ek = (3/2) kT ·雙原子分子(剛性) `ek = (5/2) kT ·多原子分子(剛性) `ek = 3kT 三.理想氣體內(nèi)能 1.內(nèi)能：內(nèi)能(Internal energy)是氣體內(nèi)所有 分子的動(dòng)能、分子內(nèi)的勢(shì)能與分子間的相 互作用勢(shì)能的總和。

21、 2.理想氣體內(nèi)能 ·對(duì)理想氣體，分子間的勢(shì)能為零 ·對(duì)剛性分子，分子內(nèi)的勢(shì)能為零 理想氣體內(nèi)能(Internal energy of ideal gases) 是其所有分子的平均動(dòng)能之和 E = N ek = N( ) kT i 2 ·若氣體有N個(gè)分子，則內(nèi)能 k = R NA = n (摩爾數(shù)) N NA ， 因 E = nRT i 2 有理想氣體內(nèi)能 理想氣體內(nèi)能只是溫度的函數(shù)，且和熱力 學(xué)溫度T成正比。

22、 §5 麥克斯韋速率分布律 ·分子的速度分布、速率分布有無規(guī)律? 分子數(shù)多； 分子速度的大小、方向千變?nèi)f化 ·單個(gè)無規(guī)則，整體有規(guī)律(統(tǒng)計(jì)規(guī)律) 開演時(shí)刻 t o 實(shí)例用圖 進(jìn)場(chǎng)人數(shù) 統(tǒng)計(jì)：每5分鐘間隔 內(nèi)進(jìn)電影院的 人數(shù)。 實(shí)例：人口情況統(tǒng)計(jì) 一.速率分布函數(shù) 1.統(tǒng)計(jì)方法 ·把速率分成很多相等的間隔Du ·統(tǒng)計(jì)每Du間隔內(nèi)的分子數(shù)DN u u +Du o u

23、 速率間隔 N DN · ： u ? u + Du 間隔內(nèi)分子數(shù)與分子總數(shù)N之比 NDu DN · ：某u 處單位速率間隔內(nèi)分子數(shù)與 Ndu dN 總數(shù)之比。 · ：某u 處單位速率間隔內(nèi)分子數(shù)與 總數(shù)之比 2.速率分布函數(shù) 速率分布函數(shù)(Function of distribution of f (u) = ( )

24、 1 N dN du speeds) 二.麥克斯韋速率分布律 ·1859年Maxwell用概率論 證明了理想氣體分子按速 度的分布是有規(guī)律的。 ·速率分布律：分子數(shù)按速度大小的分布。 1.麥克斯韋速率分布函數(shù) f (u) = 4p( )3/2u2×e m 2pkT - mu2 2kT 理想氣體；平衡態(tài)；無外場(chǎng) 麥克斯韋速率分布曲線 f (u) T u o u u

25、p u1 u2 du 麥克斯韋速率分布曲線 2.討論 dN Ndu (1)速率范圍： 0 ? ￥ (2)·豎線意義： f (u) 即 dN N u2 u1 ò f (u)du ·窄面積意義: f(u)du 即 ·寬面積意義: 即u1?u2范圍內(nèi)分子數(shù)與總數(shù)之比 ò0 f (u)du = 1 ￥ (3)曲線下面積 稱歸一化條件(nomalizing condition) (4)如溫度升高，曲線如何畫?(請(qǐng)自己畫) (

26、5)麥克斯韋速率分布規(guī)律是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，只適 用于大量分子組成的集體。 ★麥克斯韋速率分布的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證(見教材 B版§17.10，P24) 三.三種速率 df(u) du [ ] = 0 up 1. 最概然速率 對(duì)速率分布曲線求極值 可得最概然速率(最可幾速率) (the most probable speed) up = 2kT m ? 2RT m ? = ? 1.41 RT m ? ·up 意義：(請(qǐng)自己敘述) 思考·如

27、T-T up、f(u)曲線及f(up)如何變？ 為什么? ·如m-T f(u)曲線如何變? u = ò0 u dN = ò0 uNf(u)du u = u1DN1 + u2DN2 + … + unDNn N = S uiDNi N ￥ N 1 N 1 ￥ 2.平均速率 u = ò0 u f (u)du ￥ 再由麥克斯韋速率分布函數(shù)可得 ? 1.60 RT m ? u = 8kT pm ? 8RT pm ? = 平均速

