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1、自動控制原理,第四章 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,一、根軌跡的幅值條件和相角條件,一般的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖所示，其特征方程為：,其開環(huán)傳遞函數(shù)：,由等式兩邊幅角和相角分別相等的條件可得：,,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,,以上兩式分別稱為根軌跡的幅值條件和相角條件。 在S平面上的任一點，凡能滿足以上條件的，就是系統(tǒng)特征方程的根，就必定在根軌跡上。,注： 當閉環(huán)系統(tǒng)為負反饋時，對應的軌跡為180根軌跡； 而正反饋系統(tǒng)的軌跡為零度根軌跡。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,開環(huán)傳遞函數(shù)通常可以寫為（零極點
2、形式）：,其中Kg開環(huán)傳遞系數(shù) zj 和 pi 開環(huán)零點和極點,因此，幅值條件可表示為：,或,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,相角條件為：,其中j開環(huán)零點到S的矢量角 i 開環(huán)極點到S的矢量角,注： 在測量相角時，規(guī)定以逆時針方向為正。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,說明： （1）幅角條件只與開環(huán)零、極點有關(guān)，為充要條件； （2）幅值條件不但與開環(huán)零、極點有關(guān)，還與開環(huán)根軌跡增益有關(guān)，必要條件。 （3）凡滿足幅值和幅角條件的s值，都是閉環(huán)極點。,繪制根軌跡的步驟： （1）尋找滿足幅角條件所有的s點，由這些點構(gòu)成根軌跡； （2）根據(jù)幅值條件確定對應點(即特征方
3、程根)處的Kg值。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,在根軌跡圖中，一般約定： “”表示開環(huán)極點； “”表示開環(huán)有限值零點； 粗線表示根軌跡； 箭頭表示某一參數(shù)增加的方向； “.”表示根軌跡上的點。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,例 已知開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下式，設(shè)-s0為該閉環(huán)系統(tǒng)的一個極點，求其對應的傳遞系數(shù)Kg0。式中-z1為開環(huán)有限零點；0、-p1 、-p2為開環(huán)極點。,解 由相角條件確定根軌跡上的某點位置，如圖，使其滿足：,再按幅值條件求得該點的根軌跡傳遞系數(shù)：,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),證明 該系統(tǒng)的開環(huán)極點,試證明復平
4、面上點 是該系統(tǒng)的閉環(huán)極點。,若系統(tǒng)閉環(huán)極點為s1，s2，則它們應滿足相角條件。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,以s1為試驗點，由圖可得,以s2為試驗點，由圖可得,可見， s1和s2均滿足相角條件， 均為閉環(huán)極點。,證畢。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),解 根據(jù)幅值條件,當 變化時其根軌跡如圖所示，求根軌跡上點 所對應的K值。,求得,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,二、繪制根軌跡的基本規(guī)則,1 連續(xù)性 根軌跡是連續(xù)的,當Kg連續(xù)變化時，特征方程的根也是連續(xù)變化的，所以根軌跡是連續(xù)的。,,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,2
5、 對稱性,由于系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)均為實數(shù)，因而特征根為實數(shù)或為共軛復數(shù)，根軌跡必然對稱于實軸。,,3 根軌跡的條數(shù)為系統(tǒng)的階數(shù),即系統(tǒng)特征方程的階數(shù)，也為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點數(shù)。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,4 起點和終點,根軌跡的起點是指Kg=0根軌跡的點。,根軌跡的終點是指Kg=根軌跡的點， 即終點為開環(huán)傳遞函數(shù)的零點。,由幅值條件可知，當 Kg=0時對應s=-pi，即,根軌跡的起點為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點。,若起點數(shù)n大于零點數(shù)m,則有m條根軌跡終于零點，有n-m條終于無窮遠處（無窮遠處的零點稱之為無限零點）。,,,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,5 實軸上的根軌跡,在S
6、平面實軸上的線段存在根軌跡的條件是： 線段右側(cè)開環(huán)零點（有限零點）和開環(huán)極點數(shù)之和為奇數(shù)。,,1）每對共軛復數(shù)極點所提供的幅角之和為360；,2） s1左邊所有位于實軸上的每一個極點或零點所提供的幅角為0；,3）s1右邊所有位于實軸上的每一個極點或零點所提供的幅角為180。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定實軸上的根軌跡。,解 上在實軸，右邊線段零、極點數(shù)為奇數(shù)的線段是：,-1，-2 右側(cè)實零、極點數(shù)=3。,-4，-6 右側(cè)實零、極點數(shù)=7。,,,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,例設(shè)一單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,解 將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極
