第8講 立體幾何中的向量方法(二)

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1、 第8講　立體幾何中的向量方法(二) 【2013年高考會這樣考】 考查用向量方法求異面直線所成的角，直線與平面所成的角、二面角的大?。? 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 復(fù)習(xí)中要掌握空間角的類型及各自的范圍，掌握求空間角的向量方法，特別注意兩平面法向量的夾角與二面角的關(guān)系． 基礎(chǔ)梳理 1．空間的角 (1)異面直線所成的角 如圖，已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b.則把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)． (2)平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角． ①直線垂直于平面，則它們所成的角

2、是直角；②直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角． (3)二面角的平面角 如圖在二面角α-l-β的棱上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則∠AOB叫做二面角的平面角． 2．空間向量與空間角的關(guān)系 (1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2的夾角θ滿足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α的夾角θ滿足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)求二面角的大小 (ⅰ)如圖①，AB、CD是二面角α-l-β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則

3、二面角的大小θ＝〈，〉． (ⅱ)如圖②③，n1，n2分別是二面角α-l-β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉． 三種成角 (1)異面直線所成的角的范圍是； (2)直線與平面所成角的范圍是； (3)二面角的范圍是[0，π]． 易誤警示 利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩半平面α、β的法向量n1，n2時(shí)，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補(bǔ)，這是利用向量求二面角的難點(diǎn)、易錯點(diǎn)． 雙基自測 1．如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向

4、向量分別是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么，這條斜線與平面所成的角是(　　)． A．90° B．30° C．45° D．60° 解析　∵cos〈a，b〉＝＝， 又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝60°. 答案　D 2．(人教A版教材習(xí)題改編)已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為(　　)． A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 解析　cos〈m，n〉＝＝＝， 即〈m，n〉＝45°，其補(bǔ)角為135°， ∴兩平面所成的二面角為45°或135°.

5、 答案　C 3．(2011·德州月考)已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，則l與α所成的角為(　　)． A．30° B．60° C．120° D．150° 解析　設(shè)l與α所成的角為θ， 則sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝30°. 答案　A 4．在如圖所示的正方體A1B1C1D1-ABCD中，E是C1D1的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC夾角的余弦值為(　　)． A．－ B．－ C. D. 解析　如圖建立直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)DA＝1，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E.則＝(－1,1,0)，＝，若異面直線

6、DE與AC所成的角為θ， cos θ＝|cos〈，〉|＝. 答案　D 5．如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是________． 解析　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)AB＝BC＝AA1＝2， 則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1) 則＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)， ∴·＝2， ∴cos〈，〉＝＝， ∴EF和BC1所成角為60°. 答案　60° 　 考向一　求異面直線所成的角 【例1】?(2011·上

7、海高考改編)已知ABCD-A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，高AA1＝2，求 (1)異面直線BD與AB1所成角的余弦值； (2)四面體AB1D1C的體積． [審題視點(diǎn)] 建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用向量法求解，注意角的范圍． 解　(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1-xyz，由已知條件： B(1,0,2)，D(0,1,2)， A(0,0,2)，B1(1,0,0)． 則＝(－1,1,0)， ＝(1,0，－2) 設(shè)異面直線BD與AB1所成角為θ， cos θ＝|cos〈，〉|＝. (2)VAB1D1C＝VABCDA1B1C1D1－4VCB1C1D1＝. 異面直線所

8、成角范圍是(0°，90°]，若異面直線a，b的方向向量為m，n，異面直線a，b所成角為θ，則cos θ＝|cos〈m，n〉|.解題過程是：(1)建系；(2)求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)表示向量；(4)計(jì)算． 【訓(xùn)練1】 (2011·全國高考)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為________． 解析　如圖建立直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)DA＝1，由已知條件 A(1,0,0)，E， B(1,1,0)，C(0,1,0)， ＝，＝(－1,0,0) 設(shè)異面直線AE與BC所成角為θ. cos θ＝|cos〈，〉|＝＝. 答案　 考向二　

9、利用向量求直線與平面所成的角 【例2】?如圖所示，已知點(diǎn)P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線BD′上，∠PDA＝60°. (1)求DP與CC′所成角的大??； (2)求DP與平面AA′D′D所成角的大?。? [審題視點(diǎn)] 轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角求解不易，故考慮用向量法求解，注意向量的夾角與直線與平面所成角的關(guān)系． 解　如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz. 則＝(1,0,0)，＝(0,0,1)． 連接BD，B′D′. 在平面BB′D′D中，延長DP交B′D′于H. 設(shè)＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈，〉＝60°，即·＝||||cos〈，〉