28、率(average speed) 練習(xí)：請(qǐng)寫出u1?u2間分子的平均速率的表 示式。 3.方均根速率 u2 = ò0 u2 f (u)du ￥ 同理 再由麥克斯韋速率分布函數(shù)可得 方均根速率(root-mean-square speed) ?u2 = 3kT m ? 3RT m ? = ? 1.73 RT m ? 練習(xí)：請(qǐng)寫出u1?u2間分子的方均根速率的 表示式。 4.幾點(diǎn)討論 (1)三種速率數(shù)值不同 ?u2 up < u <

29、 但和T、m(或 m )的關(guān)系相同 T m ? μ 都 (2)三種速率應(yīng)用場(chǎng)合不同 up --- 用于討論速率分布 u --- 用于討論分子碰撞 ? u2 ---用于計(jì)算分子的平均平動(dòng)動(dòng)能 應(yīng)用：大氣的組成 ·地球形成之初，大氣中應(yīng)有大量的氫、氦， 但很多H2分子和He原子的方均根速率 (見教材B版p21)超過了地球表面的逃逸速率(11.2km/s)，故現(xiàn)今地球大氣中已沒有氫和氦了。 ·但N2和O2分子的方均根速率只有逃逸速 率的1/25，故地球大氣中有大量的氮?dú)? (～大氣

30、質(zhì)量的76%)和氧氣(～大氣質(zhì)量的23%)。 四.統(tǒng)計(jì)規(guī)律與漲落 伽爾頓板實(shí)驗(yàn) 小釘 等寬 狹槽 1.伽爾頓板實(shí)驗(yàn) ·一個(gè)小球落在哪里有偶然性 ·少量小球的分布每次不同 ·大量小球的分布近似相同 1. 統(tǒng)計(jì)規(guī)律是對(duì)大量偶然事件整體起作用的規(guī)律 ·一切偶然性都有自己的原因 (一個(gè)小球落在哪里由動(dòng)力學(xué)規(guī)律制約) ·但大量偶然事件同時(shí)存在時(shí)，運(yùn)動(dòng)形式發(fā) 生了由 量?質(zhì) 的飛躍 ·“大數(shù)量”現(xiàn)象中出現(xiàn)的新現(xiàn)象的特點(diǎn)： 在一定宏觀條件下的穩(wěn)定性 ·偶然性是相對(duì)于一定的宏觀條件來說的， 偶然性中有必然

31、性；必然性寓于偶然性之 中。 ·在一定的宏觀條件下，大量偶然事件，在 整體上表現(xiàn)出確定的規(guī)律---統(tǒng)計(jì)規(guī)律 2. 統(tǒng)計(jì)規(guī)律的另一特點(diǎn)是永遠(yuǎn)伴隨著漲落現(xiàn)象 ·速率分布中，Du區(qū)間的分子數(shù)DN是統(tǒng)計(jì) 平均值。在任一瞬時(shí)，D u區(qū)間內(nèi)的實(shí)際 分子數(shù)與DN有偏離。 對(duì)統(tǒng)計(jì)規(guī)律的偏離的現(xiàn)象稱漲落 (fluctuation) ·統(tǒng)計(jì)規(guī)律與漲落現(xiàn)象是不可分的，反映了 必然性與偶然性之間相互依存的辯證關(guān) 系。 ·漲落有時(shí)大，有時(shí)小，有時(shí)正，有時(shí)負(fù) 若在Du區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)為DN ±

32、DN ? 漲落的幅度： DN ? DN DN ? 1 = 漲落百分比： 如 DN = 106，漲落幅度為1000 漲落百分比1/1000 實(shí)際分子數(shù)在999000?1001000之間 如 DN = 1 ，漲落幅度為1 漲落百分比100/100 可見DN越大 T 漲落百分比越小 3.漲落實(shí)例 ·液體中的臨界乳光現(xiàn)象(液體在臨界點(diǎn)密 度漲落很強(qiáng)時(shí)，將呈乳白色) 光在空氣中的散射現(xiàn)象 (均是由媒質(zhì)的密度漲落引起的) ·電路中的電流