7、點形式,求 時的閉環(huán)根軌跡。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,按繪制根規(guī)跡法則逐步進行：,1）法則三，2階系統(tǒng)，因此有兩條根軌跡；,2）法則四，兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點0、2，其中一條終于有限零點1，另一條趨于無窮遠處；,3）法則五，在負實軸上，0到1區(qū)間和2到負無窮區(qū)間是根軌跡；,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,最后繪制出根軌跡如下圖所示。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,6 分離點和會合點,特征方程的重根為根軌跡的分離點或會合點。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,閉環(huán)特征方程式,分離點或會合點可由下式求得,此外， s對應的Kg值為正時，才是實際的分離
8、或會合點。,上式為必要條件，求出S值可能為分離點或會合點；,,上式的解根軌跡上，需滿足：,,,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,注：,1）位于實軸上兩個極點之間的根軌跡上，存在分離點；,4）分離或會合點還可由以下公式（試湊法）計算。,2）位于實軸上兩個零點（含無窮零點）之間的根軌跡上，存在會合點；,3）根軌跡以 /2的角度方向離開分離點（分離角）或進入會合點（會合角）；,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)， 求根軌跡的分離點和會合點。,解 系統(tǒng)有一個開環(huán)零點為-1，有兩個開環(huán)極點分別為-0.1和-0.5。,根據(jù)規(guī)則五，根軌跡與實軸相重合的區(qū)間為-0.1，-
9、0.5,（-，-1。,求根軌跡的分離點和會合點：,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,求對應分離點、會合點的Kg：,根軌跡如下圖：,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,7 漸近線,（1）漸近線條數(shù)：n-m條，根軌跡沿漸近線傾角方向趨向無窮遠，傾角為,（2）漸近線交點：與實軸交于一點 坐標為（-，j0），其中,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)， 試畫出根軌跡的大致圖形。,解 按根軌跡繪制的規(guī)則：,（1）起點：0，-1，-5； 終點：，，。 （2）分支數(shù)： n=3 （3）根軌跡對稱于實軸。 （4）漸近線：因為本系統(tǒng)中，n=3,m=0,所以漸近線共有3條。
10、漸近線的傾角：,取k0，1，2，得到：,（5）根軌跡在實軸上的分布： 0-1，-5-之間。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,漸近線與實軸的交點：,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,n-m不同取值下的漸近線,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,8 與虛軸的交點,方法一：代數(shù)法 將s=j代入系統(tǒng)特征方程，令實部和虛部分別等于零，求出和對應的K值。,方法二：勞斯判據(jù) 若勞斯表第一列中有一為零項，且其余各項都具有正號，則系統(tǒng)為臨界狀態(tài)，即有零根或虛根。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,例 已知系統(tǒng)的特征方程為, 求與虛軸的交點。,解 方法一：將s=j代入特征方程，
11、得,經(jīng)整理為：,解得：,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,方法二：由特征方程可知，該系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，列勞斯表,若根軌跡與虛軸相交，則表示系統(tǒng)存在純虛根，該點對應的Kg使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，因此,又因為一對純虛根必為數(shù)值相同，符號相反的根，所以用勞斯表s2行的系數(shù)可以構(gòu)成輔助方程。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,9 出射角與入射角,出射角：根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點處切線與正實軸的夾角。,入射角：根軌跡進入開環(huán)復數(shù)零點處的切線與正實軸的夾角。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,zj除被測終點外，所有開環(huán)有限零點到該點矢量的相角； pi除被測起點外，所有開環(huán)極點到被測極點矢量的
12、相角。,例 系統(tǒng)零極點分布如圖，試確定根軌跡離開復數(shù)共軛極點的起始角。p1=-1+j1，p2=-1-j1，p3=0，p4=-3，z1=-2,根據(jù)對稱性，可知 p2點的出射角為：,注意：相角要注意符號：逆時針為正，順時針為負； 注意矢量的方向。,解：,tanj 1=1,j 1=45,,2=90,3=135,tan4=0.5,4=26.6,,取k=0(考慮到周期性)： p1= -26.6,p2 = -p1= 26.6,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,例 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制該系統(tǒng)概略根軌跡。,3.漸近線：,解：,2.實軸上的根軌跡：,1.開環(huán)零極點：,n-m=1，只有一條18
13、0o漸進線。,4.分離點：,無分離點。,(，-2.5 -1.5，0,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,5.出射角：,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,入射角：,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,概略根軌跡圖,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,10 走向,設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為,當n-m=2 時，根之和為不變系數(shù)，即,所以當開環(huán)增益Kg增大時，若閉環(huán)某些根在S平面上向左移動，則另一部分根必向右移動。這對于判斷根軌跡的走向很有意義。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,1、,求出S值（即可能的分離點和會合點）,2、,3、 s對應的Kg值為正時，才是實際的分離或會合點。,除被測終點外，所有開環(huán)有限零點到該點矢量的相角。 除被測起點外，所有開環(huán)極點到被測極點矢量的相角。,
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