10、， 可得2m＝. 解得m＝，所以＝. (1)因?yàn)閏os〈，〉＝＝， 所以〈，〉＝45°，即DP與CC′所成的角為45°. (2)平面AA′D′D的一個法向量是＝(0,1,0)． 因?yàn)閏os〈，〉＝＝， 所以〈，〉＝60°， 可得DP與平面AA′D′D所成的角為30°. (1)異面直線的夾角與向量的夾角有所不同，應(yīng)注意思考它們的區(qū)別與聯(lián)系． (2)直線與平面的夾角可以轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，由于向量方向的變化，所以要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系． 【訓(xùn)練2】 (2010·遼寧)已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N為AB上

11、一點(diǎn)，AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點(diǎn)． (1)證明：CM⊥SN； (2)求SN與平面CMN所成角的大小． 解：設(shè)PA＝1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖． 則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)， M，N， S. (1)證明：＝(1，－1，)，＝， 因?yàn)椤ぃ剑?＝0，所以CM⊥SN. (2)＝， 設(shè)a＝(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，則 ∴ 取x＝2，得a＝(2,1，－2)．因?yàn)閨cos〈a，〉|＝＝， 所以SN與平面CMN所成角為45°. 考向三　利用向量求二面角 【例

12、3】?(2011·全國新課標(biāo))如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD. (1)證明：PA⊥BD； (2)若PD＝AD，求二面角A-PB-C的余弦值． [審題視點(diǎn)] 會判斷法向量的方向，找準(zhǔn)向量夾角與二面角是相等還是互補(bǔ)． (1)證明　因?yàn)椤螪AB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD. 從而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD. 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.又AD∩PD＝D. 所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD. (2)解　如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空

13、間直角坐標(biāo)系D-xyz，則 A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)． ＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)． 設(shè)平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，則 即 因此可取n＝(，1，)． 設(shè)平面PBC的法向量為m，則 可取m＝(0，－1，－)，則cos〈m，n〉＝＝－. 故二面角A-PB-C的余弦值為－. 求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角． 【訓(xùn)練3】 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形

14、，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)． (1)證明：PC⊥平面BEF； (2)求平面BEF與平面BAP夾角的大?。? (1)證明　如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系． ∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四邊形ABCD是矩形， ∴A，B，C，D，P的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)． 又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)，∴E(0，，0)，F(xiàn)(1，，1)． ∴＝(2,2，－2)，＝(－1，，1)，＝(1,0,1)． ∴·＝－2＋4－2＝

15、0，·＝2＋0－2＝0. ∴⊥，⊥ ∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F， ∴PC⊥平面BEF. (2)解　由(1)知平面BEF的一個法向量n1＝＝(2,2，－2)，平面BAP的一個法向量n2＝＝(0,2，0)， ∴n1·n2＝8. 設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為θ， 則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝， ∴θ＝45°.∴平面BEF與平面BAP的夾角為45°. 閱卷報(bào)告12——對法向量夾角與二面角大小關(guān)系認(rèn)識不清導(dǎo)致失誤 【問題診斷】 立體幾何是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，而求空間角是重中之重，利用空間向量求空間角的方法固定，思路簡潔，但在利用平面的法向量求

16、二面角大小時(shí)，兩個向量的夾角與二面角相等還是互補(bǔ)是這種解法的難點(diǎn)，也是學(xué)生的易錯易誤點(diǎn)． 【防范措施】 正確判斷法向量的方向，同指向二面角內(nèi)或外則向量夾角與二面角互補(bǔ)，一個指向內(nèi)另一個指向外則相等． 【示例】? (2011·遼寧)如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. (1)證明：平面PQC⊥平面DCQ； (2)求二面角Q -BP-C的余弦值． 實(shí)錄　如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長為單位長度，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz. (1)依題意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0，2,0)． 則＝(1,1,0)

17、，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)． 所以·＝0，·＝0. 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.又DQ∩DC＝D，故PQ⊥平面DCQ. 又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. 錯因　如圖平面BPC，與平面BPQ的法向量分別為n＝(0,1,2)，m＝(1,1,1)，設(shè)二面角Q -BP-C的大小為θ，則θ≠〈m，n〉，θ＝π－〈m，n〉 (2)依題意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，則 即 令y＝1，則n＝(0,1,2)． 同理，設(shè)m是平面PBQ的法向量，則 可取m＝(1,1,1)， 所以cos〈m，n〉＝. 故二面角Q -BP-C的余弦值為. 正解　(1)見實(shí)錄 (2)依題意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，則即 因此可取n＝(0，－1，－2)． 設(shè)m是平面PBQ的法向量，則 可取m＝(1,1,1)，所以cos〈m，n〉＝－. 故二面角QBPC的余弦值為－.