33、漲落(由帶電粒子的熱運(yùn)動(dòng) 引起)。在微弱電流測(cè)量時(shí)，應(yīng)注意此事。 ·電子器件中的“熱噪聲”(由電子熱運(yùn)動(dòng)引 起)，影響電子儀器的靈敏度。 五.麥克斯韋速度分布律 ·麥克斯韋速率分布只考慮了理想氣體分子 按速度大小的分布，未考慮速度的方向。 進(jìn)一步的考慮應(yīng)指出分子按速度(大小、方 向)的分布。 1.速度區(qū)間 ·分析速度在 ux ?ux + dux ， uy ? uy + duy ， uz ? uz + duz 范圍中(而位置不究)的分子數(shù)dNu ·速度區(qū)間

34、：duxduyduz 是三維速度空間中的一個(gè)體積元。 ·dNu 就是速度區(qū)間duxduyduz中的分子數(shù)。 F(u) = dNu Nduxduyduz 2.分布函數(shù) 麥克斯韋速度分布律(證明略，見教材B版p21) F (u) = ( )3/2×e m 2pkT - mu2 2kT ·麥克斯韋速率分布律(再寫) m 2pkT f (u) = 4p( )3/2u2×e - mu2 2kT 3.麥克斯韋速率分布與速度分布的比較 f(u)du = d

35、N N ·由速率分布函數(shù) 表示u? u+du范圍中的 分子數(shù)與總數(shù)之比 dNu N F(u)duxduyduz = 由速度分布函數(shù) 表示在 體積元 ux ? ux+dux , uy ? uy+duy , uz ? uz+duz duxduyduz du u uy ux o uz u o uz ux uy 對(duì)速度空間不同的分割方式 中的分子數(shù)

36、與總數(shù)之比 可見，兩種分布對(duì)速度空間的分割方式不 同。 ·歸一條件 ò0 f(u)du = 1 ￥ 麥克斯韋速率分布 麥克斯韋速度分布

37、 òòò-￥ F(u) duxduyduz = 1 ￥ 思考：在f(u)的式中有因子4pu2，你能想清 楚它是怎么來的嗎? §6 玻耳茲曼分布 一. 玻爾茲曼分布 1.狀態(tài)區(qū)間 ·若要描述分子按位置和速度的分布情況， 就要分析 位置在 x ? x +dx， y ? y +dy， z ? z +dz， 且速度在 ux ? ux +dux ， uy ? uy +duy ， uz ? uz +duz

38、范圍中的分子數(shù) dNu, r ·狀態(tài)區(qū)間：duxduyduzdxdydz 它可看作是坐標(biāo)—速度空間(六維空間)中 的一個(gè)體積元。 2.玻爾茲曼分布 exp( ) -Ek kT ·在麥克斯韋速率分布中 dN 和 有關(guān) 即分子的速率分布和分子的平均動(dòng)能 Ek = mu2/2有關(guān)。 dNu μ exp( ) -Ek kT ·在麥克斯韋速度分布中 即速度區(qū)間duxduyduz中的分子數(shù)與該區(qū) 間的分子的Ek有關(guān)，且與上述指數(shù)

39、因子 成正比。 dNu, r μ exp( ) -E kT ·玻爾茲曼做了推廣 玻爾茲曼分布律(Boltzmann’s distribution law) ： 在溫度為T的平衡態(tài)下，任何系統(tǒng)的微觀 粒子按狀態(tài)的分布，即在某一狀態(tài)區(qū)間的 exp( ) -E kT 粒子數(shù)與該狀態(tài)區(qū)間的一個(gè)粒子的能量E 有關(guān)，與 成正比。 ·這里的E應(yīng)包含動(dòng)能和勢(shì)能 ·可見，在E越大的狀態(tài)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)越 少。 ·由玻爾茲曼分布律，在一個(gè)狀態(tài)區(qū)間

40、 duxduyduz dxdydz中的分子數(shù)為 × duxduyduz dxdydz dNu, r = C e - (Ek +Ep) kT ·玻爾茲曼分布律是統(tǒng)計(jì)物理中適用于任何 系統(tǒng)的基本定律。 在量子理論中，粒子數(shù)按能級(jí)的分布亦服 -En Nn μ exp( ) kT 從玻爾茲曼分布，即能級(jí)En上的粒子數(shù) Nn為 在能級(jí)E1、E2 (E2>E1)上的粒子數(shù)之比為 = exp[ ] N2 N1 -(E2-E1) kT [例] H原子 基態(tài)能級(jí) E1 = -

41、13.6 eV 第一激發(fā)態(tài) E2 = -3.4 eV 在室溫下 T=300K，有 N2 N1 ? 10-170 即處于基態(tài)的原子最多，處于激發(fā)態(tài)的極 少。 二.重力場(chǎng)中理想氣體分子按位置的分布 重力作用下，分子位置分布下密上疏，不 再均勻。 1.位置區(qū)間中的分子數(shù) ·分析位置在 x ? x + dx， y ? y + dy， z ? z + dz， 中的分子數(shù)(速度不究) dNr ·位置區(qū)間：dxdydz 是三維坐標(biāo)空間中的

42、一個(gè)體積元。 ·位置區(qū)間dxdydz中的分子數(shù)dNr可由 dN￠r = C [ òòò-￥ e duxduyduz] ￥ -Ek kT ×e dxdydz -Ep kT 對(duì)dNu, r中的各速度分量積分而得到 dN￠r = C￠exp( )dxdydz -Ep kT 得出 其中 C￠ = C × [積分] 2.重力場(chǎng)中的分子數(shù)密度 n＝C￠exp( ) -Ep kT dN￠r dxdydz 為分子數(shù)密度n，有 ·

43、 ·重力場(chǎng)中 Ep = mgz n＝C￠exp( ) -mgz kT 于是 可見C￠即z = 0處的分子數(shù)密度n0 平衡態(tài)T下分子數(shù)密度隨高度變化的公式 n＝n0exp( ) -mgz kT 3.恒溫氣壓公式 ·因?yàn)? P = nkT p＝p0exp( ) -mgz kT ＝p0exp( ) -mgz RT 有恒溫氣壓公式 其中 P0 = n0kT是高度

44、為零處的壓強(qiáng) ·高度每升高10米，大氣壓強(qiáng)約降133Pa (~1mmHg) ，此為高度計(jì)的原理。 §7 實(shí)際氣體等溫線(自學(xué))(教材B版P27) p atm -3 (10 L/ mol ) 要求搞清： 圖中的四種狀態(tài) 臨界點(diǎn)臨界態(tài) 臨界等溫線 臨界溫度 飽和蒸汽壓 CO2的等溫線 ) ( m V 實(shí)際氣體等溫線(isotherm of real gases) §8 范德瓦爾斯方程 ·理想氣體微觀模型： 分子無大小

45、 分子間無作用力(碰撞時(shí)除外) ·理想氣體只是在T不太低、P不太大條件 下對(duì)實(shí)際氣體的近似。 ·對(duì)實(shí)際氣體，則需考慮分子大小和分子間 作用力 二因素 f o d r0 ｓ r 斥力 引力 · · 10-9m 分子間的作用力 一.分子間的相互作用 1.實(shí)際氣體分子間的作用力 r = d時(shí) f ?￥ (斥力)

46、 d－分子的有效直徑 d ~ 10-10米 r < r0時(shí) f > 0 (斥力) r = r0時(shí) f = 0 r0—平衡距離 r > r0時(shí) f < 0 (引力) r > s時(shí) f ? 0 s—分子力的有效作用距離 s ~ d的幾十至幾百倍 2.實(shí)際氣體分子模型 ---有引力的剛球模型 f o · d r 有引力的剛球模型 分子是直徑為 d 的剛球 r = d時(shí)

47、 f ?￥ (斥力) r > d時(shí) f <0 (引力) 二.范德瓦爾斯方程 在理想氣體狀態(tài)方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)行兩項(xiàng) 修正。 1.分子大小引起的修正 P = RT u ·一摩爾理想氣體狀態(tài)方程 如何理解體積u : 容器的體積? 氣體的體積? 氣體分子的自由活動(dòng)的空間? 可壓縮的體積? ·對(duì)實(shí)際氣體，考慮分子本身有大小 分子自由活動(dòng)的空間為 u - b b ：反映分子本身體積的改正項(xiàng) P = RT u - b ·狀態(tài)方程應(yīng)修改為

48、 ·可以證明：b約為1 mol氣體分子本身總 體積的4倍 b = 4NA[ 4p 3 ( )3] d 2 d ? 10-10 m T b ? 10-6 m3 = 1cm3 2.分子間引力引起的修正 分子作用力對(duì)壓強(qiáng)的影響 · a s · b c s 分子作用球 · f合 f合 f合=0

49、 (1)容器中分子所受的引力 ·分子作用球：一以某分子為中心ｓ為半徑 畫的球。 ·分子a (在容器中部)：不受力(分子球內(nèi)其 他分子對(duì)a的引力抵消) ·分子b、c (在表面層內(nèi))：受指向氣體內(nèi)部 的合力 ·此合力 T (分子撞壁動(dòng)量) ˉ T (分子對(duì)壁的沖力) ˉ ·此合力效果 ~ 指向內(nèi)部的壓強(qiáng)(內(nèi)壓強(qiáng)Pi) (2)內(nèi)

50、壓強(qiáng) ·Pi μ 被吸引的表面層內(nèi)的分子數(shù)密度n μ 施加引力的內(nèi)部分子的數(shù)密度n Pi μ n2 μ 1 u2 · Pi = a u2 a – 反映分子間引力的常數(shù) (3)方程的修正 P = RT u - b - Pi ·分子實(shí)際作用于器壁的由實(shí)驗(yàn)可測(cè)的壓強(qiáng) 3.范德瓦爾斯方程 (Van der Waals￠ eguation) (P + )( u - b) = RT a u2 (1)對(duì)1 mol氣體 u

51、 = ( )V M m V = ( )u ， M m (P + )( V - b) = RT M m a V 2 M2 m2 M m (2)質(zhì)量為M的氣體 ·實(shí)際氣體在相當(dāng)大的壓強(qiáng)范圍內(nèi)更近似遵 守范德瓦爾斯方程(見教材B版P31表) ·遵守范德瓦爾斯方程的氣體稱范德瓦爾斯 氣體 ·各種氣體的常數(shù)a、b可由實(shí)驗(yàn)測(cè)量 三.范德瓦爾斯等溫線 1.范德瓦爾斯等溫線 (P + )( u - b) = RT a u2 ·1mol的范氏方程 u3 - ( b +

52、 ) u2 + u - = 0 a P ab P RT P 可改寫為 由此方程反映的P—V關(guān)系即為范氏等溫v 范德瓦爾斯等溫線 BC段：飽和蒸汽與液 體的共存態(tài) AB段：汽態(tài) BE段：過飽和蒸汽 EF段：實(shí)際不存在 DC段：液態(tài) CF段：過熱液體 （云室） （氣泡室） 不穩(wěn)定態(tài) 線(理論曲線) ·范氏等溫線和實(shí)際氣體等溫線符合較好 2.過飽和汽、過熱液體 (1)過飽和汽(BE段)

53、 ·是不太穩(wěn)定的狀態(tài)，實(shí)際中可存在 ·比同溫下飽和汽的摩爾體積(B點(diǎn))小， T密度大、壓強(qiáng)大 ·如有凝結(jié)中心，可迅速凝結(jié) ·云室：探測(cè)粒子徑跡 (2)過熱液體(CF段) ·是不太穩(wěn)定的狀態(tài)，實(shí)際中可存在 ·比同溫下平衡液體(C點(diǎn))摩爾體積大 T密度小、壓強(qiáng)小 ·如有汽化中心，將劇烈汽化，壓強(qiáng)突增， 很危險(xiǎn)(可引起鍋爐爆炸)。 ·氣泡室：探測(cè)粒子徑跡 ( )k = 0 , ( )k = 0 dP du d2P du2 3.臨界參量 ·由 可得 uk = 3b , T

54、k = 8a 27bR Pk = a 27b2 , a = 3u2kPk , b = uk 3 · 由實(shí)驗(yàn)測(cè)得uk、Pk T a、b §9 氣體分子的平均自由程 氣體分子碰撞， · 使分子速度有穩(wěn)定分布(平衡態(tài)下) · 實(shí)現(xiàn)能量均分 · 使氣體由非平衡態(tài) ? 平衡態(tài) 討論: 理想氣體 ，平衡態(tài) 一. 碰撞頻率 1.定義：一個(gè)分子單位時(shí)間內(nèi)所受到的平均 碰撞次數(shù)。

55、 2.計(jì)算 (1)模型：分子看作是有引力的剛性小球 (有效直徑d) (2)計(jì)算 ·設(shè)分子A以平均相對(duì)速率u運(yùn)動(dòng)，而其他 分子不動(dòng)； ·以A的軌跡為軸線，以d為半徑作一圓柱 體，柱體長(zhǎng)uDt； ·凡分子中心在柱體內(nèi)的其他分子都將 d 碰撞頻率的分析 A 靜止 s = pd2 u 與A相碰， ·碰撞截面(collision cross-section)： 圓柱體的截面積 s = pd2 稱分子的碰撞截面。 ·

56、圓柱體體積： pd 2uDt 柱體內(nèi)分子數(shù)： pd 2uDt n， (n—分子數(shù)密度) ·碰撞頻率 `Z = = pd 2u n pd 2uDt n Dt u = ?2 u ·平均相對(duì)速率和平均速率的關(guān)系為 因分子碰撞有各種可能夾角q：0---180° v v u 平均相對(duì)速率和平 均速率的關(guān)系

57、 平均而言：q = 90° ∴ ·碰撞頻率(collision frequency)： `Z = ?2 pd 2u n ·標(biāo)準(zhǔn)狀況下，空氣分子 `Z = 6.5′109 次/秒 (每秒碰65億次! ) 二. 平均自由程 ·定義：氣體分子在相鄰兩次碰撞間飛行 的平均路程。 `l = `u `Z 平均自由程(mean free path) `l = 1 ?2 pd 2 n

58、 ·對(duì)理想氣體 P = nkT ， 有 `l = kT ?2 pd 2 p `l μ T P 可見 ·標(biāo)準(zhǔn)狀況下，空氣分子 d = 3.5′10-10m， `l= 6.9′10-8m (`l約為d的200倍) ·低壓下， P < 10-4 mmHg 時(shí) `l > 一般容器線度(~1m) 認(rèn)為：`l ~ 容器線度 §10 輸運(yùn)過程 ·討論：非平衡態(tài)問題及其過渡 ·非平衡態(tài)：系統(tǒng)各部分物理性質(zhì)不均勻 (如流速、溫度、密度 不

59、均勻)。 ·輸運(yùn)過程(遷移過程) (Transport process)： 系統(tǒng)從非平衡態(tài)自發(fā)向平衡態(tài)(物理性質(zhì) 均勻)過渡的過程。 一.熱傳導(dǎo) 1.熱傳導(dǎo)(thermal conduct)：物體內(nèi)各部分T 不均勻時(shí)，內(nèi)能由T高處 ? T低處的現(xiàn)象。 設(shè)想簡(jiǎn)單情形： ·A、B兩板間有導(dǎo)熱物質(zhì) ·T由下而上遞減 ·熱量將沿z軸傳遞 · 在z = z0處有一假想的分界面，面積為 z0 Y z o x T1 B T2 (

60、 dS 2.分析 dT dz 1 0 (1)遷移原因：T不均勻 溫度梯度 (2)遷移的物理量：內(nèi)能---熱運(yùn)動(dòng)能量 (遷移內(nèi)能的多少稱熱量) dQ = - k( ) dSdt dT Q = - k(dT/dz)z0dSdt dz z0 (3)宏觀規(guī)律 實(shí)驗(yàn)表明： — Fourier定律 ·負(fù)號(hào)反映熱量總是

61、由T高處?T低處。 ·k---導(dǎo)熱系數(shù)，由導(dǎo)熱物質(zhì)性質(zhì)及狀態(tài)決 定。 一般氣體：k～10-3～10-2 W/m×k (4)微觀解釋 ·對(duì)氣體：內(nèi)部溫度不均勻，表明內(nèi)部各處 分子平均熱運(yùn)動(dòng)能量`e 不同 ·對(duì)穿過dS面的分子 由下?上的分子帶有較大的平均能量 由上?下的分子帶有較小的平均能量 ·上下分子交換 T 能量向上凈遷移 宏觀上表現(xiàn)為熱傳導(dǎo) k = nmu l cu 1 3 ·由分子運(yùn)動(dòng)論可以導(dǎo)出 (cu – 氣體定容比熱) 二.擴(kuò)散 ·擴(kuò)散(dif

62、fusion)原因：密度 r 不均勻 dM = - D( ) dSdt dz z0 dr ·遷移物理量：質(zhì)量M ·宏觀規(guī)律： D---擴(kuò)散系數(shù)(單位：m2/s) D = u l 1 3 ·微觀解釋：分子由r大處向r小處凈遷移 可以導(dǎo)出： 三.內(nèi)摩擦 1. 內(nèi)摩擦(internal friction) ·流體有粘滯性(viscosity) ·流體內(nèi)各部分流速不同時(shí)，將發(fā)生內(nèi)摩擦 現(xiàn)象。 ·內(nèi)摩擦力(粘滯力viscous force)：流體

63、內(nèi) 各層之間由于流速不同而引起的相互作用力。 2.分析：設(shè)想簡(jiǎn)單情形； ·A、B兩板間有流體， ·下板靜止，上板以u(píng)0沿x勻速運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng) 板間流體沿x向流動(dòng) ·平行于板的各層流體流速不同 z u0 A u = 0 B x u=u(z) z0 o dS df df ￠ 內(nèi)摩擦 ·在z0 處有一假想分界面，面積dS

64、 ·在分界面處 下面的流體層(流速小)對(duì)上面的流體層(流速大)產(chǎn)生沿-x向的粘滯力df ； 下面的流體層受到沿+x向的粘滯力df ￠ (1)遷移原因：定向速度u不均勻 (2)遷移的物理量：定向速度(或定向動(dòng)量) df = h ( ) dS dz du = - k(dT/dz)z0dSdt z0 (3)宏觀規(guī)律： h --內(nèi)摩擦系數(shù)(粘滯系數(shù))，與流體性質(zhì) 和狀態(tài)有關(guān)(單位：牛頓秒/米2或 帕×秒)。 (4)微觀解釋： ·氣體分子除有無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)外，還有定向

65、 速度u ·穿過dS的分子 由下層?上層的分子定向動(dòng)量??； 由上層?下層的分子定向動(dòng)量大 T有定向動(dòng)量自上而下的凈遷移， 上層 定向動(dòng)量減小 下層 定向動(dòng)量增大 T 上層受沿-x向的粘滯力df 下層受沿x向的粘滯力df ￠ 3.粘滯系數(shù)h的導(dǎo)出 (1)初級(jí)理論：認(rèn)為分子都以平均速率`u作 無序運(yùn)動(dòng) (2)過某面積的分子數(shù) u dt u dS dt內(nèi)垂直過dS 面的分子數(shù) ·平均而言，各有1/3的分子分別 沿x, y, z方向運(yùn)動(dòng)

66、·有1/6的分子由 dS的一側(cè)垂直穿 過它向另一側(cè)運(yùn)動(dòng) ·dt時(shí)間內(nèi)垂直穿過dS的分子數(shù)為 N* = (nu dSdt ) 1 6 z · · a b u +`l u u -`l dS z0+`l z0 z0-`l u = 0 x u0 z0 z0 z0 定向動(dòng)量的遷移 (3)定向動(dòng)量的遷移 ·一個(gè)分子帶過dS的定向動(dòng)量為到dS前最 后一次碰撞(發(fā)生在距dS面`l遠(yuǎn))后的定向動(dòng)量 z0 P +`l 分子a(自上?下)帶過動(dòng)量 z0 P -`l 分子b(自下?上)帶過動(dòng)量 ·dt內(nèi)所有過dS的分子帶過的定向動(dòng)量 z0 P -`l dP+ = N* 由下?